2023年高考第一次模擬考試卷（甲卷（文））

數學

一、單選題

1.已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},3={2,3,4,5}^IJ（CuA）r（Cu8）=（）

A.{6}B.{1,6}C.{2,3}D.{1,4,5,6）

K答案》A

K解析D由題意，。4={4,5,6},孰3={1,6},94）「（C（/B）={6},

故選：A.

2.若署=-l+2i（aeR,i為虛數單位），則|a-i|=（）

A.25/2B.VlOC.y/5D.72

K答案HB

K解析員因為署=—l+2i,故a+i=（l+i）（—l+2i）=—3+i,故a=—3,

則卜-i閆一3-i|=>/^TT=>/iU.

故選：B.

3.北斗導航系統由55顆衛(wèi)星組成，于2020年6月23日完成全球組網部署，全面投入使

用.北斗七星自古是我國人民辨別方向判斷季節(jié)的重要依據，北斗七星分別為天樞、天璇、

天見、天權、玉衡、開陽、搖光，其中玉衡最亮，天權最暗.一名天文愛好者從七顆星中隨

機選兩顆進行觀測，則玉衡和天權至少一顆被選中的概率為（）

?大*

&I

MfL

10CD

A.—B--M

21iT-Il

R答案》B

R解析》因為玉衡和天權都沒有被選中的概率為。=話=點，

所以玉衡和天權至少一顆被選中的概率為i-￡=工.

故選：B.

4.若平面向量a與6的夾角為60，同=2,慟=1,則卜-叫=()

A.GB.2技C.1D.2

工答案』D

R解析D-2&I=\Ja2-4a-b+4b2=j4-4x2xlx-l+4xl=2,故選D.

5.已知A(0,2),B(f,0)(r<0),動點C在曲線T：9=4x(04x21)上,若AABC面積的

最小值為1,則f不可能為()

A.-4B.-3C.-2D.-1

K答案》D

/2\

K解析U設C,因為XG[0,1],所以2,2],即y°w[—幺2].

直線A8的方程為？+]=1,即2x+(y-2f=0(f<0).

22

因為%4-2,2],/<0,所以等+y_2f吟+(%-2?>0.

2

2

則點C到直線AB的距離為d_0+℃_寸+仇?

J-+4J/+4

因為4(0,2),8&0),所以|4卸=爐

,2,2

y+%-2^弓+%-2/

所以%BC=gxJ產+4X一乙___________

J*+42

,2

江-4%+8

當f=T時，0——，為由-2,2『

出C

可得當先=2時，(5^.)^=!,符合題意;

2

口-3%+6

=~大-----，%€卜2,21,

可得當先=2時，(S4^c)min=1,符合題意;

y-2y0+4

當r=—2時,e

SAABC=2，%[-2'2]

可得當為=2[1寸，（5^）^=1,符合題意;

當f=-l時,%+2

；-，%4-2,2「

3

可得當先=1時，（S*BC）min=:，不符合題意?

故r不可能為-1.

故選:D.

6.定義域為[0,兀]的函數f（x）=（石sins一COSG4COS0X+；（0>O）,其值域為一;』

則出的取值范圍是（）

A.[o,|lB.[J]C.fo.|lD.1號

I2」|_2」I3」|_33j

K答案XD

2V3.c1+cos2s1

K解析H因為f(x)=^3sincoxcoscox-coscox-\--——sin2o)x------------4--

222

=sin[2s-,

由-！可得一屋sin12s-

22<6；

TTTTTTJTTT7Tt12

()《工(兀，則—W2公v—<211(0—,由題意可得一W2兀G—W—,解得一工切工一.

66626633

故選：D.

7.函數〃力=卜2-2%聲的圖象大致是（）

K解析H由y(x)=O得x=0或x=2,故C錯;

X/,(x)=(x2-2)ev,

當XC-0或x>近時，f\x)>0；

當-0Vxe四時，/'(x)<0,

所以〃x)在(f,-0)和(0,行)上單調遞增，在上單調遞減，則/(x)在

x=_0處取得極大值，在*=夜處取得極小值，故AD錯;

故選：B.

