河南省部分重點中學2023-2024學年高一上學期12月質量檢

測數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設集合M={aT,〃，一"，若OeM,則實數"2=（）

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

2.設aeR,則“a>-1”是“/>i”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.按從小到大順序排列的一組數據為：26,30,35,36,38,42,租,47,50,52,若這組數據的

第65百分位數比第40百分位數多8,則根=（）

A.43B.44C.45D.46

4.4知a=log30.8,6=3°s,c=0.8,則a,4c的大小關系為（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

5.近年來，“北斗”指路、“天宮”覽勝、“墨子”傳信、“嫦娥響月……中國航天碩果累累，

M

令國人備感自豪.這些航天器的發射中，都遵循“理想速度方程"：v=vln—,其中□是

om

理想速度（單位：m/s）,%是燃料燃燒時產生的噴氣速度（單位：m/s）,M是火箭起

飛時的總質量（單位：kg）,相是火箭自身的質量（單位：kg）.小婷同學所在社團向有

關部門申請，準備制作一個試驗火箭，得到批準后，她們利用的某民用燃料燃燒時產生

的噴氣速度為50m/s,火箭自身的質量為4kg,燃料的質量為5kg,在不計空氣阻力等

因素影響的理想狀態下發射，至燃料燃盡時，該試驗火箭的理想速度大約為（）

（ln2?0.7,ln3?l.l）

A.40m/sB.36m/sC.78m/sD.95m/s

6.已知函數〃工）=依+1+》-5,則方程〃尤）=0在下列哪個區間上必有實數根（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.不能確定

7.已知關于尤的一元二次不等式f+fec+cWO的解集為{X|24X43},則關于x的不等

式c/+Zzx+1<0的解集為（）

A.{x||<x<1}B.{x|2<x<3)

卜

C.{x|-3<x<-2}D.'gwxW.g

8.設偶函數〃x)在[0,2]上是增函數，且汽-2)=2,若對所有的xe[-2,2]及任意的

1,1]都滿足/一4,則/的取值范圍是()

A.[-1,3]B.(-1,1)

C.(―oo,—3]D[3,+°)D.[—3,3]

二、多選題

9.下列說法正確的是()

A.數據1,2,2,5,5的平均數與中位數相同

B.數據8,2,7,3,8,3,7,8,1的眾數為8

C.有甲、乙、丙三種個體按2：3：4的比例分層抽樣調查，若抽取丙的個體數為

20,則樣本容量為45

D.甲組數據的標準差為乙組數據為3,5,8,10,4,則這兩組數據中較穩定

的是乙組

10.在下列四組函數中，與g(x)不表示同一函數的是()

A./(x)=ln|x|,g(x)=|lnx|

B./(x)=，(x+l)2,g(x)=(Jx+l)2

C.〃x)=l,g(x)=x°

D.〃x)=2',g(x)=e.

11.己知函數一”;(\，若關于X的不等式[〃切2<4⑺恰有1個整數

[2%—x,xu

解，則實數〃的取值可以為()

A.-6B.-5C.1.5D.2.3

12.下列結論中正確的是()

A.若函數/(lnx)=x+3,且〃間=4,則根=0

B.若為奇函數，則/卜3)>/(1)的解集為(。,+8)

試卷第2頁，共4頁

C.設國表示不超過X的最大整數，如[45=4,則不等式印2_5國+6V0的解集

是{尤[2<x<4}

D.若函數>=ln|G?+x+4的定義域為R,則。的取值范圍是。■或

三、填空題

13.函數/(尤)=0^+ln(x+l)的定義域是

四、單空題

14.若x>0,則一一的最大值為____.

X+1

[b,a<b,/、

15.若定義運算。十。=、[則函數/(x)=e，十e-*的值域是_______.

[a,a>b,

16.已知/("=竺]在區間(F>,3)上是增函數，則。的取值范圍是

五、計算題

17.求值:

2i

?3

⑴(6+76)+325-2x3+-^2x43；

i

ln3

(2)e-log49.log278+lg2+lg50.

六、問答題

18.已知函數=-.

\X-5)

⑴求函數〃x)的值域；

⑵己知函數g(x)=/(x)ln(x+l)的一個零點為2,求函數g(x)的其余零點.

19.已知事函數〃司=(1—3”機在(0,+巧上單調遞減.

(1)求f(x)的解析式；

⑵若Vxe[l,2],竺之，求a的取值范圍.

七、應用題

20.我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節水方案，對居民用水情況進

行了調查.通過抽樣，獲得了某年200位居民家庭的月平均用水量(單位：噸)，將數據

按照［0,4),［4,8*8,12),［12,16),［16,20),［20,24］分成6組,制成了如圖所示的頻率分布

直方圖.

