2013年全國高校自主招生數學模擬試卷六一、選擇題(36分)1．刪去正整數數列1，2，3，……中的所有完全平方數，得到一個新數列．這個數列的第2003項是(A)2046(B)2047(C)2048(D)20492．設a，b∈R，ab≠0，那么直線ax－y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是3．過拋物線y2=8(x+2)的焦點F作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于點P，則線段PF的長等于(A)eq\f(16,3)(B)eq\f(8,3)(C)eq\f(16,3)eq\r(3)(D)8eq\r(3)4．若x∈[－eq\f(5,12)，－eq\f(,3)]，則y=tan(x+eq\f(2,3))－tan(x+eq\f(,6))+cos(x+eq\f(,6))的最大值是(A)eq\f(12,5)eq\r(2)(B)eq\f(11,6)eq\r(2)(C)eq\f(11,6)eq\r(3)(D)eq\f(12,5)eq\r(3)5．已知x，y都在區間(－2，2)內，且xy=－1，則函數u=eq\f(4,4－x2)+eq\f(9,9－y2)的最小值是(A)eq\f(8,5)(B)eq\f(24,11)(C)eq\f(12,7)(D)eq\f(12,5)6．在四面體ABCD中，設AB=1，CD=eq\r(3)，直線AB與CD的距離為2，夾角為eq\f(,3)，則四面體ABCD的體積等于(A)eq\f(\r(3),2)(B)eq\f(1,2)(C)eq\f(1,3)(D)eq\f(\r(3),3)二．填空題(每小題9分，共54分)7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是．8．設F1、F2是橢圓eq\f(x2,9)+eq\f(y2,4)=1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，則△PF1F2的面積等于．9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}若AB，則實數a的取值范圍是．10．已知a，b，c，d均為正整數，且logab=eq\f(3,2)，logcd=eq\f(5,4)，若a－c=9，則b－d=．11．將八個半徑都為1的球分放兩層放置在一個圓柱內，并使得每個球都和其相鄰的四個球相切，且與圓柱的一個底面及側面都相切，則此圓柱的高等于．12．設Mn={(十進制)n位純小數0.eq\o(\s\up5(－),a1a2…an)|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn是Mn中元素的個數，Sn是Mn中所有元素的和，則eq\o(lim,\s\do6(n→∞))eq\f(Sn,Tn)=．三、（20分）13．設eq\f(3,2)≤x≤5，證明不等式2eq\r(x+1)+eq\r(2x－3)+eq\r(15－3x)<2eq\r(19)．四、(20分)14．設A、B、C分別是復數Z0=ai，Z1=eq\f(1,2)+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是實數)對應的不共線的三點．證明：曲線Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t(t∈R)與△ABC中平行于AC的中位線只有一個公共點，并求出此點．五、(本題滿分20分)15．一張紙上畫有一個半徑為R的圓O和圓內一個定點A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點A剛好與點A重合．這樣的每一種折法，都留下一條折痕．當A取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合．

