第一章函數和極限

§1.1函數

CONTENT1函數2初等函數3三角函數目錄4反三角函數5區間函數Chapter1前言

宇宙間的一切事物都在不斷地變化,變化是絕對的,不變是相對的。在我們的日常生活中,我們會遇到各種各樣的量,比如溫度、產量、面積等,這些量是變化的,而相對的一些量是不變的。我們稱變化著的量為變量,相對不變的量為常量。自變量因變量1、函數的概念定義1設x,y是兩個變量,D是一個給定的非空數集.如果對于每個數,變量y按照一定法則總有確定的數值和它對應,那么稱y是x的函數,記作其中,x稱為自變量,y稱為因變量.f是函數符號,它表示x與y的對應法則.數集D稱為這個函數的定義域,也記為Df,即.1、函數的概念

對

,按照對應法則

f,

總有確定的值

y0(記為f(x0))與之對應,稱

f(x0)為函數在點

x0處的函數值.因變量與自變量的這種相依關系通常稱為函數關系.

當自變量x取遍D的所有數值時,對應的函數值

f(x)的全體構成的集合稱為函數

f的值域,記為Rf或

f(D),即1、函數的概念注：構成函數的要素為：定義域與對應法則.它們的定義域和對應法則均相等.定義域的確定：(1)對實際問題,根據問題的實際意義確定；(2)對抽象函數表達式,約定:定義域是使算式有意義的一切實數組成的集合.例如兩函數相等1、函數的概念例1判斷下列函數是否相同.解

(1)

的定義域為

所以的定義域為1、函數的概念例1判斷下列函數是否相同.解

(2)

對應法則不同

所以1、函數的概念顯函數：函數

y由

x的解析表達式直接表示.例如：隱函數：函數的自變量

x與因變量

y的對應關系由方程

來確定.例如：分段函數：函數在其定義域的不同范圍內,具有不同的解析表達式.1、函數的概念例2

絕對值函數的定義域,值域.例3符號函數的定義域,值域.1、函數的概念例4

取整函數,其中[x]表示不超過x的最大整數.例如,取整函數的定義域,值域.2、函數的幾何特性（1）.函數的有界性

定義2

設函數f(x)的定義域為D,數集,若存在一個正數M,使得對一切,恒有,則稱函數f(x)在X上有界,或稱f(x)是X上的有界函數.函數的界2、函數的幾何特性注：定義中的正數M不存在,則稱f(x)在X上無界,或稱f(x)是X上的無界函數.結論：f(x)在X上有界f(x)在X上既有上界又有下界.幾何意義：曲線

y=f(x)的圖像在區間D內被限制在y=-M和

y=M兩條直線之間.2、函數的幾何特性注：(1)若函數在某區間內有界,則正數M的取值不唯一.例如：在內有界,我們也可以取M=2.(2)有界性與區間有關.例如：在區間

(1,2)內有界,但在區間

(0,1)內無界.2、函數的幾何特性（2）.函數的單調性

定義3

設x1和x2為區間(a,b)內的任意兩個數,若當x1<x2時函數值,則稱函數f(x)在區間(a,b)內單調增加或遞增(如圖1所示);若當x1<x2時有,則稱函數f(x)在區間(a,b)內單調減少或遞減(如圖2所示).例

討論函數的單調性.解函數的定義域為任取且則即所以,f(x)在區間內是單調增加的.單調增加或單調減少的函數,統稱為單調函數.相應的區間稱為函數的單調區間.2、函數的幾何特性2、函數的幾何特性（3）.函數的奇偶性

定義4

設函數f(x)的定義域D關于原點對稱,若對任意的,恒有,則稱f(x)為奇函數；若對任意的,有,則稱f(x)為偶函數.注：偶函數的圖形關于y軸對稱(如圖a);奇函數的圖形關于原點對稱(如圖b).2、函數的幾何特性例如

函數

是奇函數,函數

是偶函數,而函數

既不是奇函數又不是偶函數.例5

判斷函數

的奇偶性.解

因為函數的定義域為,且所以f(x)為奇函數.2、函數的幾何特性（4）.函數的周期性

定義5

設函數f(x)的定義域為D,若存在常數T>0,使對任意的,恒有成立,則稱

f(x)為周期函數,滿足上式的最小正數

T稱為f(x)的周期.注：若f(x)是周期為T的周期函數,則在長度為T的兩個相鄰的區間上,其函數圖形的形狀相同.

