2022-2023學年河北省滄州市第二回民中學高二數學理上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若條件p：|x+1|＞2，條件q：x＞a且￢p是￢q的充分不必要條件，則a取值范圍是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】求出：|x+1|＞2，根據￢p是￢q的充分不必要條件，得出q?p，再運用集合關系求解．【解答】解：∵p：|x+1|＞2，∴p：x＞1或x＜﹣3，∵￢p是￢q的充分不必要條件，∴q是p充分不必要條件，∴p定義為集合P，q定義為集合q，∵q：x＞a，p：x＞1或x＜﹣3，∴a≥1故選：A2.點P極坐標為，則它的直角坐標是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D3.在解決下列各問題的算法中，一定用到循環結構的是（）A．求函數當時的值

B．用二分法求發近似值C．求一個給定實數為半徑的圓的面積D．將給定的三個實數按從小到大排列

參考答案：B略4.已知圓，定點，點P為圓M上的動點，點Q在NP上，，（）A． B．C． D．參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】由已知得Q為PN的中點且GQ⊥PN，|GN|+|GM|=|MP|=8，從而得到G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長a=4，半焦距c=，由此能求出點G的軌跡方程．【解答】解：∵圓，定點，點P為圓M上的動點，∴M（﹣，0），PM=8，∵點Q在NP上，，=0，∴Q為PN的中點且GQ⊥PN，∴GQ為PN的中垂線，∴|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=8，故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長a=4，半焦距c=，∴短半軸長b==3，∴點G的軌跡方程是=1．故選：A．【點評】本題考查點的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓定義和性質的合理運用．5.用數學歸納法證明“能被3整除”的第二步中，時，為了使用假設，應將變形為（）A. B.C. D.參考答案：A【分析】由題意，被3整除，為了使用假設，在分解的過程中一定要分析出含有的項，可得答案.【詳解】解：假設時命題成立，即：被3整除．當時，故選：A．【點睛】本題是一道關于數學歸納法的題目，總體方法是熟練掌握數序歸納法的步驟.6.設f(x)是一個三次函數，為其導函數.圖中所示的是的圖像的一部分.則f(x)的極大值與極小值分別是（

）.A.f(1)與f(－1) B.f(－1)與f(1) C.f(－2)與f(2) D.f(2)與f(－2)參考答案：C【詳解】易知，有三個零點因為為二次函數，所以，它有兩個零點由圖像易知，當時，；當時，，故是極小值類似地可知，是極大值.故答案為：C7.已知某離散型隨機變量服從的分布列如圖，則隨機變量的方差等于（

）

A.

B.

C.

D. 參考答案：B8.執行如圖所示的 程序框圖，因輸出的結果為（

）A．2

B．3

C.4

D．5參考答案：D9.執行如圖所示的程序框圖，輸出．那么判斷框內應填（）A．k≤2015 B．k≤2016 C．k≥2015 D．k≥2016參考答案：A【考點】程序框圖．【專題】計算題；圖表型；運動思想；分析法；算法和程序框圖．【分析】模擬執行程序框圖，根據程序的功能進行求解即可．【解答】解：本程序的功能是計算S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，由1﹣=，得=，即k+1=2016，即k=2015，即k=2016不成立，k=2015成立，故斷框內可填入的條件k≤2015，故選：A．【點評】本題主要考查了循環結構的程序框圖的應用問題，也考查了數列求和的應用問題，屬于基礎題．10.a，b滿足a＋2b＝1，則直線ax＋3y＋b＝0必過定點(

)．A． B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓C上一點，且，若F1關于平分線的對稱點在橢圓C上，則該橢圓的離心率為______．參考答案：【分析】根據橢圓的定義與幾何性質判斷為正三角形，且軸，設，可得，從而可得結果.【詳解】因為關于的對稱點在橢圓上，則，，為正三角形，，又，所以軸，設，則，即，故答案為.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．12.將4個相同的白球、5個相同的黑球、6個相同的紅球放入4個不同盒子中的3個中，使得有1個空盒且其他3個盒子中球的顏色齊全的不同放法共有

種.（用數字作答）參考答案：720試題分析：本題可以分步來做：第一步：首先從4個盒子中選取3個，共有4種取法；第二步：假定選取了前三個盒子，則第四個為空，不予考慮。由于前三個盒子中的球必須同時包含黑白紅三色，所以我們知道，每個盒子中至少有一個白球，一個黑球和一個紅球。第三步：①這樣，白球還剩一個可以自由支配，它可以放在三個盒子中任意一個，共3種放法。②黑球還剩兩個可以自由支配，這兩個球可以分別放入三個盒子中的任意一個，這里有兩種情況：一是兩個球放入同一個盒子，有3種放法；二是兩個球放入不同的兩個盒子，有3種放法。綜上，黑球共6種放法。③紅球還剩三個可以自由支配，分三種情況：一是三個球放入同一個盒子，有3中放法。二是兩個球放入同一個盒子，另外一個球放入另一個盒子，有6種放法。三是每個盒子一個球，只有1種放法。綜上，紅球共10種放法。所以總共有4×3×6×10=720種不同的放法。考點：排列、組合；分布乘法原理；分類加法原理。點評：本題考查排列、組合的運用，注意本題中同色的球是相同的。對于較難問題，我們可以采取分步來做。13.已知函數f(x)＝-log(x2－ax＋3a)，對于任意x≥2，當Δx>0時，恒有f(x＋Δx)>f(x)，則實數a的取值范圍是.參考答案：14.已知雙曲線右焦點與拋物線的焦點重合,則該雙曲線的離心率等于