2013年全國高校自主招生數學模擬試卷六參考答案一、選擇題(每小題6分，共36分)1．刪去正整數數列1，2，3，……中的所有完全平方數，得到一個新數列．這個數列的第2003項是(A)2046(B)2047(C)2048(D)2049解：452=2025，462=2116．在1至2025之間有完全平方數45個，而2026至2115之間沒有完全平方數．故1至2025中共有新數列中的2025－45=1980項．還缺2003－1980=23項．由2025+23=2048．知選C．2．設a，b∈R，ab≠0，那么直線ax－y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是解：曲線方程為eq\f(x2,a)+eq\f(y2,b)=1，直線方程為y=ax+b．由直線圖形，可知A、C中的a<0，A圖的b>0，C圖的b<0，與A、C中曲線為橢圓矛盾．由直線圖形，可知B、D中的a>0，b<0，則曲線為焦點在x軸上的雙曲線，故選B．3．過拋物線y2=8(x+2)的焦點F作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于點P，則線段PF的長等于(A)eq\f(16,3)(B)eq\f(8,3)(C)eq\f(16,3)eq\r(3)(D)8eq\r(3)解：拋物線的焦點為原點(0，0)，弦AB所在直線方程為y=eq\r(3)x，弦的中點在y=eq\f(p,k)=eq\f(4,\r(3))上，即AB中點為(eq\f(4,3)，eq\f(4,\r(3)))，中垂線方程為y=－eq\f(\r(3),3)(x－eq\f(4,3))+eq\f(4,\r(3))，令y=0，得點P的坐標為eq\f(16,3)．∴PF=eq\f(16,3)．選A．4．若x∈[－eq\f(5,12)，－eq\f(,3)]，則y=tan(x+eq\f(2,3))－tan(x+eq\f(,6))+cos(x+eq\f(,6))的最大值是(A)eq\f(12,5)eq\r(2)(B)eq\f(11,6)eq\r(2)(C)eq\f(11,6)eq\r(3)(D)eq\f(12,5)eq\r(3)解：令x+eq\f(,6)=u，則x+eq\f(2,3)=u+eq\f(,2)，當x∈[－eq\f(5,12)，－eq\f(,3)]時，u∈[－eq\f(,4)，－eq\f(,6)]，y=－(cotu+tanu)+cosu=－eq\f(2,sin2u)+cosu．在u∈[－eq\f(,4)，－eq\f(,6)]時，sin2u與cosu都單調遞增，從而y單調遞增．于是u=－eq\f(,6)時，y取得最大值eq\f(11,6)eq\r(3)，故選C．5．已知x，y都在區間(－2，2)內，且xy=－1，則函數u=eq\f(4,4－x2)+eq\f(9,9－y2)的最小值是(A)eq\f(8,5)(B)eq\f(24,11)(C)eq\f(12,7)(D)eq\f(12,5)解：由x，y∈(－2，2)，xy=－1知，x∈(－2，－eq\f(1,2))∪(eq\f(1,2)，2)，u=eq\f(4,4－x2)+eq\f(9x2,9x2－1)=eq\f(－9x4+72x2－4,－9x4+37x2－4)=1+eq\f(35,37－(9x2+\f(4,x2)))．當x∈(－2，－eq\f(1,2))∪(eq\f(1,2)，2)時，x2∈(eq\f(1,4)，4)，此時，9x2+eq\f(4,x2)≥12．(當且僅當x2=eq\f(2,3)時等號成立)．此時函數的最小值為eq\f(12,5)，故選D．6．在四面體ABCD中，設AB=1，CD=eq\r(3)，直線AB與CD的距離為2，夾角為eq\f(,3)，則四面體ABCD的體積等于(A)eq\f(\r(3),2)(B)eq\f(1,2)(C)eq\f(1,3)(D)eq\f(\r(3),3)解：如圖，把四面體補成平行六面體，則此平行六面體的體積=1×eq\r(3)×sineq\f(π,3)×2=3．而四面體ABCD的體積=eq\f(1,6)×平行六面體體積=eq\f(1,2)．故選B．二．填空題(每小題9分，共54分)7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是．解：即|x|3－2|x|2－4|x|+3<0，(|x|－3)(|x|－eq\f(\r(5)－1,2))(|x|+eq\f(\r(5)+1,2))<0．|x|<－eq\f(\r(5)+1,2)，或eq\f(\r(5)－1,2)<|x|<3．∴解為(－3，－eq\f(\r(5)－1,2))∪(eq\f(\r(5)－1,2)，3)．8．設F1、F2是橢圓eq\f(x2,9)+eq\f(y2,4)=1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，則△PF1F2的面積等于．解：F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)；|F1F2|=2eq\r(5)．|PF1|+|PF2|=6，|PF1|=4，|PF2|=2．由于42+22=(2eq\r(5))2．故PF1F2是直角三角形eq\r(5)eq\r(5)．∴S=4．