2、函數的幾何特性（4）.函數的周期性

定義5

設函數f(x)的定義域為D,若存在常數T>0,使對任意的,恒有成立,則稱

f(x)為周期函數,滿足上式的最小正數

T稱為f(x)的周期.例如三角函數

sinx與cosx均是R上的周期函數,周期均為

.

tanx是周期為

的周期函數.初等函數Chapter2第一部分：反函數定義6

設函數

y=f(x)的定義域為D,值域為Rf,對任一,都有唯一確定的

與之對應,且滿足

f(x)=y,則x是定義在Rf上,以y為自變量的函數,稱為函數

y=f(x)的反函數,記為2.通常將反函數記作

;4.函數與其反函數的圖像關于直線

y=x對稱;5.單調函數一定存在反函數.注：1.與互為反函數;3.的定義域與值域分別為

y=f(x)的值域與定義域;

函數與其反函數第一部分：反函數

反函數的圖像:

的圖像關于直線

y=x對稱.

定義域為D,值域為Rf

第一部分：反函數

求反函數的步驟：解出,交換x和y反函數.

第一部分：反函數例7求函數的反函數.解

的定義域為

值域為交換x和y,得反函數第二部分：基本初等函數常值函數:

定義域：函數圖像：與x軸平行或重合.基本初等函數包括:

常值函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數.第二部分：基本初等函數冪函數:

定義域：(為實數)當取不同值時,定義域也不同.1.當時,函數圖像：過原點(0,0)和(1,1),在內單調增加且無界.2.當時,函數圖像：單調減少且無界,曲線以x軸和y軸過點(1,1),在內為漸近線.第二部分：基本初等函數指數函數:

定義域：(a為常數)1.當時,函數圖像:在x軸上方,且過點(0,1).函數單調增加且無界,值域：x軸的負半軸是曲線的漸近線.2.當時,函數單調減少且無界,x軸的正半軸是曲線的漸近線.第二部分：基本初等函數對數函數:

定義域：(a為常數)1.當時,函數圖像:在y軸右方,且過點(1,0).函數單調增加且無界,值域：y軸的負半軸是曲線的漸近線.2.當時,函數單調減少且無界,y軸的正半軸是曲線的漸近線.第二部分：基本初等函數指數函數與對數函數互為反函數.由指數函數和對數函數的圖像可知,定義域：值域：交換x和y,得反函數第二部分：基本初等函數正弦函數:

定義域：三角函數包括:

值域：函數是以為周期的周期函數,是奇函數,也是有界函數.第二部分：基本初等函數余弦函數:

定義域：值域：函數是以為周期的周期函數,是偶函數,也是有界函數.注:

正弦函數的圖像沿x軸向左平移,即得余弦函數的圖像.正割函數:

余割函數:

第二部分：基本初等函數正切函數:

函數是奇函數,并以為周期,

在內單調增加,直線為其漸近線.定義域：值域：第二部分：基本初等函數余切函數:

值域：函數是奇函數,并以為周期,

在內單調減少,直線為其漸近線.定義域：第二部分：基本初等函數

對于值域中的任何

y值,三角函數的自變量

x均有無窮多個值與之對應,因此在整個定義域上所有三角函數都不存在反函數.注：只有限制

x的取值范圍后,才能考慮其反函數.

第二部分：基本初等函數反正弦函數:

定義域：反三角函數包括:

值域：函數圖像:是單調增加的奇函數.反正弦函數是正弦函數在主值區間上的反函數.第二部分：基本初等函數反余弦函數:

定義域：值域：函數圖像:是單調減少的非奇非偶函數.反余弦函數是余弦函數在主值區間上的反函數.第二部分：基本初等函數反正切函數:

定義域：值域：函數圖像:是單調增加的奇函數.反正切函數是正切函數在主值區間上的反函數.第二部分：基本初等函數反余切函數:

