第2講拋體運動

【目標要求】1.掌握平拋運動的規律，學會運用運動的合成與分解處理類平拋、斜拋運動問題2

學會處理斜面或圓弧面約束下的平拋運動問題3會處理平拋運動中的臨界、極值問題.

考點一平拋運動的規律及應用

■梳理必備知識

平拋運動

1.定義：將物體以一定的初速度沿水平方向拋出,物體只在重力作用下的運動.

2.性質：平拋運動是加速度為g的勻變速曲線運動，運動軌跡是拋物線.

3.研究方法：化曲為直

（1）水平方向：勻速直線運動;

（2）豎直方向：自由落體運動.

4.基本規律

如圖，以拋出點。為坐標原點，以初速度。o方向（水平方向）為x軸正方向，豎直向下為y軸

正方向，建立平面直角坐標系xQy.

位

H水平方向:4卯h人

移.一合位移大小:

關

-豎直方向：）=/g產-方向:tana=g=瑞;

系

速

度華2方向:片％恒耳大小:月可

關

-豎直方向:%=^方向:=於庭

系h-Itan6

■判斷正誤

1.平拋運動的加速度方向與速度方向總垂直.（X）

2.相等時間內做平拋運動的物體速度變化量相同.（J）

3.相等時間內做平拋運動的物體速度大小變化相同.（X）

?提升關鍵能力

1.平拋運動物體的速度變化量

因為平拋運動的加速度為恒定的重力加速度g,所以做平拋運動的物體在任意相等時間間隔

△f內的速度變化量是相同的，方向恒為豎直向下，如圖所示.

2.兩個推論

（1）做平拋運動的物體在任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點.

（2）做平拋運動的物體在任意時刻任意位置處，有tan?=2tana.

【例1】（多選）a、匕兩個物體做平拋運動的軌跡如圖所示，設它們拋出的初速度分別為外、8，

從拋出至碰到臺上的時間分別為小“，則（）

A.va>Vh

C.t(i>tbD.

答案AD

解析由題圖知，hb>ha,因為〃=上尸，所以又因為且所以。

選項A、D正確.

【例2】（202。全國卷HJ6）如圖，在摩托車越野賽途中的水平路段前方有一個坑，該坑沿摩托

車前進方向的水平寬度為311,其左邊緣a點比右邊緣b點高0.5/7.若摩托車經過a點時的動能

為昂，它會落到坑內c點.c與。的水平距離和高度差均為/?；若經過a點時的動能為E2,

P-,

該摩托車恰能越過坑到達b點.詈等于（）

A.20B.18C.9.0D.3.0

答案B

解析摩托車從Q點做平拋運動到c點，水平方向：h=v、h,豎直方向：可解得

動能昂=；m。12=詈^;摩托車從〃點做平拋運動到。點，水平方向：3h=V2t2,

豎直方向：0.5/?=上亥2,解得02=3]^,動能及=%?022=3〃?如故卷=18,B正確.

考點二與斜面或圓弧面有關的平拋運動

已知條件情景示例解題策略

從斜面外平拋，垂直落在斜面上，如圖所示，

己知速度的方向垂直于斜面

分解速度tan。=黑=當

Uy8T

777~

從圓弧形軌道外平拋，恰好無碰撞地進入圓

已知速度方向

弧形軌道，如圖所示，已知速度方向沿該點

圓弧的切線方向

分解速度tan。=中=中

°0Vo

從斜面上平拋又落到斜面上，如圖所示，已

分解位移tan

知位移的方向沿斜面向下

工里=配

Vot2v0

777~

已知位移方向

在斜面外平拋，落在斜面上位移最小，如圖

分解位移tan。=a=

所示，已知位移方向垂直斜面y

K/Vot2v（）

「

~7777^777777777777777777?r777"

