湖南省長沙市長郡雙語實驗中學2022-2023學年高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列命題中，一定正確的是（）A．若，則a＞0，b＜0 B．若a＞b，b≠0，則C．若a＞b，a+c＞b+d，則c＞d D．若a＞b，c＞d，則ac＞bd參考答案：A【考點】不等式的基本性質．【分析】A．由a＞b，=＞0，可得ab＜0，因此a＞0＞b，即可判斷出正誤．B．b＜0時不成立．C．取a=6，b=1，c=1，d=2，即可判斷出正誤．D．取a=5，b=﹣3，c=1，d=﹣6，即可判斷出正誤．【解答】解：A．∵a＞b，=＞0，∴ab＜0，因此a＞0＞b，正確．B．b＜0時不成立．C．取a=6，b=1，c=1，d=2，滿足a＞b，a+c＞b+d，而c＜d，因此不正確．D．取a=5，b=﹣3，c=1，d=﹣6，滿足a＞b，c＞d，則ac＜bd，不正確．故選：A．2.點M的直角坐標是（1，﹣），則點M的極坐標為（）A．（2，） B．（2，﹣） C．（2，） D．（2，2kπ+）（k∈Z）參考答案：B【考點】極坐標刻畫點的位置．【分析】利用直角坐標與極坐標互化公式即可得出．【解答】解：點M的直角坐標是（1，﹣），則點M的極坐標=2，tan=﹣，可得θ=﹣．∴極坐標為．故選：B．3.設拋物線y2＝8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是()A.

B．[－2,2]

C．[－4,4]

D．[－1,1]參考答案：D4.設函數在上可導,其導函數,且函數在處取得極小值,則函數的圖象可能是 （

）

參考答案：A5.已知函數，若函數在區間[0,1]上是單調遞減函數，則的最小值為(

)

A、

B、

C、2

D、1參考答案：A6.已知命題p:3≥3,q:3>4，則下列判斷正確的是(

)A．pq為真，pq為真，p為假

B．pq為真，pq為假，p為真C．pq為假，pq為假，p為假

D．pq為真，pq為假，p為假參考答案：D略7.下列命題：①“若a2＜b2，則a＜b”的否命題；②“全等三角形面積相等”的逆命題；③“若a＞1，則ax2﹣2ax+a+3＞0的解集為R”的逆否命題；④“若x（x≠0）為有理數，則x為無理數”的逆否命題．其中正確的命題是（）A．③④ B．①③ C．①② D．②④參考答案：A【考點】2K：命題的真假判斷與應用．【分析】結合四種命題的定義，及互為逆否的兩個命題，真假性相同，分別判斷各個結論的真假，可得答案．【解答】解：①“若a2＜b2，則a＜b”的否命題為“若a2≥b2，則a≥b”為假命題，故錯誤；②“全等三角形面積相等”的逆命題“面積相等的三角形全等”為假命題，故錯誤；③若a＞1，則△=4a2﹣4a（a+3）=﹣12a＜0，此時ax2﹣2ax+a+3＞0恒成立，故“若a＞1，則ax2﹣2ax+a+3＞0的解集為R”為真命題，故其逆否命題為真命題，故正確；④“若x（x≠0）為有理數，則x為無理數”為真命題，故其的逆否命題，故正確．故選：A8.已知雙曲線與拋物線y2=4x的交點為A，B，且直線AB過雙曲線與拋物線的公共焦點F，則雙曲線的實軸長為（）A．+1 B． C．﹣1 D．2﹣2參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】根據拋物線與雙曲線的焦點相同，可得c=1，利用直線AB，過兩曲線的公共焦點建立方程關系即可求出a．【解答】解：∵與拋物線y2=4x，∴c=1，∵直線AB過兩曲線的公共焦點F，∴（1，2）為雙曲線上的一個點，∴﹣=1，∵a2+b2=1，∴a=﹣1，∴2a=2﹣2．故選：D．9.如果10N的力能使彈簧壓縮10cm，為在彈簧限度內將彈簧拉長6cm，則力所做的功為（）A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J參考答案：D【考點】69：定積分的簡單應用．【分析】根據胡克定律F=kx，得：k=，即W=Fdx═100xdx，解得答案．【解答】解：根據胡克定律F=kx，得：k===100N/m，∴W=Fdx═100xdx=0.18J，故選：D．【點評】本題考查的知識點是定積分的簡單應用，其中得到功的表達式是解答的關鍵．10.對于分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k，下列說法正確的是