定義域：值域：函數圖像:是單調減少的非奇非偶函數.反余切函數是余切函數在主值區間上的反函數.第三部分：復合函數定義7

設函數

y=f(u)的定義域為Df,而函數u=g(x)的值域為Rg,若,則稱函數

y=f[g(x)]為函數

y=f(u)和u=g(x)的復合函數,其中,x稱為自變量,y稱為因變量,u稱為中間變量.(2)復合函數還可以由兩個以上的函數復合而成,即中間變量可以有多個.注:(1)只有當

時,兩個函數才可以構成一個復合函數.第三部分：復合函數例10

第四部分：初等函數定義8由基本初等函數經過有限次四則運算和有限次復合,并在定義域內由一個解析式表示的函數,稱為初等函數.例如

都是初等函數.第四部分：初等函數形如

的函數,稱為冪指函數,其中f(x)和g(x)均為初等函數,且

f(x)>0,由恒等式

可知,冪指函數為初等函數.例如

1.等都是冪指函數,因此都是初等函數.2.分段函數一般不是初等函數.三角函數Chapter3*第一部分：三角函數三角函數公式正弦函數余弦函數正切函數余切函數正割函數余割函數第二部分：三角函數常用公式常用公式：

1.倍角公式：

2.平方公式：3.半角公式：4.和差公式：第二部分：三角函數常用公式常用公式：

5.和差化積：

反三角函數Chapter4*第一部分：反三角函數反三角函數公式反正弦函數反余弦函數反正切函數反余切函數限制三角函數x的取值區間,使其在所選區間上為單調函數,則存在三角函數的反函數,即反三角函數.區間Chapter5*第一部分：區間開區間：

實數集

a,b稱為區間的端點,這些區間統稱為有限區間,它們都可以用數軸上長度有限的線段來表示,如閉區間：

實數集

半開半閉區間：

第一部分：區間無限區間：

第二部分：鄰域定義9

設

為某個正數,實數集,即開區間

稱為點a的

鄰域,記作,其中a稱為鄰域的中心,

稱為鄰域的半徑.點a的鄰域去掉中心a后的集合,即

稱為點a的去心鄰域,記為,其中

稱為a的左鄰域,稱為a的右鄰域.小結1.

函數的概念函數的定義，函數的運算，求函數的定義域，求函數的表達式等.2.

函數的特性有界性，單調性，奇偶性，周期性.3.

反函數反函數與直接函數互為反函數,它們的圖像關于直線

y=x對稱.小結4.

基本初等函數常值函數，冪函數，指數函數，對數函數三角函數，反三角函數.5.

復合函數簡言之,復合函數就是函數的函數.6.

初等函數基本初等函數注意函數復合的條件.復合函數初等函數謝謝！

§1.2

數列和函數的極限

CONTENT1

數列的極限2收斂數列的性質目錄3函數的極限4函數極限的性質引言

祖沖之(429年－500年),南北朝時期著名的數學家、天文學家,范陽郡遒縣(今河北省淶水縣)人,出生于丹陽郡建康縣(今江蘇省南京市),首次將“圓周率”精算到小數第七位,即在3.1415926和3.1415927之間,簡化為3.1415926,被默認為是中國的“圓周率鼻祖”.引言

祖沖之(429年－500年),南北朝時期著名的數學家、天文學家,范陽郡遒縣(今河北省淶水縣)人,出生于丹陽郡建康縣(今江蘇省南京市),首次將“圓周率”精算到小數第七位,即在3.1415926和3.1415927之間,簡化為3.1415926,被默認為是中國的“圓周率鼻祖”.引言

2009年,美國眾議院正式通過一項無約束力決議,將每年的3月14日設定為“圓周率日”,

2011年,國際數學協會正式宣布,將每年的3月14日設為國際數學節,來源則是中國古代數學家祖沖之的圓周率.引言

劉徽(約225年—約295年),魏晉時期著名數學家,山東省濱州鄒平市人,是我國古代歷史上第一位精確計算圓周率的數學家,他利用圓內接正多邊形來推算圓面積的方法:割圓術,就是極限思想在幾何學上的應用.引言