1

從圓心處水平拋出，落到半徑為R的圓弧

利用位移關系

上，如圖所示，已知位移大小等于半徑R

<x2+y2=/?2

斯

nR

0

從與圓心等高的圓弧上水平拋出，落到半徑

為R的圓弧上，如圖所示，已知水平位移x"x=R+Rcos0

與R的差的平方與豎直位移的平方之和等X=Vot

《1,

于半徑的平方y=Rsin。=方廠

認,OR

寸<(x-Z?)2+/=/?2

考向1與斜面有關的平拋運動

【例3】如圖所示，從傾角為。且足夠長的斜面頂端P以速度如拋出一個小球（可視為質點），

落在斜面上某處，記為。點，小球落在斜面上的速度與斜面的夾角為a,若把初速度變為2訓,

小球仍落在斜面上，則以下說法正確的是（）

A.夾角a將變大

B.夾角a與初速度大小無關

C.小球在空中的運動時間不變

D.PQ間距是原來間距的3倍

答案B

1p

解析根據tan，二三二1;：,解得“an初速度變為原來的2倍，則小球在空中的運動

AV（）tg

時間變為原來的2倍，C錯誤；根據〃知,初速度變為原來的2倍，則水平位

O

X

移變為原來的4倍，且「。=五7,故PQ間距變為原來間距的4倍，D錯誤；末速度與水平

方向夾角的正切值tan片導導2tan仇可知速度方向與水平方向夾角正切值是位移與水平

方向夾角正切值的2倍，因為位移與水平方向夾角不變，則末速度與水平方向夾角不變，由

幾何關系可知a不變，與初速度大小無關，A錯誤，B正確.

【例4】（2023?福建寧德市高三月考）如圖所示，1、2兩個小球以相同的速度如水平拋出.球1

從左側斜面拋出，經過時間“落回斜面上，球2從某處拋出，經過時間f2恰能垂直撞在右側

的斜面上.已知左、右兩側斜面的傾角分別為a=30。、萬=60。，則（）

A.八：及=1：2B.八：及=1：3

C.力?，2=2?1D.力?亥=3?1

答案C

*力2

解析由題意可得，對球1,有tana=’-=$^,對球2,有tan.=詈,又tanetan尸=1,

聯立解得h：介=2：1,A、B、D錯誤，C正確.

考向2與圓弧面有關的平拋運動

【例51如圖所示，一小球從一半圓軌道左端4點正上方某處開始做平拋運動（小球可視為質

點），飛行過程中恰好與半圓軌道相切于B點，。為半圓軌道圓心，半圓軌道半徑為R,OB

與水平方向的夾角為60。，重力加速度為g,不計空氣阻力，則小球拋出時的初速度為（）

解析小球飛行過程中恰好與半圓軌道相切于B點，可知小球運動到8點時速度方向與水平

方向的夾角為30。，設位移方向與水平方向的夾角為仇則tangin￡=坐,由tan0=：=

。-,可得豎直方向的位移），=坐/?,而%?=2gy,tan30。=/,聯立解得口產7?2%選

2Rt0

項A正確.

考點三平拋運動的臨界和極值問題

1.平拋運動的臨界問題有兩種常見情形：（1）物體的最大位移、最小位移、最大初速度、最

小初速度；（2）物體的速度方向恰好為某一方向.

2.解題技巧：在題中找出有關臨界問題的關鍵字，如“恰好不出界”“剛好飛過壕溝”“速

度方向恰好與斜面平行”“速度方向與圓周相切”等，然后利用平拋運動對應的位移規律或

速度規律進行解題.