9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}若AB，則實數a的取值范圍是．解：A=(1，3)；又，a≤－21－x∈(－1，－eq\f(1,4))，當x∈(1，3)時，a≥eq\f(x2+5,2x)－7∈(eq\r(5)－7，－4)．∴－4≤a≤－1．10．已知a，b，c，d均為正整數，且logab=eq\f(3,2)，logcd=eq\f(5,4)，若a－c=9，則b－d=解：a3=b2，c5=d4，設a=x2，b=x3；c=y4，d=y5，x2－y4=9．(x+y2)(x－y2)=9．∴x+y2=9，x－y2=1，x=5，y2=4．b－d=53－25=125－32=93．11．將八個半徑都為1的球分放兩層放置在一個圓柱內，并使得每個球都和其相鄰的四個球相切，且與圓柱的一個底面及側面都相切，則此圓柱的高等于．解：如圖，ABCD是下層四個球的球心，EFGH是上層的四個球心．每個球心與其相切的球的球心距離=2．EFGH在平面ABCD上的射影是一個正方形．是把正方形ABCD繞其中心旋轉45而得．設E的射影為N，則MN=eq\r(2)－1．EM=eq\r(3)，故EN2=3－(eq\r(2)－1)2=2eq\r(2)．∴EN=eq\r(4,8)．所求圓柱的高=2+eq\r(4,8)．12．設Mn={(十進制)n位純小數0.eq\o(\s\up5(－),a1a2…an)|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn是Mn中元素的個數，Sn是Mn中所有元素的和，則eq\o(lim,\s\do6(n→∞))eq\f(Sn,Tn)=．解：由于a1，a2，…，an－1中的每一個都可以取0與1兩個數，Tn=2n－1．在每一位(從第一位到第n－1位)小數上，數字0與1各出現2n－2次．第n位則1出現2n－1次．∴Sn=2n－20.11…1+2n－210－n．∴eq\o(lim,\s\do6(n→∞))eq\f(Sn,Tn)=eq\f(1,2)eq\f(1,9)=eq\f(1,18)．三、（本題滿分20分）13．設eq\f(3,2)≤x≤5，證明不等式2eq\r(x+1)+eq\r(2x－3)+eq\r(15－3x)<2eq\r(19)．解：x+1≥0，2x－3≥0，15－3x≥0．eq\f(3,2)≤x≤5．由平均不等式eq\f(\r(x+1)+\r(x+1)+\r(2x－3)+\r(15－3x),4)≤eq\r(\f(x+1+x+1+2x－3+15－3x,4))≤eq\r(\f(14+x,4))．∴2eq\r(x+1)+eq\r(2x－3)+eq\r(15－3x)=eq\r(x+1)+eq\r(x+1)+eq\r(2x－3)+eq\r(15－3x)≤2eq\r(14+x)．但2eq\r(14+x)在eq\f(3,2)≤x≤5時單調增．即2eq\r(14+x)≤2eq\r(14+5)=2eq\r(19)．故證．四、(本題滿分20分)14．設A、B、C分別是復數Z0=ai，Z1=eq\f(1,2)+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是實數)對應的不共線的三點．證明：曲線Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t(t∈R)與△ABC中平行于AC的中位線只有一個公共點，并求出此點．解：曲線方程為：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)∴x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t．(0≤x≤1)y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1－x)2+2b(1－x)x+cx2即y=(a－2b+c)x2+2(b－a)x+a(0≤x≤1)．①若a－2b+c=0，則Z0、Z1、Z2三點共線，與已知矛盾，故a－2b+c0．于是此曲線為軸與x軸垂直的拋物線．AB中點M：eq\f(1,4)+eq\f(1,2)(a+b)i，BC中點N：eq\f(3,4)+eq\f(1,2)(b+c)i．與AC平行的中位線經過M(eq\f(1,4)，eq\f(1,2)(a+b))及N(eq\f(3,4)，eq\f(1,2)(b+c))兩點，其方程為4(a－c)x+4y－3a－2b+c=0．(eq\f(1,4)≤x≤eq\f(3,4))．②令4(a－2b+c)x2+8(b－a)x+4a=4(c－a)x+3a+2b－即4(a－2b+c)x2+4(2b