劉徽在數學上的主要成就之一就是為《九章算術》做注解,創立割圓術來計算圓周率的方法,含有極限觀念,他正確地計算出圓內接正192邊形的面積,得出圓周率的近似值為3.14.在此基礎上,他又進一步算出圓內接正3072邊形的面積,得到圓周率的近似值為3.1416,等于現在通常計算中所規定的π值.引言

2019年3月14日,谷歌宣布日裔前谷歌工程師愛瑪(EmmaHarukaIwao)在谷歌云平臺的幫助下,計算到圓周率小數點后31.4萬億位,即3.1415926535897,打破世界紀錄！以往人們都是用超級計算機計算π,愛瑪是第一個運用云計算進行計算的人.引言

2021年8月17日,美國趣味科學網站報道,瑞士研究人員使用一臺超級計算機,歷時108天,將著名數學常數圓周率π計算到小數點后62.8萬億位,創下該常數迄今最精確值記錄.引言割圓術:

“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——劉徽播放引言正六邊形面積正十二邊形面積……正邊形面積數列的極限Chapter1數列:第一部分：數列的概念自變量為正整數的函數其函數值按自變量n由小到大排列成的一列數稱為數列,簡記為其中稱為數列的通項或一般項.

由于一個數列完全由其一般項所確定,故也把數列簡稱為數列例11第二部分：數列的極限(1)(2)(3)(4)第二部分：數列的極限當n無限增大時,數列(1)的一般項無限接近于0;當n無限增大時,數列(2)的一般項無限接近于1;當n無限增大時,數列(3)的一般項

不是1,就是-1,

不接近于任何確定的常數;當n無限增大時,數列(4)的一般項無限增大,也不

接近于任何確定的常數.觀察數列當時的變化趨勢.第二部分：數列的極限播放觀察數列當時的變化趨勢.實驗表明:當n無限增大時,上述數列無限接近于1.思考:“無限接近”意味著什么？第二部分：數列的極限第二部分：數列的極限定義10如果當n無限增大時,數列an無限接近于一個確定的常數A,那么A就叫做數列an的極限或說數列an收斂于A,記為

如果數列an沒有極限,就稱數列an發散.

讀作“當n趨于無窮大時,數列an的極限等于A或an趨于A”.例11或第二部分：數列的極限數列極限的嚴格數學定義定義11*

設有數列{xn}與常數a,若對于任意給定的正數(不論它多么小),總存在正整數N,使得對于n>N時的一切xn,不等式都成立,則稱常數a為數列{xn}的極限,或稱數列{xn}收斂于a,記為說明：(1)正數

是任意給定的(既是任意的,又是給定的).用來刻畫“xn無限趨近于a”的程度,越小,xn越接近于a；

(2)正整數N是隨

而定的,即N與

有關,用來刻畫“n無限增大”的程度.數列極限的嚴格數學定義幾何意義：若,則對于任給的>0,無論它多么小,都存在正整數N,在{xn}中,從第N+1項開始以后所有各項全部落在a的

鄰域中,在這個鄰域之外,最多只有{xn}的有限項.第二部分：數列的極限例12證明證

對任意給定的,要使不等式

成立,只需.因此,若取

時,有,從而有

由定義可知,收斂數列的性質Chapter2*第一部分：收斂數列的性質定理1*(唯一性)

若數列{xn}收斂,則其極限是唯一的.定理2*(有界性)

收斂數列是有界的.注:

定理2的逆命題不成立,即有界數列未必收斂.如

是有界數列,但它沒有極限.第一部分：收斂數列的性質定理3*(保號性)

若,且

a>0(或a<0),則必存在正整數N,當n>N時,恒有xn>0(或xn<0).推論*若數列{xn}從某項起有xn>0(或xn<0),且若,則

定理4*(收斂數列與其子數列間的關系)

若數列{xn}收斂于a,

則它的任一子數列也收斂于a.函數的極限Chapter3第一部分：時函數的極限定義12如果當x的絕對值無限增大(即

時),函數f(x)的值無限接近于一個確定的常數A,那么A就叫做函數f(x)當

時的極限,記為注:

自變量x的絕對值無限增大指的是：x既可以取正值,也可以取負值,但其絕對值無限增大.第一部分：時函數的極限定義13’