8.已知數列｛q｝滿足：V/n,/?GN*,4"+,,=4"+4.若%)22=2022,則q=()

A.1B.2C.3D.2022

(答案》A

K解析U令"?=1,貝！14t+|=4+。“

故％為常數,

故數列乩｝是等差數列

里儂=q+(2022-!)</=2022a,=2022

故選：A.

9.在AABC中，角4、B、C所對的邊分別為。、b、c,S.b2+c2=a2+bc,若

sinBsinC=sin2A>則“BC的形狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

k答案XC

222

K解析1△ABC中，b+c=a+bcf則cosA=?+「一/二生=J_

2bc2bc2

又OVAVTT,則A=g

由sinBsinCusin?A，可得"=bc,代入。?+c?=/+慶

貝U有力2+/=〃C+/2c=?C,貝!1(6—C)2=。，貝!J/?=C

又4=方，則△ABC的形狀是等邊三角形

故選：C.

10.已知函數/(x)=sin(0x+*)(0＞O,刨＜]]與函數y=g(x)的部分圖象如圖所示，且函

數f(x)的圖象可由函數g(x)的圖象向右平移彳個單位長度得到，則g(0)=()

A膜B-1c-TD-4

K答案WC

K解析U由題意可知，將函數y=g(x)圖象上的點-T，°向右平移｝個單位長度，

可得y=f(x)的圖象與x軸負半軸的第一個交點為一微■,()

因為y=/(x)的圖象與*軸正半軸的第一個交點為

(5兀7112兀

WT=2x-+-得g=2,則〃x)=si3+e),

7171

所以0=—+Z兀,&wZ,由|同＜5知'

6

則/(x)=sin(2x+￡/、,C71]71(八兀故g(0)=當

g(x)=sin2x+—+—=cos2x+一

I4；6I6

故選：c.

222

11.己知雙曲線:-專■=1(。>0/>0)的兩條漸近線與直線x=:分別相交于A,B兩

點，且線段A8的長等于它的一個焦點到一條漸近線的距離，則雙曲線的漸近線方程為

()

A.y=±xB.y=±y/3xC.y=±---xD.y=±y/2x

K答案》B

K解析D雙曲線5-/=1("0力>0)的兩條漸近線方程為尸±1，則焦點(士。,0)到漸

近線的距離為

,b2

\+F

Va-

2(2?\/21A

又兩條漸近線與直線、=幺分別相交于A,B兩點，所以A—,B—

c(cc)(cc)

則c=2?,所以6=后二7=有4,故漸近線方程為〉=±6乩

故選：B.

12.〃=迎二里/=Lc=里，則mb,c的大小順序為()

e2e3

A.a<c<bB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

K答案》A

.e

i21n—.]a

K解析D令/'*)=處，則a=/(J)=T，b=f(e)=—,c=/(3)=孚，

X3￡_e3

T

而((x)=上坐且x>o,即0<x<e時/(x)單調增，X>e時/(X)單調減，又

廠

2

1<—<e<3,

3

:?b>C,b>a.

若，=有兩個解石,W，JJO1<X,<e<x,tG(0,—),

x2e

日n-ln/Tn%

%2一司t

令g(x)=lnx-2*則g'(x)=(:？，>°，即g(x)在(1，+°°)上遞增，

x+1x(x+l)~

.?.g(x)>g(l)=O,即在(1,口)上，lnx>空?，若》=上即史&二貼>」一，

-

X+1X]x2X|x2+Xj

2t_7

故/>■;-----，有玉龍1，>e-

lnx1x2/

p2p1

...當*2=3時，e>x,>y,故/(§)</(*)=/(3)，

綜上：b>c>a.

故選：A

二、填空題

13.已知向量:=(4,-1)/=(〃?,3)，若，-力)，4，則加=.