參考答案：15.若正實數a、b滿足，則ab的最大值是_________參考答案：216.如圖，球O的半徑為2，圓O1是一小圓，O1O＝，A，B是圓O1上兩點．若∠AO1B＝，則A、B兩點間的球面距離為________．參考答案：略17.△ABC內有任意三點都不共線的2014個點，加上A、B、C三個頂點，共2017個點，把這2017個點連線形成互不重疊的小三角形，則一共可以形成小三角形的個數為

▲

．參考答案：4029

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.解關于x的不等式：ax2－2≥2x－ax

(其中a≥0且為常數).參考答案：原不等式可化為ax2＋(a－2)x－2≥0(ax－2)(x＋1)≥0.(1)當a＝0時，原不等式化為x＋1≤0x≤－1.(2)當a＞0時，原不等式化為(x＋1)≥0x≥或x≤－1；綜上所述，當a＝0時，原不等式的解集為(－∞，－1］；當a＞0時，原不等式的解集為(－∞，－1］∪19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD=，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O為AD中點．（1）求直線PB與平面POC所成角的余弦值．（2）求B點到平面PCD的距離．（3）線段PD上是否存在一點Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面所成的角．【分析】（1）先證明直線PO垂直平面ABCD中的兩條相交直線垂直，可得PO⊥平面ABCD，建立空間直角坐標系，確定平面POC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線PB與平面POC所成角的余弦值．（2）求出平面PDC的法向量，利用距離公式，可求B點到平面PCD的距離．（3）假設存在，則設=λ（0＜λ＜1），求出平面CAQ的法向量、平面CAD的法向量=（0，0，1），根據二面角Q﹣AC﹣D的余弦值為，利用向量的夾角公式，即可求得結論．【解答】解：（1）在△PAD中PA=PD，O為AD中點，所以PO⊥AD，又側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD；所以以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標系．則P（0，0，1），A（0，﹣1，0），B（1，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0）；所以，易證：OA⊥平面POC，所以，平面POC的法向量，所以PB與平面POC所成角的余弦值為

…．（2），設平面PDC的法向量為，則，取z=1得B點到平面PCD的距離…．（3）假設存在，則設=λ（0＜λ＜1）因為=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．設平面CAQ的法向量為=（a，b，c），則，所以取=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），平面CAD的法向量=（0，0，1），因為二面角Q﹣AC﹣D的余弦值為，所以=，所以3λ2﹣10λ+3=0．所以λ=或λ=3（舍去），所以=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的短半軸長為1，離心率為（1）求橢圓C的方程（2）直線l與橢圓C有唯一公共點M，設直線l的斜率為k，M在橢圓C上移動時，作OH⊥l于H（O為坐標原點），當|OH|=|OM|時，求k的值．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）由題意可知：b=1，e==，a2=b2+c2，則a=2，即可求得橢圓C的方程；（2）設直線l：y=kx+m，代入橢圓方程，令△=0，得m2=4k2+1，由韋達定理可知：2x0=﹣，x02=，則OM丨2=x02+y02=，|OH|2==，由|OH|=|OM|，即可求得k的值．【解答】解：（1）橢圓C：=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，由題意可知b=1，由橢圓的離心率e==，a2=b2+c2，則a=2∴橢圓的方程為；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）設直線l：y=kx+m，M（x0，y0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令△=0，得m2=4k2+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由韋達定理得：2x0=﹣，x02=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴丨OM丨2=x02+y02=x02+（kx+m）2=①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又|OH|2==，②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由|OH|=|OM|，①②聯立整理得：16k4﹣8k2+1=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴k2=，解得：k=±，k的值±．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21.（本小題滿分12分）在平面直角坐標系xoy中，設點，直線:，點在直線上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQ⊥FP，PQ⊥．(Ⅰ)求動點Q的軌跡的方程C；

(Ⅱ)設圓M過A(1,0)，且圓心在曲線C上，設圓M過A(1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在軸上截得的弦，當M運動時弦長是否為定值？請說明理由．

參考答案：解：(Ⅰ)

依題意知,直線的方程為：．………1分點R是線段FP的中點，且RQ⊥FP，∴RQ是線段FP的垂直平分線．………

2分∴|PQ|是點Q到直線的距離．∵點Q在線段FP的垂直平分線，∴．……4分故動點Q的軌跡E是以F為焦點，為準線的拋物線，其方程為：．………6分(Ⅱ),到軸的距離為……7分圓的半徑…………8分則,…………10分由(Ⅰ)知，所以，是定值．…………12分22.已知關于的一元二次函數。（1）設集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，從集合P中隨機取一個數作為a，