，考向1平拋運動的臨界問題

L_____________________________________________

1例61如圖所示，一網球運動員將網球（可視為質點）從。點水平向右擊出，網球恰好擦網

通過落在對方場地的A點，4點到球網的水平距離是擊球點到球網的水平距離的2倍.己知

球網的高度為兒重力加速度為g,不計空氣阻力，則網球擊出后在空中飛行的時間為（）

h

'2h

答案B

解析設網球擊出后在空中飛行的時間為t,因為A點到球網的水平距離是擊球點到球網的

水平距離的2倍，所以網球從擊球點運動到球網的時間為：，則聯

立解得t=

考向2平拋運動的極值問題

□列7】某科技比賽中，參賽者設計了一個軌道模型，如圖所示.模型放到0.8m高的水平桌

子上，最高點距離水平地面2m,右端出口水平.現讓小球在最高點由靜止釋放，忽略阻力

作用，為使小球飛得最遠，右端出口距離桌面的高度應設計為（）

A.0B.0.1m

C.0.2mD.0.3m

答案C

解析小球從最高點到右端出口，機械能守恒，有(，一/?)=/加2,從右端出口飛出后，小

球做平拋運動，有x=vt,h^gt2,聯立解得x=R(H-h)h,根據教學知識可知，當H-h

=〃時，x最大，即/?=1m時，小球飛得最遠，此時右端出口距離桌面高度為A/z=lm—0.8m

=0.2m,故C正確.

考點四斜拋運動

■梳理必備知識

1.定義：將物體以初速度。0斜向上方或斜向下方拋出,物體只在重力作用下的運動.

2.性質：斜拋運動是加速度為火的勻變速曲線運動,運動軌跡是拋物線.

3.研究方法：運動的合成與分解

⑴水平方向：勻速直線運動;

(2)豎直方向：勻變速直線運動.

4.基本規律

以斜拋運動的拋出點為坐標原點O,水平向右為x軸的正方向，豎直向上為y軸的正方向,

建立如圖所示的平面直角坐標系xOy.

初速度可以分解為。ftr=oocosaVo.v=vosine.

在水平方向，物體的位移和速度分別為

x=w=(focos6)t?

Vx—VOx—VnCOS0?

在豎直方向，物體的位移和速度分別為

y=%L家=(Oosin6?)L少戶③

4=。0.丫-gf=o()sin0-gt@

?提升關鍵能力

1.斜拋運動中的極值

在最高點，%=0,由④式得到/=包里或?

將⑤式代入③式得物體的射高兒=普詈⑥

物體落回與拋出點同一高度時，有），=0,

由③式得總時間f&=弛誓⑦

O

S20

將⑦式代入①式得物體的射程xm=-^

O

當6=45。時，sin26最大，射程最大.

所以對于給定大小的初速度%,沿。=45。方向斜向上拋出時，射程最大.

2.逆向思維法處理斜拋問題

對斜上拋運動，從拋出點到最高點的運動可逆過程分析，看成平拋運動，分析完整的斜上拋

運動，還可根據對稱性求解某些問題.

（例8】（2021?江蘇卷-9）如圖所示，4、8兩籃球從相同高度同時拋出后直接落入籃筐，落入

籃筐時的速度方向相同，下列判斷正確的是（）

A.A比B先落入籃筐

B.A、8運動的最大高度相同

C.A在最高點的速度比8在最高點的速度小

D.A、8上升到某一相同高度時的速度方向相同

答案D

解析若斫究兩個過程的逆過程，可看成是從籃筐沿同方向斜向上的斜拋運動，落到同一高

度上的兩點，則A上升的高度較大，高度決定時間，可知A運動時間較長，即B先落入籃筐

中，A、B錯誤；因為兩球拋射角相同，A的射程較遠，則A球的水平速度較大，即A在最

高點的速度比B在最高點的速度大，C錯誤；由斜拋運動的對稱性可知，當4、B上升到某

一相同高度時的速度方向相同，D正確.