()A．k越大，推斷“X與Y有關系”，犯錯誤的概率越大B．k越小，推斷“X與Y有關系”，犯錯誤的概率越大C．k越接近于0，推斷“X與Y無關”，犯錯誤的概率越大D．k越大，推斷“X與Y無關”，犯錯誤的概率越小參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.代數式（1﹣x）（1+x）5的展開式中x3的系數為_____．參考答案：0【分析】根據二項式定理寫出（1+x）5的展開式，即可得到x3的系數.【詳解】∵（1﹣x）（1+x）5＝（1﹣x）（?x?x2?x3?x4?x5），∴（1﹣x）（1+x）5展開式中x3的系數為110．故答案為：0．【點睛】此題考查二項式定理，關鍵在于熟練掌握定理的展開式，根據多項式乘積關系求得指定項的系數.12.．已知空間三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設a＝，b＝，若向量ka＋b與ka－2b互相垂直，則k的值為________．參考答案：略13.已知{an}為等比數列，Sn是它的前n項和．若a2?a3=2a1，且a4與2a7的等差中項為，則S6=．參考答案：【考點】等比數列的前n項和；等差數列的性質．

【專題】計算題；等差數列與等比數列．【分析】設等比數列{an}的公比為q，由已知可得q=，a1=16，代入等比數列的求和公式可得．【解答】解：設等比數列{an}的公比為q，則可得a1q?a1q2=2a1，即a4==2又a4與2a7的等差中項為，所以a4+2a7=，即2+2×2q3=，解之可得q=，故a1=16故S6==故答案為：【點評】本題考查等比數列的求和公式，涉及等差數列的性質，屬中檔題．14.已知，且，則

▲

.參考答案：2

略15.f(x)＝2x4－3x2＋1在上的最大值、最小值分別是

參考答案：21，.16.從編號為1，2，3，4，5的5個球中任取2個球，使它們的編號之和為奇數的概率是________

參考答案：略17.已知橢圓內部的一點為，F為右焦點，M為橢圓上一動點，則的最小值為

▲

．參考答案：右準線方程為，設M到右準線的距離為d，由圓錐曲線定義知，∴d＝MF.∴MA＋MF＝MA＋d.由A向右準線作垂線，垂線段長即為MA＋d的最小值．MA＋d≥2－1.答案：2－1點睛：本題利用橢圓的第二定義進行轉化，即，所以d＝MF.即MA＋MF＝MA＋d，由A向右準線作垂線，垂線段長即為MA＋d的最小值．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F（1）求證：PC⊥面AEF；（2）設平面AEF交PD于G，求證：AG⊥PD.

參考答案：（Ⅰ）∵平面，面∴，又，∴面,面，∴∴面,面，∴，又∵,∴面.

（Ⅱ）設平面交于，由（Ⅰ）知面∴,由（Ⅰ）同理面,面，∴∴面,面，∴，19.（12分）等差數列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.(1)求{an}的通項公式；(2)設bn＝，求數列{bn}的前n項和Sn.參考答案：(1)設等差數列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.20.已知△ABC的三個頂點，其外接圓為圓H．（1）若直線l過點C，且被圓H截得的弦長為2，求直線l的方程；（2）對于線段BH（包括端點）上的任意一點P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，求圓C的半徑r的取值范圍．參考答案：（1）線段的垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，所以外接圓圓心，半徑，圓的方程為．設圓心到直線的距離為，因為直線被圓截得的弦長為2，所以．當直線垂直于軸時，顯然符合題意，即為所求；當直線不垂直于軸時，設直線方程為，則，解得，綜上，直線的方程為或．

…………6分

（2）解法一：直線的方程為，設，因為點是線段的中點，所以，又都在半徑為的圓上，所以即因為該關于的方程組有解，即以為圓心，為半徑的圓與以為圓心，為半徑的圓有公共點，所以,又，所以對成立．而在[0,1]上的值域為[,10]，所以且．又點在圓外，所以對成立，即．故圓的半徑的取值范圍為．

…………15分解法二：過點作交弦于點，則點為弦的中點．設，則有，．由勾股定理知，整理可得，所以對恒成立．令，由，可得，所以且，又，所以圓的半徑的取值范圍是．

…………15分21.在等差數列{an}中，．數列{bn}滿足，且為等比數列．（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；（2）求數列{bn}的前n項和Sn．參考答案：（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，根據題意可得：，所以；，所以因此；┄┈┈

6分（2）由（1）知，數列的前項和為，數列的前項和為22.設m為實數，函數．（1）求f(x)的極值點；（2）如果曲線與x軸僅有一個交點，求實數m的取值范圍．參考答案：(1)函數的定義域為,-------------------------------------------------（1分）令,解得或,------------