名校聯(lián)盟2023-2024學年高二數(shù)學第一學期期末質量檢測模擬試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在（a+b）”的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則"=（）

A.5B.6

C.7D.8

22

2.雙曲線-.....J=1的焦距是（）

m+124-m

A.4B.2A/2

C.8D.4V2

3.兩個圓G：f+:/=i和G：（xTy+（y-1『=1的位置是關系是（）

A.相離B.外切

c.相交D.內含

4.已知集合4=k,—x—2K0},集合5={小>4或x<0},R是實數(shù)集，則A附3）=（）

A.[0,2]B.[-l,4]

C.[-l,2]D.[0,4]

5.若直線4：2x—3y—3=0與"互相平行，且4過點（2」），則直線4的方程為（）

A.3x+2y-7=0B.3x-2y+4=0

C.2x—3y+3=0D.2x—3y—1—0

6.某學習小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內的衛(wèi)星波束

呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處（如圖②所示）.已知接收天線的口徑（直徑）為

3.6m,深度為0.6m,則該拋物線的焦點到頂點的距離為（）

①②

A.l.35mB.2.05m

C.2.7mD.5.4m

7/、lnx+x,x>0

,已知函數(shù)/⑴=]—(2x+l)e，+x,x<0g（X）=/（X）—X—。.若g（X）存在三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

()

C2\(3A

A.0,J§B.0,2e-2

\7

(2A(3A

C.0,2—D.0,e2

8.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年英國來華傳教士偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐

洲.1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中

國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將2至2021這2020個數(shù)中能被3

除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構成數(shù)列{%,},則此數(shù)列的項數(shù)為（）

A.132B.133

C.134D.135

9.某工廠去年的電力消耗為加千瓦，由于設各更新，該工廠計劃每年比上一年的電力消耗減少10%,則從今年起,

該工廠第5年消耗的電力為（）

5

A.。14ffl千瓦B.O.1小千瓦

c.0.94機千瓦D.0.95，〃千瓦

10.已知關于x的不等式必—公—匕＜。的解集是（-2,3）,則的值是（）

A.-5B.5

C.-7D.7

11.某家庭準備晚上在餐館吃飯，他們查看了兩個網(wǎng)站關于四家餐館的好評率，如下表所示，考慮每家餐館的總好評

率，他們應選擇（）

網(wǎng)站①評價人數(shù)網(wǎng)站①好評率網(wǎng)站②評價人數(shù)網(wǎng)站②好評率

餐館甲100095%100085%

餐館乙1000100%200080%

餐館丙100090%100090%

餐館丁200095%100085%

A.餐館甲B.餐館乙

C.餐館丙D.餐館丁

12.如圖，某圓錐SO軸截面斜C是等邊三角形，點3是底面圓周上的一點，且N3OC=60°,點河是的中點,

則異面直線A5與CM所成角的余弦值是()

4

D.

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1(］、

13.已知正項數(shù)列｛&｝的前〃項和為S“，且S"=3an+—,貝!)％=________，滿足不等式

anJ

11

4<——-——+----------+十三一的最大整數(shù)之為

?8+?9

S]+S25*2+S3

14.在等比數(shù)列｛%｝中，若出，“6是方程2%2—7%+4=0兩根，則％=.

15.等差數(shù)列｛4｝中，若%+%+%=42,劣=5,貝!)an=,數(shù)歹！J---的前〃項和為Sn,貝！)Sn=

16.函數(shù)/(x)=(x-3)e'的單調遞減區(qū)間是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

l

17.（12分）已知函數(shù)/（x）=一e—+a—（aeR）

x-x+1

（1）當a=0時，求函數(shù)/（尤）的極值；

（2）當xe[O,+s）時，若/（%）21恒成立，求實數(shù)。的取值范圍

18.（12分）如圖，在空間直角坐標系中有長方體A3CD—A'5'C'。'，且AD=A4'=1,AB=2,點E在棱AB上

移動.

（1）證明：UE±ADi

（2）當E為AB的中點時，求直線AC與平面DEC所成角的正弦值.

19.（12分）某市共有居民60萬人，為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調查，通過抽樣，獲得了某年

100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0。5）,[0.5,1）,……[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的

頻率分布直方圖

（1）求直方圖中的。值，并估計該市居民月均用水量不少于3噸的人數(shù)（單位：人）;

（2）估計該市居民月均用水量的眾數(shù)和中位數(shù)

20.（12分）已知/（x）=lg—竺（aw—1）是奇函數(shù).