□列9；（2020.山東卷.16）單板滑雪U形池比賽是冬奧會比賽項目，其場地可以簡化為如圖甲

所示的模型：U形滑道由兩個半徑相同的四分之一圓柱面軌道和一個中央的平面直軌道連接

而成，軌道傾角為17.2。.某次練習過程中，運動員以w=10m/s的速度從軌道邊緣上的“點

沿軌道的豎直切面ABC。滑出軌道，速度方向與軌道邊緣線AO的夾角a=72.8。，騰空后沿

軌道邊緣的N點進入軌道.圖乙為騰空過程左視圖.該運動員可視為質點，不計空氣阻力，

取重力加速度的大小g=10m/s2,sin72.8°=0.96,cos72.8°=0.30.求:

(1)運動員騰空過程中離開AQ的距離的最大值小

(2)M、N之間的距離L

答案(1)4.8m(2)12m

解析(1)在M點，設運動員在4BCO面內垂直A。方向的分速度為小，由運動的合成與分

解規律得V\=VMs\n72.8°①

設運動員在ABC。面內垂直AO方向的分加速度為at,由牛頓第二定律得〃?gcos17.2°=,M②

由運動學公式得”=券■③

聯立①②③式，代入數據得d=4.8m@

(2)在M點，設運動員在ABC。面內平行AO方向的分速度為v2,

由運動的合成與分解規律得s=o,wcos72.8°⑤

o

設運動員在A8C。面內平行AO方向的分加速度為。2,由牛頓第二定律得〃?gsin\1.2=ma2?

設騰空時間為t,由運動學公式得

L=V2t+^a2^?

聯立①②⑤⑥⑦⑧式，代入數據得L=12m.

課時精練

留［基礎落實練

1.(多選)如圖，X軸沿水平方向，y軸沿豎直方向.圖中畫出了從y軸上沿X軸正方向拋出的

三個小球“、〃和c的運動軌跡，其中人和c是從同一點拋出的.不計空氣阻力，則()

A.a的飛行時間比人長

B.人和c的飛行時間相等

C.”的水平速度比匕的小

D.》的初速度比c的大

答案BD

解析平拋運動可看成水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動的合運動，因y

=如，ya<yb=ye,所以人和c的飛行時間相等且比〃的飛行時間長，A錯誤，B正確；因x

=Vt,Xa>Xh>Xc,ta<tb—tc,故。“>%>勿，C錯誤，D正確.

2.（2022?廣東卷⑹如圖所示，在豎直平面內，截面為三角形的小積木懸掛在離地足夠高處，一

玩具槍的槍口與小積木上尸點等高且相距為，當玩具子彈以水平速度。從槍口向尸點射出時，

小積木恰好由靜止釋放，子彈從射出至擊中積木所用時間為L不計空氣阻力.下列關于子彈

的說法正確的是（）

A.將擊中P點，r大于§

B.將擊中P點，f等夸

C.將擊中尸點上方，/大于5

D.將擊中P點下方，『等于§

答案B

解析由題意知槍口與P點等高，子彈和小積木在豎直方向上均做自由落體運動，當子彈擊

中積木時子彈和積木的運動時間相同，根據力=多?戶，可知下落高度相同，所以將擊中P點；

又由于初始狀態子彈到P點的水平距離為L,子彈在水平方向上做勻速直線運動，故有f=§,

故選B.

3.（多選）如圖所示，從某高度處水平拋出一小球，經過時間f到達地面時，速度與水平方向的

夾角為仇不計空氣阻力，重力加速度為g.下列說法正確的是（）

A.小球水平拋出時的初速度大小為磊

B.小球在，時間內的位移方向與水平方向的夾角為,

C.若小球初速度增大，則平拋運動的時間變長

D.若小球初速度增大，則。減小

答案AD

解析由tan8=包可得小球平拋的初速度大小A正確；設小球在r時間內的位移

v（）ianC7

/7pt1。

方向與水平方向的夾角為a,由tana=-=—―^-=9tan6可知,2-

4I/O*乙。（）乙

拋運動的時間片4學與小球初速度無關，C錯誤；由tan巾可知,。。越大,6越小，D

正確.

4.（2023?黑龍江省建新高中高三月考）如圖所示，將a、h兩小球（均可視為質點）以大小為

2（h/5m/s的初速度分別從A、8兩點先后相差1s水平相向拋出，a小球從A點拋出后，經

過時間3a、b兩小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不計空氣阻力，g取lOm/sz,

則拋出點A、8間的水平距離是（）

A.85小mB.100m

C.200mD.18075m

答案D

解析a的運動時間為f,則b的運動時間為Lls,圣g（二1$）=解得f=5s,又因為x

VoVo

=v（）t+vo（t—\s）,解得x=18O\/^m,故選D.

