湖南省長沙市楚才高級中學2022年高二數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知圓和定點若過點作圓的切線有兩條，則的取值范圍是

參考答案：D略2.已知a，b都是實數，那么“”是“”的（

）A.充要條件

B．必要不充分條件

C.充分不必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：D由可得a>b，但a,b的具體值不知道，當a=1，b=-2時成立，但無法得到故充分性不成立，再由，例如a=-2，b=-1，但得不到，故必要性也不成立，所以綜合得：既不充分也不必要

3.數列1，3，6，10，…的一個通項公式是（）A．an=n2﹣（n﹣1） B．an=n2﹣1 C．an= D．參考答案：C【考點】數列的概念及簡單表示法．

【專題】點列、遞歸數列與數學歸納法．【分析】仔細觀察數列1，3，6，10，15…，便可發現其中的規律：第n項應該為1+2+3+4+…+n=，便可求出數列的通項公式．【解答】解：設此數列為{an}，則由題意可得a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…仔細觀察數列1，3，6，10，15，…可以發現：1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…∴第n項為1+2+3+4+…+n=，∴數列1，3，6，10，15…的通項公式為an=，故選C．【點評】本題考查了數列的基本知識，考查了學生的計算能力和觀察能力，解題時要認真審題，仔細解答，避免錯誤，屬于基礎題．4.已知命題P：函數y=sinx在x=a處取到最大值；命題q：直線x﹣y+2=0與圓（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切；則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據三角函數的圖象和性質，可得命題p：a=1+4k，k∈Z；根據直線與圓的位置關系，可得命題q：a=1，或a=9，進而根據充要條件的定義，可得答案．【解答】解：當x=+2kπ，k∈Z，即x=1+4k，k∈Z時，函數取到最大值；故命題p：a=1+4k，k∈Z；若直線x﹣y+2=0與圓（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切，則=2，解得：a=1，或a=9，即命題q：a=1，或a=9，故p是q的必要不充分條件，故選：B【點評】本題考查的知識點是充要條件的定義，函數的最值及其幾何意義，直線與圓的位置關系，難度中檔．5.直線x－y=0的傾斜角為（

）．A．－1

B．1

C．

D．參考答案：C，，，∴．故選．6.某程序的框圖如圖所示，則運行該程序后輸出的的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.函數的遞增區間是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.“若存在一條與函數y＝的圖象有兩個不同交點P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直線，使y＝在x＝處的切線與此直線平行”，則稱這樣的函數y＝為“hold函數”；下列函數：①y＝；②y＝(x>0)；③y＝；④y＝lnx；其中為“hold函數”的是（

）A．①②④

B．②③

C．③④

D．①③④

參考答案：B略9.某校從6名教師（含有甲、乙、丙）中選派3名教師同時去3個邊遠地區支教（每地1人），其中甲和丙不同去，甲和乙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有（

）A．120種

B．90種

C．42種

D．36種參考答案：C分兩步，第一步，先選三名老師，又分兩類第一類，甲去，則乙一定去，丙一定不去，有C31=3種不同選法第二類，甲不去，則乙一定不去，丙可能去也可能不去，有C43=4種不同選法∴不同的選法有3+4=7種第二步，三名老師去3個邊遠地區支教，有A33=6，根據分步計數原理得不同的選派方案共有，7×6=42．故選：C．

10.如圖，為測得對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60°，再由點C沿北偏東方向是15°方向走30m到位置D，測得∠BDC=30°，則塔高是(

)A．15m B．5m C．10m D．15m參考答案：D【考點】解三角形的實際應用．【專題】應用題；方程思想；綜合法；解三角形．【分析】先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得結論．【解答】解：設塔高AB為x米，根據題意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，從而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=30，∠BCD=105°，∠BDC=30°，∠CBD=45°由正弦定理可得BC==15∴x=15∴x=15故塔高AB為15m故選：D．【點評】本題考查了正弦定理在實際問題中的應用，解決本題的關鍵是要把實際問題轉化為數學問題，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.讀下面的流程圖，若輸入的值為－5時，輸出的結果是_________.

