§3導數的計算

?素養目標;定方向”

學習目標

1.能根據定義求函數y=c,y=x,y=V,y=p尸小的導數.

2.掌握基本初等函數的導數公式，并能進行簡單的應用.

核心素養

通過基本初等函數的導數公式的應用，培養數學運算素養.

?必備知識?探新知?

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知識點1導函數的概念

一般地，如果一個函數y=F(x)在區間(46)的每一點x處都有導數f'(x)=lim

AkO

f(x+AA)-F⑸

△x—,

那么/(x)是關于X的函數，稱/5)為〃=人工)的導函數，也簡稱為導數，有時也將導

數記作y'.

想一想：

若f'(x)=e、，則F(x)=e，這種說法正確嗎？

提示：不正確.由導數定義可知Ax)=/+。(其中。為任意實數)，都有F(x)=e：

練一練：

1.已知/U)=江,則丁⑶等于(C)

A.0B.2x

C.6D.9

［解析］因為Ax)=-所以F'(x)=2x,

所以Fz(3)=6.

2.已知函數F(x)及其導數F(X),若存在Xo,使得_f(xo)=r(Xo),則稱Xo是/'(x)的一

個“巧值點”.下列函數中，有“巧值點”的是①②③④.(填序號)

①/*(才)=3②/'(x)=e'③_f(x)=lnx④_f(x)=工

x

［解析］對于①，F(x)=x,f'?=2x,由f=2x,解得x=0或x=2,因此此函數有“巧

值點”;

x

對于②，f(x)=e9f'(x)=e",由e'=e",得x￡R,因此此函數有“巧值點”；

對于③,f（x）=lnx,一⑸三,分別畫出圖象y=ln-=3>0）,由圖象可知,

兩函數圖象有交點，因此此函數有“巧值點”

對于④，f(x)=：f(x)=一%

由-=-4,解得X=—l,

XX

因此此函數有“巧值點

知識點2導數公式

函數導數

y=c（。是常數）y'=0

y=xa（a是實數）y="T

y=a”(a>0,aWl)y'=Hlna特別地(e5'=e"

y^logaX(a〉0,3.-^-1)y'-「特別地(Inx)'-

~xina-x

y=sinxy'—cosx

y=cosxy'——sinx

,1

y=tanx

y—一cos2x-

練一練:

1.思考辨析（正確的畫“J”，錯誤的畫“X”）

(2)(cosx)'=sinx.(X)

022

⑷（/儂），=2023/.（V）

2.下列各式中，正確的是（A）

X

X

［解析］先利用誘導公式化簡,再根據求導公式求導.

◎關健能力?攻重難?

題型探究

題型一公式法求導數

典例1(1)求下列函數的導數：

①y=｝；?y=x*y［x；③y=3"；④尸logs*

⑵求下列函數的導數：①尸sirr1~；②尸自"；③尸;

［解析］(1)①V=仁)=(才7)'=_4-5=一*

@/=(10g5X)'=」1.

xln5

⑵①/=0.

2

②/=G)'ln白一曲5"

［規律方法］運用基本初等函數的導數公式求導的注意事項

(1)對于簡單的函數，直接套用公式.

(2)對于較為復雜，不能直接套用公式的，可先把題中函數恒等變形為基本初等函數，再求

導.

?10對點訓練?⑴f(x)=a“a>0,aWl),則f’⑵=(D)

A.8B.12

C.81n3D.0

(2)若函數Ax)=10。則F⑴等于(C)

B.10

］

C.loin10D，Win10

(3)求下列函數的導數：

xx

①p=log8X；②y=sin5cos5.

［解析］(l)ax)=3(a〉0,是常數函數,

所以F'(x)=0.所以(2)=0.

⑵因為/(x)=l(Tln10,

所以f(l)=101n10.

(3)@yf—(logsA)==-19-

xlnQ8Q6xln2

xx1

②因為p=sin5cos5=,sinx,

題型二利用導數公式求切線方程

典例2⑴函數T在點由2)處的切線方程是(B)

A.y=4xB.y=~4x+4

C.y=4x+4D.y=2x~4

(2)求曲線y=lnx在x=e處的切線方程.

［解析］(1)Vy=-,

X

T

??y一

X

???切線的斜率k=—4,

???切線方程為y—2=—4

即4x+y—4=0.

(2)函數y=lnx的定義域為(0,+°°).