5.（2023?山東煙臺市高三模擬）如圖所示，小球以oo正對傾角為。的斜面水平拋出，若小球

到達斜面的位移最小，則飛行時間/為（重力加速度為g）（）

A.r=uotan6

C—glan0

答案D

解析如圖所示，要使小球到達斜面的位移最小，則要求落點與拋出點的連線與斜面垂直,

所以有tan。弋而x=oof,尸切，聯立解得「=￡：；＞〃，故選D.

6.（多選）如圖所示，豎直截面為半圓形的容器，。為圓心，AB為沿水平方向的直徑.一物體

在A點以向右的水平初速度內拋出，與此同時另一物體在B點以向左的水平初速度內拋出，

兩物體都落到容器的同一點P.己知NBAP=37。，sin37o=0.6,cos37o=0.8,不計空氣阻力，

下列說法正確的是（）

A.B比A先到達P點

B.兩物體一定同時到達尸點

C.拋出時，兩物體的速度大小之比為辦：。8=16：9

D.拋出時，兩物體的速度大小之比為內：班=4：1

答案BC

解析兩物體同時拋出，都落到P點，由平拋運動規律可知，兩物體下落了相同的豎直高度,

由/?=少解得可知兩物體同時到達P點，A錯誤，B正確；在水平方向上，拋出

的水平距離之比等于拋出速度之比，如圖所示，設圓的半徑為r,由幾何關系得XAM=

22

2rcos37°,x8A/=2rsin37°,則xAM:XBM=16:9,故內：物=16:9,C正確，D錯誤.

底能力綜合練

7.如圖所示，一小球（視為質點）以速度。從傾角為。的斜面底端斜向上拋出，落到斜面上的M

點且速度水平向右.現將該小球以2。的速度從斜面底端朝同樣方向拋出，落在斜面上的N

點.下列說法正確的是（）

A.落到M和N兩點的小球在空中運動的時間之比大于1:2

B.小球落到M和N兩點的速度之比大于1：2

C.小球落到N點時速度方向水平向右

D.M和N兩點距離斜面底端的高度之比為1：2

答案C

解析由于落到斜面上M點時小球速度水平向右，故可把小球在空中的運動逆向看成從M

點向左的平拋運動，設在M點的速度大小為內，把小球在斜面底端的速度。分解為水平速度

內和豎直速度4，則無）'=/匕位移間的關系tan夕=:聯立解得在空中飛行時間，=

",且6、=g，=2ortan仇。和水平方向夾角的正切值tana=F=2tana為定值，即落

gvx

到N點時速度方向水平向右，故C正確；速度大小為。=，。/+丁2=%：，1+412口仇即o與

8成正比，故落到M和N兩點的速度之比為1：2,故B錯誤；由f=2"''n'知,落到M和

N兩點的小球在空中運動的時間之比為1：2,故A錯誤；豎直高度為尸）?產=2"⑶1丫

乙g

與成正比，則M和N兩點距離斜面底端的高度之比為1：4,故D錯誤.