K答案U5

K解析X由題可知，a=(4,—1),6=(九3)，

則a-b=(4,-1)-(???,3)=(4-7n,-4)?

(—>T、—?/—>—->

由于則=

即：4x(4-m)+4=0,解得：〃?=5.

故K答案》為：5.

14.若圓C,:(x-機>+(y-=10(w>0)平分圓C2：(x++(y+Ip=2的周長，則直線

3x+4y-2=0被圓&所截得的弦長為.

K答案D6

K解析》兩圓相減得公共弦所在的直線方程為。"+1)(2XT〃+1)+4)，=-8

由題知兩圓的公共弦過圓G的圓心，所以(W+D(T"T)-4=-8

即(m+1)2=4,又加>0,所以〃i=l

,|3+4-2|,

G(1，1)到直線3x+4y—2=0的距離d=.=1

+4~

所以直線3x+4y-2=0被圓C1所截得的弦長為2屈了'=6

故R答案》為:6

15.若定義在R上的偶函數/(x)和奇函數g(x)滿足/(x)+g(x)=e,則g(x)的K解

析』式為g(x)=.

K答案』有一

K解析U由題意得：/(-x)+g(-x)=e'x,即-g(x)=e-，①，/(x)+g(x)=e'②,

②-①得：2g(x)=e，—e-',解得：g(x)=￡士.

故K答案》為：三J

在陪尼）

16.已知函數/(x)=sinx+x處的切線與直線/："+外-1=0平行，則

2的值為.

a

K答案』-1

K解析內因為,f(x)=sinx+x,所以/'(x)=cosx+l,

即函數/（x）在點處切線的斜率為1,

因為切線與直線/平行，所以-戶，即

故K答案U為：-1

三、解答題

17.芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應用在手機、軍工、航天等多個領域，是能夠影

響一個國家現代工業(yè)的重要因素.根據市場調研與統計，某公司七年時間里在芯片技術上

的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數據統計如下：

收益y億元

70

(13,58)

60

50——71^(10,56)

1^(8,50)

40“(西

30

/(4,31)一

20

/(3,22)

10

(2,13)

0

2345678910111213

—研發(fā)投入X億元

（1）根據折線圖的數據，求y關于x的線性回歸方程（系數精確到整數部分）;

(2)為鼓勵科技創(chuàng)新，當研發(fā)技術投入不少于16億元時，國家給予公司補貼5億元,預測當

芯片的研發(fā)投入為17億元時公司的實際收益.

附:其回歸方程y=a+hx的斜率和截距的最小二乘法估計分別為b=上一；-----------

-可2

?=1

a=y-bx.參考數據￡(為一工)(%-為=400,￡(玉-%)2?98.

1=11=1

解：(1)由折線圖中數據知，了=—1x(2+3+4+6+8+10+13)=4、6，

77

1?72

了="13+22+31+42+50+56+58)=十，

￡(占-可(y-刃

400200)

因為6-----------?---=---?4

E(x.-J)29849'

/=1

所以”…一出-迎X竺，12

7497

所以y關于x的線性回歸方程為y=4x+12

(2)當x=17時,y=4xl7+12=8()億元，

此時公司的實際收益的預測值為80+5=85億元.

18.己知數列｛??｝的前n項和S?滿足S,=24-2(〃GN").

(1)求數列｛q｝的通項公式;

(2)令)=4—4”,求數列九的前〃項和T”.

解：(1)當"=1,S|=q=2q-2,故％=2,

因為S“=2a“-2,當”22時，5“_[=2%-2,

兩式相減得：S"-S"_\=a*=2a?-2a?_t,即an=2%,

故數列｛%｝為等比數列，公比4=2,

所以%=2X2"T=2".

H

(2)hn=an-4n=2-4n,

2〃一4〃

吟=T

/l23

故?++++

=一

-IFF

2°

I

令H

-F

1I

-”-

2F

11'1L—

+++

-=,一k

？

2M于

F+2°

19.如圖①，在菱形ABC。中，A=y,AB=2,E為的中點，將_ABE折起至

ABE使4。=也，如圖②所示.