2-x

（1）求。的值；

(2)若g(x)=/(x)+「j\,求+的值

21.（12分）為落實國家扶貧攻堅政策，某地區(qū)應上級扶貧辦的要求，對本地區(qū)所有貧困戶每年年底進行收入統(tǒng)計,

下表是該地區(qū)A貧困戶從2017年至2020年的收入統(tǒng)計數(shù)據(jù)：（其中y為A貧困戶的人均年純收入）

年份2017年2018年2019年.2020年

年份代碼X1234

人均年純收入y/百元25283235

（1）在給定的坐標系中畫出A貧困戶的人均年純收入關于年份代碼的散點圖；

（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程§=鼠+機并估計A貧困戶在2021年能否脫貧.（注:

假定脫貧標準為人均年純收入不低于3800元）

-?n，一呵

參考公式：3----------,a=y-bx

—n⑺2

i=l

44

參考數(shù)據(jù)：?/=317,?；=3o.

1=11=1

22.（10分）如圖，在四棱錐P-A6CD中，四邊形ABC。為正方形，已知平面ABC。，且？D=AD,E為

PC中點

P

（1）證明：PA//平面BDE;

（2）證明：平面PCD,平面

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

IJ77+177+3

【解析】當"為偶數(shù)時，展開式中第一+1項二項式系數(shù)最大，當"為奇數(shù)時，展開式中第I和一^項二項式系

222

數(shù)最大.

【詳解】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以〃為偶數(shù)，故大+1=4,得九=6.

2

故選：B

2、C

22

【解析】根據(jù)°?=a+b，先求半焦距，再求焦距即可.

【詳解】解：由題意可得，°2=/+/=7/+12+4—m2=16，

c=4,2c=8,

故選:C

【點睛】考查求雙曲線的焦距，基礎題.

3、C

【解析】根據(jù)圓的方程得出兩圓的圓心和半徑，再得出圓心距離與兩圓的半徑的關系，可得選項.

【詳解】圓G：f+V=l的圓心為G（0,0），半徑片=1，。2：（%一1）2+。-1）2=1的圓心為G（l，l），半徑鳥=1，

則|QC2|=彳方=42<1+1=2，所以兩圓的位置是關系是相交，

故選：c.

【點睛】本題考查兩圓的位置關系，關鍵在于運用判定兩圓的位置關系一般利用幾何法.即比較圓心之間的距離與半徑

之和、之差的大小關系，屬于基礎題.

4、A

【解析】先化簡集合A,再由集合的交集、補集運算求解即可

【詳解】A={X|X2-X-2<0}={X|-1<%<2},5={目％>4或％<0}=>傘3={乂0?%?4},故A^B=[0,2]

故選：A

5、D

【解析】由題意設直線4的方程為2x—3y+/=。，然后將點(2,1)代入直線/1：2X一3y一加=0中，可求出加的值,

從而可得直線/2的方程

【詳解】因為直線4：2x—3y—3=0與互相平行，所以設直線4的方程為2x—3y+m=。，

因為直線4過點(2」)，

所以4—3+機=0,得利=一1,

所以直線4的方程為2x_3y_l=0,

故選：D

6、A

【解析】根據(jù)題意先建立恰當?shù)淖鴺讼担稍O出拋物線方程，利用已知條件得出點A(0.6,1.8)在拋物線上，代入方程

求得P值，進而求得焦點到頂點的距離.

【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系xOy,使接收天線的頂點(即拋物線的頂點)

與原點。重合，焦點尸在x軸上

I

設拋物線的標準方程為丁=2PMp>0),

由已知條件可得，點4(0.6,1.8)在拋物線上，

所以1.2p=L82,解得"=2.7,

因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m,

故選：A.

7、B

【解析】根據(jù)題意，當x>0時，g(x)=/(x)—x—a有一個零點，進而將問題轉化為當x<0時，—(2》+1戶=。

有兩個實數(shù)根，再研究函數(shù)h(x)=-(2x+l)eT,x<0即可得答案.

【詳解】解：因為g(x)存在三個零點，所以方程/'(x)=x+a有三個實數(shù)根,

因為當x>0時，由/(x)=x+a得lnx=a,解得x=e“，有且只有一個實數(shù)根,

所以當了<0時，/(x)=x+a有兩個實數(shù)根，即—(2》+1心=。有兩個實數(shù)根，

所以令/i(x)=-(2x+l)e，xW0,則/z'(x)=-(2x+3)e',x<0,

所以當x〈-3時，/z'(%)>0,〃(x)單調遞增，

當一Q<%VO時，/z!(x)<0,/z(x)單調遞減，

因為1——00,以力-0,/z(o)=-l,心心=。￡|=2”〉0，

所以/4%)=—(2x+l)e',xW0的圖象如圖所示，

(3A

所以—(2x+l)e、=a有兩個實數(shù)根，則ae0,2e^

I7

【解析】由題設q=15〃+16(2,2021)且“6?<*，應用不等式求〃的范圍，即可確定項數(shù).

