第01講集合與常用邏輯用語【易錯點總結】集合的概念1.集合的概念元素：把研究對象統稱為元素，用小寫拉丁字母a、b、c表示.集合：把一些元素組成的總體叫做集合，或簡稱集，用大寫字母A、B、C表示.集合中元素的特征：確定性一個集合中的元素必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構成集合互異性集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素無序性集合與其中元素的排列順序無關，如a，b，c組成的集合與b，c，a組成的集合是相同的集合．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關系只要構成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.注意：集合的判斷從元素的三要素入手，考察確定性的問題一般出現在自然語言表示的集合，要注意題目中不明確的詞語，例如：“很大”、“著名”等。考察互異性的問題一般是針對數字類的題目，注意同一個數字不同的表示方法。元素與集合的關系如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記做；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記做.熟記數學中一些常用的數集及其記法符號名稱含義N非負數集或自然數集全體非負整數組成的集合N*或正整數集所有正整數組成的集合Z整數集全體整數組成的集合Q有理數集全體有理數組成的集合R實數集全體實數組成的集合注意：當元素屬于集合時，應該進行分類討論求出參數，參數代入驗證集合中的元素是否滿足元素的三個特征。集合的分類與表示集合的分類：（1）按元素的數量分為有限集、無限集、空集；（2）按元素的屬性分為數集、點集以及其他集合.表示方法：（1）自然語言描述法.（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“｛｝”括起來表示集合的方法叫做列舉法。（3）描述法：設A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為｛x∈A｜P(x)｝，這種表示集合的方法稱為描述法．二、集合間的基本關系子集和真子集子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集.記作：讀作：“A包含于B”(或“B包含A”)符號語言：任意Venn圖：在數學中，我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖.可以用圖表示為：真子集：如果集合,但存在元素B，且xA，就稱集合A是集合B的真子集.記作：（或).空集空集：一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為.空集是任何集合的子集，即對于任意一個集合A，有集合相等：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作A=B.子集的個數若一個集合含有m個元素，則其子集有2m個，真子集有(2m-1)個，非空真子集有(2m-2)個；三、集合的基本運算并集一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB};Venn圖表示:交集一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn圖表示：補集全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U.補集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集(complementaryset)，簡稱為集合A的補集，記作：即；補集的Venn圖表示：四、充分條件與必要條件1.充分條件與必要條件命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關系p?qpq條件關系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件充要條件(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．(2)若p?q，但qp，則稱p是q的充分不必要條件．(3)若q?p，但pq，則稱p是q的必要不充分條件．(4)若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．3.從集合角度看充分、必要條件若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件若B?A，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件若A=B，則p，q互為充要條件若或，但則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件五、全稱量詞與存在量詞1.全稱量詞與全稱量詞命題(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．(2)含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題，通常將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示，那么全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)．2.存在量詞與存在量詞命題(1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．(2)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題，存在量詞命題“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”．3.含有一個量詞的命題的否定﹁一般地，對于含有一個量詞的命題的否定，有下面的結論：全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；存在量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．【考點剖析】考點一：集合的概念1．現有以下說法，其中正確的是①接近于0的數的全體構成一個集合；②正方體的全體構成一個集合；③未來世界的高科技產品構成一個集合；④不大于3的所有自然數構成一個集合．A．①② B．②③ C．③④ D．②④2．下列四個命題：①{0}是空集；②若a∈N，則－a?N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}含有兩個元素；④集合是有限集．其中正確命題的個數是（

）A．1 B．2C．3 D．0考點二：集合的基本關系3．已知集合，，則下列關系正確的是（

）A．M＝N B．MNC．N?M D．NM4．給出以下5組集合：①M＝{(－5，3)}，N＝{－5，3}；②M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；③M＝，N＝{0}；④M＝{}，N＝{3.1415}；⑤M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}.其中是相等集合的有（

）A．1組 B．2組C．3組 D．4組考點三：集合的基本運算5．設全集，集合，，則（

）A． B．C． D．6．已知集合，集合，則下列關系式正確的是（

）A． B．C．或 D．考點四：充分條件與必要條件7．若為實數，則是的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．“x=3”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不必要也不充分考點五：全稱量詞與存在量詞9．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，10．已知命題，若為真命題，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【基礎過關】一、單選題1．一次函數與的圖像交點組成的集合是（

）A． B． C． D．2．已知集合，則（

）A． B．C． D．R3．《三字經》中有一句“玉不琢，不成器”，其中“打磨玉石”是“成為器物”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若命題p：“，”是真命題，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知集合，，則子集的個數為（

）．A．2 B．4 C．6 D．86．設，，若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．某小學對小學生的課外活動進行了調查．調查結果顯示：參加舞蹈課外活動的有63人，參加唱歌課外活動的有89人，參加體育課外活動的有47人，三種課外活動都參加的有24人，只選擇兩種課外活動參加的有22人，不參加其中任何一種課外活動的有15人，則接受調查的小學生共有多少人？（

）A．120 B．144 C．177 D．1928．已知集合，，且，則實數的取值構成的集合為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知全集，集合、滿足?，則下列選項正確的有（

）A． B． C． D．10．下列說法正確的是（

）A．命題“，”的否定是“，”B．存在，使得是真命題；C．若命題“，”為假命題，則實數n的取值范圍是D．已知集合，則滿足條件的集合B的個數為15三、填空題11．已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為__________．12．已知命題p：，.若命題為真命題，則實數a的最大值是______.四、解答題13．已知集合，集合．(1)求；(2)設，若，求實數的取值范圍．14．命題：“，”，命題：“，”，若，都為真命題時，求實數的取值范圍．15．已知全集，集合，集合.條件①；②是的充分條件：③，使得.(1)若，求；(2)若集合A，B滿足條件___________.（三個條件任選一個作答），求實數m的取值范圍.【能力提升】一、單選題1．已知集合，，，則（

）A． B． C．或 D．2．若命題“，”為假命題，則的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或3．已知x、y都是實數，那么“”的充分必要條件是（

）．A． B． C． D．4．若不等式成立的充分條件為，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知集合，，則（

）A． B． C． D．二、填空題6．行知中學高一某班學生參加物理和數學競賽輔導班的選拔，已知該班學生參加物理競賽輔導選拔的人數是該班全體人數的八分之三；參加數學