(1)求直方圖中優的值；

(2)該市決定設置議價收費標準〃，用水量低于〃的居民家庭按照“民用價”收費，不低于

〃的按照“商業價”收費，為保障有92%的居民能享受“民用價”，請設置該標準〃；

(3)以每組數據的中點值作為該組數據的代表，分別是看,孫孫與三，毛.規定“最佳穩定值”

x是這樣一個量：尤與各組代表值的差的平方和最小.依此規定，請求出無的值.

八、問答題

21.已知占,乙是一元二次方程(442+1卜2_(以+l)x+1=0的兩個不相等的實數根.

(1)若兩根同號，求實數上的取值范圍；

(2)求使得*++4的值為整數的整數上的值.

22.已知函數〃x)=lg近，g(x)=log2(ox+1).

⑴若函數y=l-g(x)在［，2］內有唯一零點，求a的取值范圍.

⑵設函數e(x)的最大值、最小值分別為m，記￡＞［0(尤)］設。=2,函數

0(x)=g(x)—log23當”^,10時，。［夕恒成立，求.

的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.B

【分析】根據元素與集合的關系得出兩種情況，再分別檢驗即得.

【詳解】由集合M={〃2-1,力/-1},HOeM,則機一1=0或蘇-1=0,

當機-1=0時，m=\,此時療一1=0,與元素互異性矛盾，舍去；

當“—1=0時，m=+l,當巾=-1時，M={-2,0}滿足OeM.故m=-1.

故選：B.

2.D

【分析】根據給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【詳解】由片>1,得4>1或4<一1,

因此“若。>-1,則/>1”是假命題，“若/>1,則。>-1”是假命題，

所以“a>-1”是“?2>1”的既不充分也不必要條件.

故選：D

3.C

【分析】根據數據百分位數的計算方法，列出方程，即可求解.

【詳解】由10x40%=4,得第40百分位數是第4個數據和第5個數據的平均值，為

次產=37,又由10x65%=6.5,得第65百分位數是第7個數據，為機，

因為這組數據的第65百分位數比第40百分位數多8,可得利=37+8=45.

故選：C.

4.D

【分析】根據指數函數與對數函數的圖象與性質，求得”,4c的取值范圍，即可求解.

【詳解】由指數函數的性質，可得6=3°8>3°=1,0<C=0.83<0.8°=1,

又由對數函數的性質，可得。=1。83。.8<1。831<0,

所以a<0<c<l<￡>,BPa<c<￡>.

故選：D.

5.A

【分析】根據題中條件確定V=4+5=9kg,m=4kg,vo=5Om/s,按公式直接運算即可.

答案第1頁，共10頁

【詳解】解：由于u=%ln—,其中Af=4+5=9kg,m=4kg,v=50m/s,

m0

Kv=50xln^^=50x(ln9-ln4)=50x2(ln3-ln2)?100x(1.1-0.7)=40(m/s).

故選：A.

6.B

【分析】由題意，易知'=111兌'=d,'=》-5在(0,+8)上都單調遞增，進而可判斷函數/⑺

的單調性，結合零點的存在性定理即可求解.

【詳解】易知函數y=ln無,￥=『1%-5在(0,+8)上都單調遞增,

所以/(x)=Inx+e'+x-5在(0,+8)上單調遞增，

X/(l)=0+e+l-5=e-4<0,/(2)=ln2+e2-3>0,

所以f⑴〃2)<0,又因為函數連續不間斷，由零點的存在性定理知，

函數小)在(1,2)內有零點，即方程=0在(1,2)必有實數根.

故選：B.

7.A

【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的對應關系求出參數，再解另一個不等式即可.

[2+3=—Z>

【詳解】由題設知方程/+"+0=0有兩根2和3,故由韋達定理得c、，則，=-5,c=6,

[2x3=c

Hlhhex2++1<0<=>6x2-5%+1<0,解得mAxW].

故選：A.

8.C

【分析】根據題意，轉化為「一機”620對任意的恒成立，令g(M=?T加—6,

列出不等式組，即可求解.

【詳解】因為偶函數”可在[0,2]上是增函數，且〃-2)=2,所以/(元)的最大值為2,

由對所有的龍目一2,2]及任意的me[-1,1]都滿足/(x)W〃_加一4,

貝U只需?一,加一422,即「一〃"一620對任意的〃ze[-1,1]恒成立，

/、7g(l)=廠_/_620

令g(〃z)=rr加一6,則滿足〈(,2<、八，解得讓3或t?3,

g(—1)=r+r-6>0

答案第2頁，共10頁

所以實數f的取值范圍是(-力,-3]u日,+力).