V=(lnx)T

設切點坐標尸(e,70),則為=lne=l,

所以切點為尸(e,1),

曲線y=lnx在x=e處的切線斜率k=~,所以所求切線方程為y-l=-(^-e),即x—ey

ee

=0.

［規律方法］解決切線問題的步驟

(1)求函數f(x)的定義域；

(2)公式法求導函數/(x)；

⑶設切點坐標〃(劉，開)；

⑷列方程(組):

①切點在曲線上，即為=『(劉)；

②切線斜率等于函數在切點處的導數，即4=/(荀)；

③切點在切線上，即切線為y—%=A(x—苞).

(5)解方程(組).

?10對點訓練?(1)曲線fix)=3'在點(0,1)處的切線方程是y=xln3+1.

(2)已知曲線〃=系在點⑵8)處的切線方程為尸Ax+b,貝！|4一/?=(C)

A.4B.-4

C.28D.-28

1Q

(3)若曲線F(x)=一上某點處的切線的傾斜角為彳兀，則該點的坐標為(D)

x4

A.(1,1)B.(―1,—1)

C.(―1,1)D.(1,1)或(一1,—1)

［解析］(l)???Hx)=3:

f'(x)=3"ln3,

：.f'(0)=ln3,

???所求切線方程為y=xln3+1.

(2)V/=3/,

???點(2,8)處的切線斜率(2)=12,

???切線方程為y—8=12(x—2),即尸12x—16,

：.k=\2,b=—16,：.k~b=28.

3i

(3)切線的斜率4=tanTr=-1,f'(x)=—2,

4x

設切點為(xo,K),貝！JF'(劉)=一1,

1

.*.Xo=l或一1,

，切點坐標為（1,1）或（-1,—1）.

題型三與切線有關的問題

典例3⑴函數f（x）=lnx+f—6x+a（6〉0,a￡R）的圖象在點（6,/'（加）處的切線斜率

的最小值是（D)

C.1D.2

⑵設P是曲線y=e*上任意一點，求點P到直線尸x的最小距離.

［解析］⑴J,(x)=$2xT,

:?f（力）=［+力22^^］?6=2,

當且僅當6=1時取等號，因此切線斜率的最小值是2,選D.

⑵如圖，設/是與直線y=x平行，且與曲線尸/相切的直線，則切點到直線y=x的距

離最小.

設直線,與曲線尸小相切于點尸（照，為）.

因為/=e",所以exo=l,所以x°=0.

代入y=建得％=1,所以尸（0,1）.

所以點P到直線尸X的最小距離為車”=坐

［規律方法］利用導數的幾何意義解決切線問題的兩種情況

（D若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導數.

（2）若已知點不是切點，則應先設出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解.

?10對點訓練?已知尸點是曲線F（x）=lnx的一條切線，則仁=.

-e-

［解析］設切點坐標為（劉，㈤,

由題意得f（Ao）=—=k,又yo=kxo,而且為=lnx0,從而可得xo=e,yb=l,貝UA=±

xoe

易錯警示

不能正確理解切點的實質而致誤

典例4經過點尸（2,8）作曲線尸f的切線，求切線方程.

［錯解］設〃x）=￡,由定義得/（2）=12,.?.所求切線方程為y—8=12（x—2）,

即i2,x—y-16=0.

［誤區警示］曲線過點P的切線與在點P處的切線不同.

［正解］易知P點在曲線y=V上，當尸點為切點時，由上面解法知切線方程為12x—y—

16=0.

當P點不是切點時，設切點為/（x。，%），由定義可求得切線的斜率為A=3/

：力在曲線上，.?.‘二=3窟，

Ao—3AO+4=O,，（xo+1）（劉一2）2=0,.\xo=~l或施=2（舍去），

jo——1,k=3,此時切線方程y+1=3（x+1）,即3x—y+2=0.

故經過點尸的曲線的切線有兩條，方程分別為12x—y—16=0和3x—y+2=0.

［點評］在求切線方程的過程中，關鍵是尋找兩個條件：一是切點，二是切線的斜率.其

中切點又是關鍵，需要找清切點，如本例中點尸⑵8）不一定是切點，做題時要高度關注.

上課堂檢測二固雙基空

1.若Ax）=sinx,則f'（D）

1y［3

C.~D.

(Tl\Jl

［解析］f'(x)=cosx,：.f'H"|=cos—=-^-.

2.曲線y=e'在點(2,處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為(D)

9

A.-e2B.2e2

［解析］曲線尸/在點(2,e＞處的切線方程為y