當(或)時,函數

f(x)趨近于常數A,則稱常數A為(或)時的極限,記為注：第二部分：時函數極限的嚴格數學定義定義4*設函數f(x)在(M為正的常數)時有定義,A為常數,若對任意給定的正數(不論多么小),總存在正數X,使當

時,恒有則稱常數A為

時函數f(x)的極限,記為第二部分：時函數極限的嚴格數學定義幾何意義：

表示作直線

和,則總存在一個正數X,使得當

時,函數

y=f(x)的圖形位于這兩條直線之間

練習例13用定義證明

證

對任意給定的,要使

只需,因此,取,則當

時,必有

于是由定義4知,

練習例14討論極限

是否存在.

解

由函數

的圖形可知,

由于故

不存在.

第三部分：水平漸近線水平漸近線：若,則稱直線

y=C為函數

y=f(x)圖形的水平漸近線.例如,例13中直線

y=0為

的水平漸近線;例14中直線

及

均為

的水平漸近線.第四部分：時函數的極限考察函數當x分別從左側和右側趨于0.5時的變化趨勢見下表.x00.10.30.40.49…0.5…0.510.60.91f(x)11.21.61.81.98…2…2.022.22.83由表可知,當x無限接近于0.5時,f(x)趨于常數2.我們稱當時,函數f(x)的極限為2.則當時,函數f(x)的極限為2.令第四部分：時函數的極限定義14如果當x無限接近于定值

x0,即當

時(在

x0處可以無定義),函數

f(x)無限接近于一個確定的常數A,那么A就叫做函數

f(x)當

時的極限,記為

特例：

第五部分：時函數極限的嚴格數學定義定義15*設函數

f(x)在

x0的某去心鄰域內有定義,A為常數.若對任意給定的(無論

多么小),總存在,使當

時,恒有則稱常數A為函數

f(x)當

時的極限,記為說明：

(1)函數極限與

f(x)在點

x0處是否有定義無關；(2)與任意給定的正數

有關；第五部分：時函數極限的嚴格數學定義說明：(3)的幾何解釋:任意給定一正數,作平行于x軸的兩條直線

和.根據定義,對于給定的,存在點

x0的一個

去心鄰域,當

y=f(x)的圖形上的點的橫坐標

x落在該鄰域內時,這些點對應的縱坐標落在帶形區域

內.第六部分：左、右極限左極限：當

時,函數

f(x)趨于常數A,則稱A為

f(x)在點

x0處的左極限,記為,簡記為右極限：當

時,函數

f(x)趨于常數A,則稱A為

f(x)在點

x0處的右極限,記為,簡記為注：

練習例15用定義證明.

證

當

時,任意給定,要使只要取,則當

故由定義6知

練習例16設,討論

是否存在.

解

因為所以

不存在.

練習例17設,求.

解

因為所以

練習例18設,求.

解

因為所以

不存在.函數極限的性質Chapter4第一部分：函數極限的性質定理5*

(1)(唯一性)若

存在,則其極限值唯一；

(2)(局部有界性)若

存在,則函數

f(x)在

x0的某去心鄰域內有界；

(3)(局部保號性)若,且

A>0(或

A<0),則在

x0的某去心鄰域內恒有(4)若,且在

x0的某去心鄰域內

f(x)>0(或

f(x)<0),則有小結1.

數列極限的概念2.

收斂數列的性質

收斂:

數列沒有極限.

發散:小結3.

函數極限的概念4.

函數左、右極限的概念5.

極限存在與左、右極限之間的關系時函數的極限:時函數的極限:或或或謝謝！

引言1.割圓術:

“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——劉徽引言1.割圓術:

“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——劉徽引言1.割圓術:

“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——劉徽引言1.割圓術:

“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——劉徽引言1.割圓術:

“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——劉徽引言1.割圓術:

“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——劉徽引言1.割圓術:

“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——劉徽引言1.割圓術:

“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——劉徽引言1.割圓術:

