13三月20240過程特性及其數學模型一個自動控制系統可以概括成兩大部分，即工藝過程部分（被控對象）和自動化裝置部分。前者指與該自動控制系統有關的部分。后者指為實現自動控制所必需的自動化儀表設備，通常包括測量與變送裝置、控制器和執行器等三部分。

對于一個自動控制系統，過渡過程品質的好壞，在很大程度上決定于對象的性質。例如在前所述的溫度控制系統中，屬于對象性質的主要因素有：換熱器的負荷大小，換熱器的結構、尺寸、材質等，換熱器內的換熱情況、散熱情況及結垢程度等。不同自動化系統要具體分析。內容提要過程特性的類型過程的描述方法建模目的機理建模實驗建模描述對象特性的參數放大系數Κ時間常數Τ滯后時間τ對象特性參數的測定1

過程特性：指被控過程輸入量（操縱變量或干擾變量）發生變化時，輸出量(被控變量)的變化規律。被控過程常見種類：換熱器、鍋爐、精餾塔、化學反應器、貯液槽罐、加熱爐等

被控變量（輸出量）擾動變量（輸入量）

操縱變量（輸入量）

通道：被控過程的輸入量與輸出量之間的信號聯系

控制通道-----操縱變量至被控變量的信號聯系（作用途徑）擾動通道-----擾動變量至被控變量的信號聯系（作用途徑）2.1過程特性的類型

1.自衡的非振蕩過程2.無自衡的非振蕩過程3.有自衡的振蕩過程4.具有反向特性的過程依據階躍信號下對象的響應特征，多數工業過程的特性可分為下列四種類型：過程特性通常通過在階躍信號的作用下的表現（響應）獲得

1.自衡的非振蕩過程在階躍信號的作用下，被控變量C(t)不經振蕩，逐漸向新的穩態值C(∞)靠攏。過程特性的類型C(t)tC(∞)自衡的非振蕩過程h

Q1

Q2

tt

hQ1

如圖所示的通過閥門阻力排液的液位系統過程特性的類型2.無自衡的非振蕩過程

在階躍信號的作用下，被控變量C(t)會一直上升或下降，直到極限值。C(t)t無自衡的非振蕩過程

圖2-4：無自衡的的非振蕩液位過程過程特性的類型3.有自衡的振蕩過程

在階躍信號的作用下，被控變量C(t)會上下振蕩，且振蕩的幅值逐漸減小，最終能趨近新的穩態值。有自衡的振蕩過程的響應曲線如圖所示。在控制過程中，這類過程不多見，它們的控制也比第一類過程困難一些。C(t)

t

有自衡的振蕩過程

過程特性的類型

4.具有反向特性的過程在階躍信號的作用下，被控變量C(t)先升后降或先降后升，（鍋爐汽包的虛假水位）即階躍響應在初始情況與最終情況方向相反。C(t)t

具有反向特性的過程

汽包給水蒸汽加熱室

研究對象的特性，就是用數學的方法來描述出對象輸入量與輸出量之間的關系。這種對象特性的數學描述就稱為對象的數學模型。干擾作用和控制作用都是引起被控變量變化的因素，如下圖所示。輸出變量輸入變量通道控制通道干擾通道？幾個概念2圖2-1對象的輸入輸出量2.2過程的數學描述對象的數學模型分為靜態數學模型和動態數學模型靜態數學模型動態數學模型基礎特例3一般是在工藝流程和設備尺寸等都確定的情況，研究對象的輸入變量是如何影響輸出變量的。研究的目的是為了使所設計的控制系統達到更好的控制效果。

在產品規格和產量已確定的情況下，通過模型計算，確定設備的結構、尺寸、工藝流程和某些工藝條件。

（a）（b）（c）用于控制的數學模型（a、b）與用于工藝設計與分析的數學模型（c）不完全相同。4數學模型的表達形式分類51.非參量模型

當數學模型是采用曲線或數據表格等來表示時，稱為非參量模型。非參量模型可以通過記錄實驗結果來得到，有時也可以通過計算來得到。特點形象、清晰，比較容易看出其定性的特征

缺點直接利用它們來進行系統的分析和設計往往比較困難

表達形式對象在一定形式輸入作用下的輸出曲線或數據來表示

當數學模型是采用數學方程式來描述時，稱為參量模型。對象的參量模型可以用描述對象輸入、輸出關系的微分方程式、偏微分方程式、狀態方程、差分方程等形式來表示。2.參量模型67對于線性的集中參數對象