(1)求證：平面A8E,平面ABC；

(2)若P為AC上一點，且AE〃平面BPD求三棱錐A-SPE的體積.

(1)證明：4。=血，\E=DE=\,^D2=A.E2+ED2

DE±A^E,

又BC〃DE,ABCl^E,

AE=\,AB=2,NA=-,

3

:.BE=6,即8CL3E,又AECBE=E

二3。J?平面ABE,又BCu平面ABC,

平面ABE_L平面ABC.

（2）解：連接CE,得平面AEC平面8PO=OP,如圖,

又AE平面8PQ,

.-.A.E//OP,

由ADOEs公BOC知0E='EC,

3

即AP=gac,

?.?%3￡=gxgx石X1x2=*,

—?VP-ABE=l3vC-'BE=—9,

即唳則=近.

x

20.已知函數f(x)=ae-x(aGR).

(1)討論/*)的單調性；

(2)若aeOD,證明：

(1)解：/'(x)=ae*-l,

若a40,ae'-l<0,即/'(x)<0,此時〃x)在R上單調遞減.

若”>0,解盟x)>0得x>lng,

解了”)<0得x<ln：,

.../(x)在上單調遞減，在(in：,行)上單調遞增.

設6(x)=e*-x2,(%>1)/f(x)=e*-2x,

設9(x)=e*_2x(x>l)9'(x)=e*-2>0,

，3(x)在(l,+oo)上單調遞增，x>\,e(x)>e(l)=e-2>0.

A/?z(x)>0,/i(x)在(l,+oo)上單調遞增.

/./?(%)>/z(l)=e-l>0.

21.如圖，已知點P(2,2)是焦點為尸的拋物線C：y2=2px(p>0)上一點，A,8是拋物

線C上異于P的兩點，且直線以，心的傾斜角互補，若直線抬的斜率為

(1)證明：直線A8的斜率為定值；

(2)在ZXABF中，記NE43=(z,AFBA=(5,求sina-sinA最大值.

(1)證明：將點尸(2,2)代入拋物線方程可得：p=\,拋物線C：/=2x

設直線F4方程為：y-2=k(x-2)(Z>l),與拋物線方程聯立可得:

.2cAA/r\*i、i4—4%2—2k

江一2y+4-必=0'所以以孫=丁=%=丁

2+2攵

用-左代女可得:%=一

k

k2=1

AK

因此，~xA-xH-yi_yl-yA+yil-2

22

即心B=-；，故直線A8的斜率為定值.

(2)解：由(1)可知，kAK=~,將以帶入直線"方程二竺-2=A(x-2),解得

x.2(一)2

?/2（/l+n\222+2k\

則,用_上代%可得:

42(1丁B—75—，-----:-

k-kk-k

,,2-2%12（1-行2-2k2

因此直線AB方程：y-——=X-v,7nx+2y-一^=0,

k2k-k2

/,、12-2k?

川彳,0|到直線A8的距離,2k25k2-4

k2）d=-----產---=—

y/52限2

所以sina—sin'=：~~——：—：

|FA||FB|

J_____J_=網-附==

因為附網-網?網-卜得.卜局-3+如+/）+1

2（1+獷2（i>

=___________…「______________32-

22<22

2（1-Jt）2（1+A:）+1|2（1-^）+2（1+Jt）\125/-24&?+16

~~P1?~+211?~+-1?-J+4

5M-432二_9（53_4快_16

所以sina-sin/?=

2限225/-24公+16"不-25/-24公+16-忑25公-24+￡

k2

4

令，=5攵-丁，易得此函數在憶＞1時為單調增函數，則”1,

K

.16t1611612加

所以sma-sm”不?0不____<__x____—___

1r/+嶼-柄2加一5

當且僅當（=4=5攵-±=4=攵=2亞（負值舍去）時取等號

k5

1

x=——t

2

22.在平面直角坐標系x