“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”——劉徽返回觀察數列當時的變化趨勢.第二部分：數列的極限觀察數列當時的變化趨勢.第二部分：數列的極限觀察數列當時的變化趨勢.第二部分：數列的極限觀察數列當時的變化趨勢.第二部分：數列的極限觀察數列當時的變化趨勢.第二部分：數列的極限觀察數列當時的變化趨勢.第二部分：數列的極限觀察數列當時的變化趨勢.第二部分：數列的極限觀察數列當時的變化趨勢.第二部分：數列的極限觀察數列當時的變化趨勢.第二部分：數列的極限觀察數列當時的變化趨勢.第二部分：數列的極限觀察數列當時的變化趨勢.第二部分：數列的極限觀察數列當時的變化趨勢.第二部分：數列的極限返回§1.3

無窮小與無窮大

CONTENT1無窮小2無窮大目錄無窮小Chapter1第一部分：無窮小的概念定義16極限為零的變量(函數)稱為無窮小.例如

(1)函數sinx是當

時的無窮小；(2)函數

是當

時的無窮小；(3)

是當

時的無窮小.第一部分：無窮小的概念說明：

(1)無窮小本質上是這樣一個變量(函數)：在某個過程(如

或)中,該變量的絕對值能小于任意給定的正數.(2)無窮小不能與很小的數(如千萬分之一)混淆,但零可以作為無窮小的唯一常數.(3)無窮小是相對于x的某個變化過程而言的.

例如,當

時,是無窮小；

當

時,不是無窮小.第一部分：無窮小的概念定理6*

的充分必要條件是其中

是當

時的無窮小.證*

必要性

設,則對任意給定的,存在,使當

時,恒有令,則

是當

時的無窮小,且第一部分：無窮小的概念定理6*

的充分必要條件是其中

是當

時的無窮小.證*

充分性

設

其中A為常數,是當

時的無窮小,于是

因為

是當

時的無窮小,故對任意給定的,存在,使當

時,恒有,即

從而.第二部分：無窮小的性質定理7(1)有限個無窮小的和或差仍為無窮小；(2)有限個無窮小的積仍為無窮小；(3)無窮小與有界函數之積是無窮小；

常數與無窮小之積仍為無窮小.

練習例19求

解

因

時,,故

時,為有界函數.又因

時,x為無窮小,由定理1知,當

時,為無窮小,即無窮大Chapter2第一部分：無窮大的概念定義17當

時,函數

f(x)的絕對值|

f(x)|無限增大(即大于預先給定的任意正數),則稱函數

f(x)為

時的無窮大,記為若,則稱函數

f(x)為

時的正無窮大(或負無窮大).例如第一部分：無窮大的概念是時的負無窮大量,是時的正無窮大量,即說明:無窮大是極限不存在的一種特殊情形.表示:極限不存在注:第一部分：無窮大的概念(1)無窮大量是變量,不能與很大的數混淆;(2)無窮大量與自變量的變化過程有關;(3)無窮大量必無界,但反之不真.例如當時是無界的,但不是無窮大.第二部分：鉛直漸近線鉛直漸近線：

若,則稱直線

為

y=f(x)圖形的鉛直漸近線.例如,

時,的絕對值無限增大,即當

時,是無窮大,故,

x=1為

的鉛直漸近線.第三部分：無窮小與無窮大的關系定理8在自變量的同一變化過程中,若

f(x)為無窮大,則

為無窮小;反之,若

f(x)為無窮小,且,則

為無窮大.例如,因,故

；

因,故.

練習例20求解因為根據無窮小與無窮大的關系有小結1.

無窮小的概念及性質2.

無窮大的概念及鉛直漸近線3.

無窮小與無窮大的關系

謝謝！

§1.4

極限運算法則

CONTENT1極限的四則運算法則2復合函數的極限目錄極限的四則運算法則Chapter1第一部分：極限的四則運算法則定理9設

則第一部分：極限的四則運算法則注：

定理中的(1)和(2)可推廣到有限個函數的情形.推論：

設

存在,C為常數,n為正整數,則有

練習例21求

解

推廣：設,則

練習例22求

解

注：設有理分式函數,其中

分別為n次和m次多項式,且,則

練習求例23解商的法則不能用,又由無窮小與無窮大的關系,得

練習求例24解先約去不為零的公因式x-1

后再求極限,時,分子和分母的極限都是零(型),消去零因子法

練習求例25解時,分子和分母的極限都是無窮大(型),無窮小因子分出法先將分子分母除以x的最高次冪,分出無窮小,再求極限,

練習注:當m和n為非負整數時,有無窮小因子分出法:分子和分母同除以自變量的最高次冪，以分出無窮小,然后再求極限的方法.

