§1.2n階行列式目錄排列及其逆序數對換n階行列式的定義Part1排列及其逆序數一、排列引例用1、2、3三個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？解123123百位3種放法十位1231個位1232種放法1種放法種放法.共有一、排列問題把n個不同的元素排成一列,共有幾種不同的排法？排列：由n個不同數碼1

2

n組成的有序數組i1i2

in

稱為一個n級排列(或全排列).

個不同的元素的所有排列的種數，通常用表示.由引例知同理二、排列的逆序數定義排列的逆序數：我們規定各元素之間有一個標準次序,

n個不同的自然數,規定由小到大為標準次序.在一個n級排列中,如果,則稱這兩個數組成一個逆序.一個n級排列中逆序的總數,稱為它的逆序數,記為二、排列的逆序數例如排列32514

中，

32514逆序逆序逆序3251431逆序數為奇數的排列稱為奇排列;逆序數為偶數的排列稱為偶排列.排列的奇偶性：逆序數為001奇排列故此排列的逆序數為二、排列的逆序數計算排列逆序數的方法：方法1：逐個計算每個數碼前面比它大的數碼的個數,將它們連加起來即為所求排列的逆序數.方法2：逐個計算每個數碼后面比它小的數碼的個數,將它們連加起來即為所求排列的逆序數.方法3：分別計算出排在前面比它大的數碼的個數,將它們連加起來即為所求排列的逆序數.練習例1求6級排列326145的逆序數,并確定其奇偶性.3排在首位，沒有比它大的數碼排在前面，故逆序數為0；2前面有3比它大，故逆序數為1；6前面沒有數碼比它大，故逆序數為0；1前面有3個數碼比它大，故逆序數為3；4前面有1個數碼比它大，故逆序數為1；5前面有1個數碼比它大，故逆序數為1；所以，N(326145)=0+1+0+3+1+1=6解故該排列為偶排列.方法1練習例2計算下列排列的逆序數,并討論它們的奇偶性.解(1)(2)n(n-1)…21(1)217986354N(217986354)=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18此排列為偶排列.練習例2計算下列排列的逆序數,并討論它們的奇偶性.(2)n(n-1)…21(1)217986354解(2)當時為偶排列；當時為奇排列.Part2對換一、對換對換：

在一個排列i1

is

it

in中

如果僅將它的兩個數碼is與it對調

其他數碼不變

得到另一個排列i1

it

is

in

這樣的變換稱為一個對換

記為對換(is

it)

任意一個排列經過一個對換后奇偶性改變

定理1

n個數碼(n

1)共有n!個n級排列

其中奇偶排列各占一半

定理2對排列21354施以對換(1

4)后得到排列24351

N(21354)

2

而N(24351)

5

可見對換后奇偶性改變

例如Part3n階行列式的定義一、二階、三階行列式觀察與思考

在二階行列式和三階行列式中

(1)它們的項數與階數有什么關系?(2)各項的一般形式怎樣?(3)各項的符號與下標有怎樣的關系??一、二階、三階行列式觀察與思考

?(1)在三階行列式中,共有3!=6項；說明：

(2)每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積(3)每項的正負號都取決于位于不同行不同列的三個元素的下標排列,即當為偶數時取正號,為奇數時取負號.一、二階、三階行列式例如偶排列奇排列列標排列的逆序數為列標排列的逆序數為+正號-負號二、n階行列式的定義定義(n階行列式)行列式determinant

由n2個數組成的

n階行列式等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數和記作簡記為，數aij稱為行列式det(aij)的元素.

二、n階行列式的定義其中為自然數的一個排列,N為這個排列的逆序數.二、n階行列式的定義1、行列式是一種特定的算式，它是根據求解方程個數和未知量個數相同的一次方程組的需要而定義的;2、階行列式是項的代數和;3、階行列式的每項都是位于不同行、不同列個元素的乘積;4、一階行列式不要與絕對值記號相混淆;5、的符號為說明：

練習例如

四階行列式所表示的代數和中有項.行標排列為1234,元素取自不同的行；列標排列為1234,元素取自不同的列,且逆序數為N(1234)=0,即元素乘積前面應冠以正號,所以為D的一項.練習例如

四階行列式所表示的代數和中有項.行標排列為1234,元素取自不同的行；列標排列為4312,元素取自不同的列,且N(4312)=5,即4312為奇排列,所以元素乘積前面冠以負號,即-為D的一項.

練習例如

四階行列式所表示的代數和中有項.有兩個元素取自第四列,所以它不是D的一項.練習例3

用行列式定義計算行列式解

考察的非零項,第三行和第一列均只有一個非零元素,因此非零項必取和,

取和后，就不能取和，若取則有兩個元素取自第二行,若取則有兩個元素取自第二列，不取和則只有取和,這樣是取自不同行、不同列的元素乘積,故練習例3

用行列式定義計算行列式解

是行列式D的一項,其他項至少含有一個零元素,故有練習例4

計算n階行列式解

要使取自不同行不同列的n個元素的乘積不為零,第一行只能取,第二行只能取,第三行只能取

,,第n行只能取.這樣的乘積項只有一個,即.因此結論下三角行列式

上三角行列式

對角行列式主對角線結論

副對角線二、n階行列式的定義定理3n階行列式的一般項可以記為其中與均為n級排列.練習

由行列式定義

每一項中的元素取自不同行、不同列

故有j

3

且有i

1時k

5

或i

5時k

1

當i

1

j

3

k

5時

N(14325)

N(52314)

9

該項前應冠以負號

所以

a15a42a33a21a54為|aij|的一項

當i

5

j

3

k

1時

N(54321)

N(52314)

16

該項前應冠以正號

所以a55a42a33a21a14也為|aij|的一項

若(

1)N(i432k)

N(52j14)ai5a42a3ja21ak4是五階行列式|aij|的一項

則i

j

k應為何值？此時該項的符號是什么？例5

解練習解例6

計算對角行列式分析展開式中項的一般形式是從而這個項為零，所以只能等于,同理可得即行列式中不為零的項為練習解例