【詳解】由題設，4=15〃+le(2,2021)且〃eN*，

所以2<15〃+1<2021,可得1W/W134且“eN*.

所以此數(shù)列的項數(shù)為134.

故選:C

9、D

【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義進行求解即可.

【詳解】因為去年的電力消耗為冽千瓦，工廠計劃每年比上一年的電力消耗減少10%,

所以今年的電力消耗為％=機(1—10%)=0.9機，

因此從今年起，該工廠第5年消耗的電力為4=(0.9m)-(1-10%)4=0.95m,

故選：D

10、D

【解析】由題意可得公―6=0的根為-2,3,然后利用根與系數(shù)的關系列方程組可求得結果

【詳解】因為關于x的不等式d_公_人<o的解集是(-2,3),

所以方程V—公—7,=()的根為—2,3,

—2+3=a。=1

所以《,得4

—2x3=—bb=6'

所以。+6=7,

故選：D

11、D

【解析】根據(jù)給定條件求出各餐館總好評率，再比較大小作答.

.gmAM3、丁*二1000x95%+1000x85%^.

【詳解】餐館甲的111總好評率為：.......———--------=90%n,

'1000+1000

Eg,山口1000x100%+2000x80%“〃球

餐館乙的總好評率為：-------------------------x86.67%,

一1000+2000

1000x90%+1000x90%八八~

餐館丙的好評率為：---------------------二90%,

'1000+1000

丁房2000x95%+1000x85%-

餐館丁的好評率為：-------------------------------91.67%,

2000+1000

顯然91.67%>90%>86.67%,所以餐館丁的總好評率最高.

故選：D

12、C

【解析】建立空間直角坐標系，分別得到AB,CM,然后根據(jù)空間向量夾角公式計算即可.

【詳解】以過點。且垂直于平面&4c的直線為x軸，直線OC,QS分別為》軸，z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設OC=2,

則根據(jù)題意可得A(o,—2,0),B(AI,O),C(0,2,0),M(O,-I,V3),

所以AB=(百,3,0),CM=(O,-3,V3),

設異面直線AB與CM所成角為0,

V3x0+3x(-3)+0xV33

則cos0=cos^AB,CM)

V3+9-V9+3-4

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、①—1##—1+夜②?2

S[,〃=1

【解析】由。〃二。。、。得到S，9-S：91=1,即可得到數(shù)列｛S；0｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，從而求出

S“=G，再根據(jù)=$2-51求出的，令b,=Q二=G利用裂項相消法求出

品+1+，

111

不一+不工不++不一，即可求出X的取值范圍，從而得解；

C1/1、

【詳解】解：由5〃=彳&+一）,

2an

令〃=匕得

1.1an>0,解得％=1；

當”..2時，S=—(\-\_i+---------),

n/、—、

即s；-S3=l

因此，數(shù)列｛S；｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,

S；=n,即Sn=G

所以O2=S2_Si=J^_l,

令止

所以++T4F=4+%++優(yōu)=夜一1+退一夜++9—我=百一1=2,所以2W2,貝!J最大整

KJJIK)I8^^9

數(shù)彳為2；

故答案為：^/2—152；

14、V2-

7

【解析】由題意求得。24=2,a2+a6^~,再結合等比數(shù)列的性質，即可求解.

7

【詳解】由題意知，的，%,是方程2%2一7%+4=0的兩根，可得。24=2,a2+a6,

又由。2。6〉0，a2+a6>0,所以g〉。，4>°，可得。4=%/〉。，

又由。；=。2。6=2，所以%=、/].

故答案為：拒.

【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的性質的應用，其中解答中熟練應用等比數(shù)列的性質是

解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

15、@.3n-l②.----

6〃+4

1(11A1

【解析】設等差數(shù)列｛4｝公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的性質即可求通項公式；-------=---------采用裂項相

a

。"。+1"n+lJd

消的方法求s”.

【詳解】設等差數(shù)列｛4｝公差為d,

%+%+%=42=>3生=42=>%=14,

,一214—5

a=-=----=3,

5-23

an=出+(〃-2)d=3〃-1；

111]1

an%+J3

,_if1111]])1f1])\1n

'n-Q+ana,J式囚4+J3U3n+2

^^2^^3t+l6n+4

n

故答案為：3n-l；

6〃+4

16、(—8,2)

【解析】首先對/(x)=(x—3)e‘求導，可得析(x)=(尤-2)e，,令/'(尤)<0,解可得答案

【詳解】解：/'(x)=[(x—3)e」=e*+(x—3)e*=(x—2)e*

由廣(x)<0得x<2,

故/(x)的單調遞減區(qū)間是(-8,2)

故答案為：(-8,2)

【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17、(1)極大值/⑴=e；極小值〃2)=e]

(2)a>0

【解析】(1)利用導數(shù)來求得了(%)的極大值和極小值.