練習例26求

解

當

時,題設極限是無窮多個無窮小之和,先變形再求極限.

練習例28已知,求常數

a,b.解

由于

于是,上式中分子多項式的次數應為零,故有

解得

練習例29求

解

由于

且|sinx+cosx|<2,故由無窮小的性質,得

復合函數的極限Chapter2第一部分：復合函數的極限定理10(變量替換定理)設

y=f(u)與

u=g(x)構成復合函數.若,且,又,則有

練習例30求解(法一)作變換

u=sinx,則當

時,,得

練習例30求解(法二)小結2.

復合函數的極限1.

極限的四則運算法則四則運算法則、“消去零因子法”、“無窮小因子分出法”、“有理化法”

變量替換定理：謝謝！

§1.5

極限存在準則與兩個重要極限

CONTENT1極限存在準則2兩個重要極限目錄極限存在準則Chapter1第一部分：極限存在準則定理11(夾逼準則)(1)若數列{xn},{yn},{zn}滿足下列條件：

1)2)

則數列{xn}的極限存在,且(2)假設在x0的某去心鄰域內有,

且有

則極限limf(x)存在,

且有

練習例31求

解

設,因,又

由夾逼準則得

第一部分：極限存在準則定義18

若數列{xn}滿足條件,則稱數列{xn}是單調增加的；若數列{xn}滿足條件,則稱數列{xn}是單調減少的.

單調增加和單調減少的數列統稱為單調數列.定理12

單調有界數列必有極限.注：

收斂的數列必定有界,但有界的數列不一定收斂.

練習例32設有數列

求

解

顯然,故數列{xn}是單調增加的.

下面用數學歸納法證明數列{xn}有界.因為,假定

,則有

故{xn}是有界的.

根據定理2知

存在.設,因為

練習解

例32設有數列

求

所以

即

解得

所以

兩個重要極限Chapter2第一部分：兩個重要極限1.注:

例如：看作看作(型)

練習例33

求

解

例34

求

解

第一部分：兩個重要極限2.例如看作或(型)注：

或

練習例35（1）求

（2）

求

解

解

練習（3）

求

（4）求

解

解

練習例36（1）

求

解

例36（2）

求

解

令,則,且

時,,于是由例12得

練習例37

求

解

應用案例例38

設有一筆本金A0存入銀行,年利率為r,則第一年年末結算時,其本利和為

若一年分兩期計息,每期利率為,且前一期的本利和為后一期的本金,則第一年年末的本利和為

應用案例若一年分n期計息,每期利率為,且前一期的本利和為后一期的本金,則第t年年末的本利和為

稱為第t年年末本利和的離散復利公式.

應用案例令,則表示利息隨時計入本金,因此,第t年年末的本利和為

稱為第t年年末本利和的連續復利公式.本金A0稱為現在值或現值,第t年年末本利和An(t)或A(t)稱為未來值.已知現在值A0,求未來值An(t)或A(t),稱為復利問題；已知未來值An(t)或A(t),求現在值A0,稱為貼現問題,這時稱利率r為貼現率.

小結1.

極限存在性定理2.

兩個重要極限

夾逼定理1.2.或謝謝！

§1.6

無窮小的比較

CONTENT1無窮小比較的概念2等價無窮小目錄無窮小比較的概念Chapter1

引例引例

當

時,x,3x,x2,sinx都是無窮小量,也就是說,當

時,x,3x,x2,sinx都趨近于零.但是,它們趨近于零的速度有差異,見下表：

快慢是相對的.如,x2比3x趨近于零的速度要快得多,此時

sinx與

x趨近于零的速度大致相同,此時

第一部分：無窮小比較的概念定義19設

是在自變量變化的同一過程中的兩個無窮小,且

(1)若

則稱

是比

高階的無窮小,記作

；

(2)若

則稱

是比

低階的無窮小；

(3)若

則稱

與

是同階的無窮小；特別地,若

則稱

與

是等價無窮小,記作

；(4)若

則稱

是

的k階的無窮小.