8.（多選）（2023?遼寧省模擬）如圖所示，一傾角為9且足夠長的斜面固定在地面上，將小球A

從斜面頂端以速度必水平向右拋出，小球擊中了斜面上的C點，將小球B從空中與小球A

等高的某點以速度。2水平向左拋出，小球恰好垂直斜面擊中C點，不計空氣阻力，斜面足夠

長，重力加速度為g,下列說法中正確的是（）

A.小球A在空中運動的時間為亞瞥

B.小球B在空中運動的時間為型產

O

C.若將小球B以大小相等的初速度從該點向各個方向拋出，則豎直下拋落到斜面上所用時

間最短

D.若將小球8以大小相等的初速度從該點向各個方向拋出，則垂直斜面向上拋出落到斜面

上所用時間最長

答案AD

解析設小球A在空中運動的時間為八，則xi=0"i,yi=Jgti2,tan6=1,聯立解得

乙國6

故A正確；設小球B在空中運動的時間為打，則tan，=r，解得。2=1三,故B錯誤；根

g12glanu

據運動的合成與分解可知，小球B落到斜面上所用時間取決于其在垂直于斜面方向的分運動

的情況，易知小球B在垂直于斜面方向的加速度大小始終為geos。，則當小球B以垂直于斜

面向下的初速度拋出時，其落到斜面上所用時間最短，當小球B以垂直于斜面向上的初速度

拋出時，其落到斜面上所用的時間最長，故C錯誤，D正確.

9.套圈游戲是一項趣味活動，如圖，某次游戲中，一小孩從距地面高0.45m處水平拋出半徑

為0.1m的圓環（圓環面始終水平），套住了距圓環前端水平距離為1.0m、高度為0.25m的豎

直細圓筒.若重力加速度大小取g=10m/s2,忽略空氣阻力，則小孩拋出圓環的初速度可能

是（）

A.4.3m/sB.5.6m/s

C.6.5m/sD.7.5m/s

答案B

解析根據加一〃2=/g尸得

『產產產仔s=0.2s,

則平拋運動的最大速度

x+2R1.0+2X0.1,…

V\=~=Q2m/s=6.0m/s,

x1.0

最小速度V2=7=后m/s=5.0m/s,

則5.0m/s<v<6.0m/s,故選B.

10.如圖所示，在距地面高/z的A點以與水平面成。=60。的角度斜向上拋出一小球，不計空

氣阻力.發現小球落在右邊板0G上，且落點。與A點等高.己知的=2小m/s,h=0.2m,

g取10m/s?.則下列說法正確的是（）

h

A.小球從A到D的水平位移為1.8m

B.小球在水平方向做勻加速運動

C.若撤去0G板，則經過。點之后小球在豎直方向做自由落體運動，故再經0.2s它將落地

D.小球從A到。的時間是0.6s

答案D

解析小球在豎直方向的分速度為0QV=oosina=3m/s,小球在水平方向的分速度為vox=

00cos0（=小m/s,小球從A到。的時間為s=0.6s,小球從A到。的水平位

移為m,所以A錯誤，D正確；小球在水平方向做勻速直線運動，所以B錯誤；

若撤去OG板，在。點，小球在豎直方向速度大小為0、.=OQV=3m/s,則經過。點之后小球

在豎直方向做勻加速直線運動，不是自由落體運動，所以C錯誤.

11.（2023?河北保定市高三檢測）如圖所示，某次跳臺滑雪訓練中，運動員（視為質點）從傾斜雪

道上端的水平平臺上以10m/s的速度飛出，最后落在傾角為37。的傾斜雪道上.重力加速度

大小取g=10m/s2,sin37o=0.6,cos37o=0.8,不計空氣阻力.下列說法正確的是（）

A.運動員的落點距雪道上端的距離為18m

B.運動員飛出后到雪道的最遠距離為1.25m

C.運動員飛出后距雪道最遠時的速度大小為12.5m/s

D.若運動員水平飛出時的速度減小，則他落在雪道上的速度方向將改變

答案C

解析根據平拋運動知識可知，x=vot,tan37°=：,聯立解得f=L5s,則運動員的

落點距雪道上端的距離為s=co：，7o=18?75m,選項A錯誤：當運動員速度方向與傾斜雪道

方向平行時，距離傾斜雪道最遠，根據平行四邊形定則知，速度o=co：；7。=12.5m/s,選項

C正確；運動員飛出后到雪道的最遠距離為/?=（；f：dS=2.25m,選項B錯誤；當運動員

落在傾斜雪道上時，速度方向與水平方向夾角的正切值tana=2tan37。，即速度方向與水平

方向的夾角是一定值，可知若運動員水平飛出時的速度減小，則