(2)由不等式/(無)21分離常數(shù)a,通過構造函數(shù)法，結合導數(shù)來求得。的取值范圍.

【小問1詳解】

x

當〃=。時，/(%)=---e----，

X—X+1

,⑺_-(2xT)]e*(九2_3彳+2小(龍一1)(%一2)1

HX)=(x2-x+l)2=gx+.=(8+1)2,

令/'(x)=0,可得x=l或2

所以〃龍)在區(qū)間(f,1),(2,田)"'(耳>0"(月遞增；

在區(qū)間(l,2),/(x)<0,/(x)遞減.

故當％=1時.函數(shù)/(x)有極大值/⑴=e,

2

故當x=2時，函數(shù)/(x)有極小值/(2)=、e；

【小問2詳解】

由f(x)>1,WeA+a>x2—x+1?

可化為a>x2-x+l-ex?

令g(x)=x?-x+l-e'(x20),有g'(x)=2x-l-e'(x>0),

令7z(x)=2x—l—e*(x>0),有h'(x)=2-e*,

令〃(x)>0,可得0Wx<ln2,可得函數(shù)丸(x)的增區(qū)間為[0,In2),減區(qū)間為(In2,+8),

有/?(%)V/?(ln2)=21n2—1—2=21n2—3<0,

可知g'(x)<0,有函數(shù)g(x)為減函數(shù)，

有g(X)max=g(0)=0,

故當xe[0,+8)時，若/(幻21恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為。之0

【點睛】求解不等式恒成立問題，可利用分離常數(shù)法，結合導數(shù)求最值來求解.在利用導數(shù)研究函數(shù)的過程中，如果一

階導數(shù)無法解決，可考慮利用二階導數(shù)來進行求解.

18、(1)證明見解析

【解析】(1)設AE=t(0</<2),求出。E=(lj,—1),AD=(—1,0,—1),利用向量法能求出。石，AO；

(2)求出平面D'EC的法向量〃=(1,1,2),利用向量法能求出直線AC與平面。'EC所成角的正弦值

【小問1詳解】

證明：設AE=/(0W/?2),D\0,0,1),E(l,t,0),A'(l,0,1),D(0,0,0),

D'E=A'D=(-1,0,-1),

D'EA'D=-l+0+l=0>

:.EfE±AD；

【小問2詳解】

當E為AB的中點時，E(1,1,O),C(0,2,0),A(l,0,0),。'(0,0,1),

AC=(-1,2,0),ED'=EC=(-1,1,0),

設平面的法向量”=(x,y,z),

,n-ED'=-x-y+z=0

則)取x=l,得”=(1,1,2),

n-EC=-x+y=0

設直線AC與平面D'EC所成角為e,

則直線AC與平面D'EC所成角的正弦值為:

\n-AC\1V30

sin。=

\n\-\AC\-30"

19、(1)a=0.3,72000人;

(2)眾數(shù)2.25；中位數(shù)2.04.

【解析】(1)根據(jù)所有小長方形面積和為1即可求得參數(shù)。，結合題意求得用水量不少于3噸對應的頻率，再求頻數(shù)

即可；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖直接寫出眾數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的求法，結合頻率的計算，即可容易求得結果.

【小問1詳解】

由頻率分布直方圖，可知：

(0.04+0.08x2+0.12+0.16+2。+0.42+0.50)x0.5=l,解得a=0.3；

月均用水量不少于3噸的人數(shù)為：(0.12+0.08+0.04)x0.5x60x1()4=72000(人)

【小問2詳解】

由圖可估計眾數(shù)為2.25；

設中位數(shù)為x噸，因為前5組的頻率之和0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,

而前4組頻率之和0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0,5,所以2<x<2.5,

由0.50x(x-2)=0.5—0.48,可得x=2.04,

故居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.

20、(1)a=l；(2)4

【解析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義了(尤)+/(-%)=0,代入化簡得4-4必=4-進而可得。的值；(2)設

可得/?(—%)+/處=4,根據(jù)奇函數(shù)的性質得進而可得結果.

【詳解】解：(1)因為/(x)=1g字竺是奇函數(shù)，所以〃%)+/(-尤)=0,

2-x

2+ax2-ax^