通常可用常系數線性微分方程式來描述，如果以x（t）表示輸入量，y（t）表示輸出量，則對象特性可用下列微分方程式來描述在允許的范圍內，多數化工對象動態特性可以忽略輸入量的導數項可表示為

（2-1）8舉例一個對象如果可以用一個一階微分方程式來描述其特性（通常稱一階對象），則可表示為或表示成式中（2-2）（2-3）上式中的系數與對象的特性有關，一般需要通過對象的內部機理分析或大量的實驗數據處理得到。過程數學模型的建立一、建模目的9（1）控制系統的方案設計

（2）控制系統的調試和控制器參數的確定

（3）制定工業過程操作優化方案（4）新型控制方案及控制算法的確定

（5）計算機仿真與過程培訓系統

（6）設計工業過程的故障檢測與診斷系統

二、機理建模10

根據對象或生產過程的內部機理，列寫出各種有關的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、動量平衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、設備的特性方程、化學反應定律、電路基本定律等，從而獲取對象（或過程）的數學模型，這類模型通常稱為機理模型。

二、機理建模對于某些對象，人們還難以寫出它們的數學表達式，或者表達式中的某些系數還難以確定時，不能適用。具有非常明確的物理意義，所得的模型具有很大的適應性，便于對模型參數進行調整。

優點缺點11舉例1.一階對象（1）水槽對象對象物料蓄存量的變化率＝單位時間流入對象的物料－單位時間流出對象的物料依據1213（2-4）若變化量很微小，可以近似認為Q2與h成正比（2-5）將上式代入（2-4）式，移項令則轉到22頁圖2-2水槽對象14（2）RC電路ei若取為輸入參數，eo為輸出參數，根據基爾霍夫定理

消去i由于或圖2-3RC電路2.積分對象當對象的輸出參數與輸入參數對時間的積分成比例關系時，稱為積分對象。Q2為常數，變化量為0說明，所示貯槽具有積分特性。其中，A為貯槽橫截面積15圖2-4積分對象163.二階對象（1）串聯水槽對象假定輸入、輸出量變化很小的情況下，貯槽的液位與輸出流量具有線性關系。

假定每只貯槽的截面積都為A，則轉到26頁圖2-5串聯水槽對象消去Q12、Q2、h1整理得式中為第一只貯槽的時間常數；為第二只貯槽的時間常數；為整個對象的放大系數。1718（2）RC串聯電路根據基爾霍夫定律整理得圖2-6RC串聯電路2.3過程特性的一般分析一、放大系數K

對于前面介紹的水槽對象，當流入流量Q1有一定的階躍變化后，液位h也會有相應的變化，但最后會穩定在某一數值上。如果我們將流量Q1的變化ΔQ1看作對象的輸入，而液位h的變化Δh看作對象的輸出，那么在穩定狀態時，對象一定的輸入就對應著一定的輸出，這種特性稱為對象的靜態特性。2425圖2-12水槽液位的變化曲線或K在數值上等于對象重新穩定后的輸出變化量與輸入變化量之比。K越大，就表示對象的輸入量有一定變化時，對輸出量的影響越大，即被控變量對這個量的變化越靈敏。26舉例以合成氨的轉換爐為例，說明各個量的變化對被控變量K的影響

生產過程要求一氧化碳的轉化率要高，蒸汽消耗量要少，觸媒壽命要長。通常用變換爐一段反應溫度作為被控變量，來間接地控制轉換率和其他指標。圖2-13一氧化碳變換過程示意圖圖2-14不同輸入作用時的被控變量變化曲線

影響變換爐一段反應溫度的因素主要有冷激流量、蒸汽流量和半水煤氣流量。改變閥門1、2、3的開度就可以分別改變冷激量、蒸汽量和半水煤氣量的大小。從右上圖看出，冷激量對溫度的相對放大系數最大；蒸汽量對溫度的相對放大系數次之；半水煤氣量對溫度的相對放大系數最小。27二、時間常數T28

從大量的生產實踐中發現，有的對象受到干擾后，被控變量變化很快，較迅速地達到了穩定值；有的對象在受到干擾后，慣性很大，被控變量要經過很長時間才能達到新的穩態值。

圖1-15不同時間常數對象的反應曲線如何定量地表示對象受干擾后的這種特性呢？

在自動化領域中，往往用時間常數T來表示。時間常數越大，表示對象受到干擾作用后，被控變量變化得越慢，到達新的穩定值所需的時間越長。

2930舉例簡單水槽為例由前面的推導可知：t<0時Q1=0；t>0或t=0時Q1=A，則函數表達式為：（2-33）圖2-16反應曲線當t→∞時，上式為：（2-34）將t=T代入得（2-35）（2-36）