參考答案：212.點是直線上的動點，點分別是圓和圓上的兩個動點，則的最小值為

參考答案：13.設函數f（x）=g（x）+x2，曲線y=g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為9x+y﹣1=0，則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為

．參考答案：7x+y=0【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】由切線方程可得g（1）=﹣8，可得f（1）=g（1）+1，求出g′（1）=﹣9，求出f（x）的導數，可得f′（1）=g′（1）+2，由點斜式方程即可得到所求方程．【解答】解：曲線y=g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為9x+y﹣1=0，可得g（1）=﹣8，g′（1）=﹣9，則f（1）=g（1）+1=﹣8+1=﹣7．由f′（x）=g′（x）+2x，可得f′（1）=g′（1）+2=﹣9+2=﹣7，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y+7=﹣7（x﹣1），即為7x+y=0，故答案為：7x+y=0．【點評】本題考查導數的運用：求切線的方程，考查導數的幾何意義，正確求導和運用點斜式方程是解題的關鍵，考查運算能力，屬于中檔題．14.把53名同學分成若干小組，使每組至少一人，且任意兩組的人數不等，則最多分成

個小組.參考答案：9∵，又，∴，即將8個人從第二組開始每組分1人，從而得到第一組1人，第二組3人，第三組4人，……，第九組10人，由此可得至多可以分為9個組．

15.若，則二項式展開式中含的項的系數是________.參考答案：240略16.將參數方程（t為參數），轉化成普通方程為_______．參考答案：【分析】將參數方程變形為，兩式平方再相減可得出曲線的普通方程.【詳解】將參數方程變形為，兩等式平方得，上述兩個等式相減得，因此，所求普通方程為，故答案為：.【點睛】本題考查參數方程化為普通方程，在消參中，常用平方消元法與加減消元法，考查計算能力，屬于中等題.17.動圓M過點（3，2）且與直線y=1相切，則動圓圓心M的軌跡方程為．參考答案：x2﹣6x﹣2y+12=0【考點】軌跡方程．【分析】設出圓的坐標，利用已知條件列出方程求解即可．【解答】解：設動圓圓心M（x，y），動圓M過點（3，2）且與直線y=1相切，可得：，化簡可得x2﹣6x﹣2y+12=0．則動圓圓心M的軌跡方程為：x2﹣6x﹣2y+12=0．故答案為：x2﹣6x﹣2y+12=0．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.參考答案：略19.（1）若x＞0，y＞0，x+y=1，求證：+≥4．（2）設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值．參考答案：【考點】不等式的證明；曲線與方程．【專題】轉化思想；分析法；不等式的解法及應用．【分析】（1）通分后對分母使用基本不等式；（2）將4x2+y2+xy=1移項后得4x2+y2=1﹣xy≥4xy，從而得出∴xy≤．將所求式子兩邊平方可求出最大值．【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴xy≤（）2=∴+==≥4．（2）∵4x2+y2+xy=1，∴4x2+y2=1﹣xy≥4xy，∴xy≤．∴（2x+y）2=4x2+y2+4xy=1+3xy≤，∴﹣≤2x+y≤．∴2x+y的最大值是．【點評】本題考查了基本不等式的應用，是基礎題．20.在一個盒子中，放有大小相同的紅、白、黃三個小球，現從中任意摸出一球，若是紅球記1分，白球記2分，黃球記3分．現從這個盒子中有放回地先后摸出兩球，所得分數分別記為、，設為坐標原點，點的坐標為，記．(1)求隨機變量=5的概率；(2)求隨機變量的分布列和數學期望．參考答案：(1)、可能的取值為、、，，且當或時，又有放回摸兩球的所有情況有種，

(2)的所有取值為．時，只有這一種情況．時，有或或或四種情況，時，有或兩種情況．，，，則隨機變量的分布列為：

因此，數學.略21.如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側棱AA1⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點.1）證明B1C1⊥CE;2）求二面角B1-CE-C1的正弦值.參考答案：1）如圖,以點為原點建立空間直角坐標系,依題意得,,,,,.證明:易得,,于是,所以.

2）.設平面的法向量為,則即,消去,得,不妨令,可得一個法向量為.由1問知,,又,可得平面,故為平面的一個法向量.于是,從而,所以二面角的正弦值為.22.（12分）△ABC中，a、b、c是A，B，C所對的邊，S是該三角形的面積，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．參考答案：（1）；（2）b=．（1）由正弦定理得：===2R，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知的等式得：，化簡得：