練習例39證明:當

時,為x的四階無窮小.證

因為故當

時,為x的四階無窮小.例40當

時,求tanx-sinx關于x的階數.解

因為故當

時,tanx-sinx為x的三階無窮小.等價無窮小Chapter2第一部分：常用等價無窮小當時,常用的等價無窮小量：例如

當

時,.

第二部分：等價無窮小定理13設

是同一過程中的無窮小,且存在,則

證

定義設是同一變化過程中的兩個無窮小量,如果則稱與是等價無窮小量,記作~

練習例41求解

當

時,故

第二部分：等價無窮小注：(1)求兩個無窮小量商的極限時,分子、分母可分別用它們的等價無窮小量代替.(2)只有當分子或分母為函數的乘積時，各個乘積項量代換.(3)對于和或差中的函數,一般不能分別用等價無窮小才可以分別用它們的等價無窮小量代換.

等價無窮小例42求解

練習例43求解

當

時,故

小結1.

無窮小比較的概念

高階無窮小、低階無窮小、同階無窮小、等價無窮小、k階無窮小2.

等價無窮小小結3.

常用的等價無窮小當時,謝謝！

§1.7

函數的連續性

CONTENT1連續與間斷的概念2連續函數的運算性質目錄3閉區間上連續函數的性質連續與間斷的概念Chapter1

引言

例

自然界中有許多現象和事物不僅是運動變化的,而且這種變化往往是連續不斷的.如氣溫的變化,河水的流動都是隨著時間而連續地變化,這些現象反映在數學上就是函數的連續性.第一部分：函數的增量

設函數y=f(x)在點的某個鄰域內有定義,當自變量x由變到時,函數y相應地由變到，因此函數相應的增量為注:

是一個不可分割的整體記號.第一部分：函數的增量當

趨于零時,函數

y對應的增量也趨向于零,即

那么就稱函數

y=f(x)在點

處連續.第二部分：連續與間斷的概念令則得當時,有而當時,有則定義20

設函數

f(x)在點

x0的某鄰域內有定義.

(1)若,則稱

f(x)在點

x0處連續,并稱

x0為

f(x)

的一個連續點；

(2)若

f(x)在開區間(a,b)內每一點都連續,則稱

f(x)在(a,b)內

連續；

(3)若

x0不是

f(x)的連續點,則稱

x0為

f(x)的間斷點,或稱

f(x)在點

x0處間斷.第二部分：連續與間斷的概念第二部分：連續與間斷的概念(1)函數

f(x)在點處有定義;函數

f(x)在點處連續,必須同時滿足以下三個條件：(2)極限存在;(3)注：

練習例試證函數在x=0處連續.證幾何解釋：若

f(x)連續,則曲線

y=f(x)的圖形是一條連續不間斷的曲線；若

x0是

f(x)的間斷點,則曲線

y=f(x)在點

處發生斷裂.如圖所示,函數

f(x)在區間(a,b)內共有三個間斷點:x1,x2,x3.第二部分：連續與間斷的概念第三部分：單側連續的概念定義21(1)若

f(x)在點

x0的某左鄰域內有定義,且,則稱

f(x)在點

x0處左連續；若

f(x)在點

x0的某右鄰域內有定義,且,則稱

f(x)在點

x0處右連續.第三部分：單側連續的概念定義21(1)若

f(x)在點

x0的某左鄰域內有定義,且,則稱

f(x)在點

x0處左連續；若

f(x)在點

x0的某右鄰域內有定義,且,則稱

f(x)在點

x0處右連續.(2)若

f(x)在閉區間[a,b]上有定義,在開區間(a,b)內連續,且在左端點a處右連續、在右端點b處左連續,則稱

f(x)在閉區間[a,b]上連續.第三部分：單側連續的概念注：函數f(x)在點處連續

練習例44討論函數

在點

x=0和

x=1處的連續性.

解

在點

x=0處,有

由此可知

因此,f(x)在

x=0處連續.

練習例44討論函數

在點

x=0和

x=1處的連續性.

解

在點

x=1處,有

因左、右極限不相等,故

不存在,故

x=1是

f(x)的間斷點.

但是,由