當對象受到階躍輸入后，被控變量達到新的穩態值的63.2％所需的時間，就是時間常數T，實際工作中，常用這種方法求取時間常數。顯然，時間常數越大，被控變量的變化也越慢，達到新的穩定值所需的時間也越大。圖2-17不同時間常數下的反應曲線T1＜T2＜T3＜T4

說明時間常數大的對象（如T4)對輸入的反應較慢，一般認為慣性較大。3334在輸入作用加入的瞬間，液位h的變化速度是多大呢？將式（2-33）對t求導，得（2-37）當t=0（2-38）當t→∞時，式（2-37）可得（2-39）圖2-18時間常數T的求法由左下圖所示，式（2-38）代表了曲線在起始點時切線的斜率，這條切線在新的穩定值h（∞）上截得的一段時間正好等于T。由式（2-33），當t=∞時，h=KA。當t=3T時，代入式（2-33）得（2-40）

從加入輸入作用后，經過3T時間，液位已經變化了全部變化范圍的95％，這時，可以近似地認為動態過程基本結束。所以，時間常數T是表示在輸入作用下，被控變量完成其變化過程所需要的時間的一個重要參數。

結論35三、滯后時間τ定義分類

對象在受到輸入作用后，被控變量卻不能立即而迅速地變化，這種現象稱為滯后現象。滯后性質傳遞滯后容量滯后

傳遞滯后又叫純滯后，一般用τ0表示。τ0的產生一般是由于介質的輸送需要一段時間而引起的。

對象在受到階躍輸入作用x后，被控變量y開始變化很慢，后來才逐漸加快，最后又變慢直至逐漸接近穩定值。36371.傳遞滯后顯然，純滯后時間τ0與皮帶輸送機的傳送速度v和傳送距離L有如下關系：（2-41）溶解槽及其反應曲線純滯后時間舉例從測量方面來說，由于測量點選擇不當、測量元件安裝不合適等原因也會造成傳遞滯后。蒸汽直接加熱器

當加熱蒸汽量增大時，槽內溫度升高，然而槽內溶液流到管道測溫點處還要經過一段時間τ0。所以，相對于蒸汽流量變化的時刻，實際測得的溶液溫度T要經過時間τ0后才開始變化。注意：安裝成分分析儀器時，取樣管線太長，取樣點安裝離設備太遠，都會引起較大的純滯后時間，工作中要盡量避免。3839圖2-21有、無純滯后的一階階躍響應曲線x為輸入量，y（t）、yτ（t）分別為無、有純滯后時的輸出量時或若無純滯后的對象特性可以用下述方程式描述（2-44）則有純滯后的對象特性可以用下述方程式描述（2-45）40一般是由于物料或能量的傳遞需要通過一定阻力而引起的。

舉例前面介紹過的兩個水槽串聯的二階對象將輸出量h2用y表示，輸入量Q1用x表示，則方程式可寫為假定輸入作用為階躍函數，其幅值為A。已知，二階常系數微分方程式的解是（2-46）（2-47）2.容量滯后由于對應的齊次方程式為其特征方程為求得特征根為故齊次方程式的通解為式中，C1、C2為決定于初始條件的待定系數。（2-48）（2-49）（2-50）4142式（2-46）的一個特解可以認為是穩定解，由于輸入x＝A，穩定時將式（2-51）及式（2-50）代入式（2-47）可得用初始條件y(0)=0，y(0)=0代入式（2-52）可分別解得圖2-22具有容量滯后對象的反應曲線（2-51）（2-52）（2-53）（2-54）將上述兩式代入式（2-52），可得

上式便是串聯水槽對象的階躍反應函數。由此式可知，在t=0時y（t）=0；在t=∞時，y（t）＝KA。y（t）是穩態值KA與兩項衰減指數函數的代數和。說明：輸入量在作階躍變化的瞬間，輸出量變化的速度等于零，以后隨著t的增加，變化速度慢慢增大，但當t大于某一個t1值后，變化速度又慢慢減小，直至t→∞時，變化速度減少為零。

（2-55）43圖2-23串聯水槽的反應曲線容量滯后時間T二階對象近似為是有滯后時間τ＝τh，時間常數為T的一階對象用一階對象的特性（是有滯后）來近似上述二階對象的方法

44圖2-24滯后時間τ示意圖

在容量滯后與純