故選：C.

9.BCD

【分析】利用平均數與中位數的定義可判斷A；利用眾數的定義可判斷B；利用分層抽樣的

定義及抽樣比求解判斷C；利用方差的定義及意義可判斷D.

【詳解】對于A,平均數為1+2+：5+5=3,中位數為2,故A選項錯誤；

對于B,數據的眾數為8,故B選項正確；

對于C,設樣本容量為x,由題知°:，=',解得x=45,即樣本容量為45,故C選項

2+3+4x

正確；

對于D,乙組數據的平均數為-------------=6,方差為$2=--------------------=父=6.8,

又7>6.8,所以兩組數據中較穩定的是乙組，故D正確.

故選：BCD.

10.ABC

【分析】根據同一函數的概念，結合函數的定義域與對應法則，逐項判定，即可求解.

[詳解】對于A中，函數〃力=In岡的定義域為｛小30｝,而g⑴=|lnx|的定義域為｛x\x>0),

所以兩函數〃x),g(x)不是同一函數；

對于B中，函數〃x)=J(x+l)2的定義域為R,而g(x)=(而1)2的定義域為｛尤,2-1｝,

所以兩函數〃x),g(x)不表示同一函數；

對于C中，〃x)=l的定義域為R,而g(x)=x°的定義域為何戶。｝,

所以兩函數〃x),g(x)不是同一函數；

對于D中，函數兩函數的定義域與對應關系都相同，

所以兩函數〃x),g(x)是同一函數.

故選：ABC.

11.ABC

【分析】畫出圖象，不等式化為分。=0、。<0和。>0,三種情

答案第3頁，共10頁

況討論，結合圖象，即可求得。的取值范圍.

尤2—X,尤<0

【詳解】由函數/(無)=,畫出圖象，如圖所示,

2X-X2,X>0

又由不等式"(切2<4⑴，可得/⑺卜(x)—a]<0,

當4=0時，[/(■?)]"<0,此時不等式無解；

當a<。時，由—可得a<“x)<0,

若不等式恰有1個整數解，則整數解為3,

因為/⑶=一3,"4)=-8,可得—8〈a<—3；

當a>0時，由/(x)[/(x)-r]<0,可得。

若不等式恰有1個整數解，只需1<aV2.

綜上所述：實數。的取值范圍為[-8,-3)(1,2].

故選：ABC.

【分析】求得/(x)=e'+3,根據〃加)=4,可判定A正確；因為函數〃x)的單調性不確

定，可判定B錯誤；求得不等式的解集為29引<3,得到2Vx<4,可判定C錯誤；根據

題意，列出不等式組，求得。的范圍，可判定D正確.

【詳解】對于A中，由/(lnx)=x+3,可得/(力=1+3,又由“〃?)=4,解得加=0,所

以A正確；

對于B中，由為奇函數，但函數“X)的單調性不確定，所以B錯誤;

答案第4頁，共10頁

對于C中，由團2一5國+640,可得24團W3,貝|2Wx<4,

所以不等式㈤2—5國+6V0解集為{x|2Vx<4},所以C錯誤；

I(aW0

對于D中，由y=lnox+%+4的定義域為R,則滿足<1.2

11[A=l-4tz2<0

解得或4<一],所以D正確.

22

故選：AD.

13.(-1,2]

【解析】根據函數AM的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可.

【詳解】解：函數/(x)=J2-尤+/〃(x+l)中,

[2-x.O

丁+1>0，

解得-1<X,2,

所以一⑺的定義域是(T,2],

故答案為：(T,2].

14.-/0.5

2

x_1

【分析】化簡得到—=結合基本不等式，即可求解.

XH--

X

1—1FT

【詳解】因為尤>0,所以V+1J,又x+±Z2jx」=2,當且僅當x=l時等號成立，

X+—xVx

x

故)TT=二1一5,所以最大值為

X+—2

X

故答案為：g.

15.[l,+oo)

【分析】根據定義運算，寫出分段函數解析式，再分段求出函數值的范圍，最后取并集即得.

Q~Xx<0

【詳解】依題意，由e"<er,得xvO,由廿20一兀解得1之0,因此=</八，

e,x>0

當x<0時，一無>0,右"°=1,即函數/(刈的取值集合為(1,+00)；當xNO時，e*Ne°=l,即函

答案第5頁，共10頁

數/5)的取值集合為口,+8).

故函數/(X)的值域為[1,+8).

故答案為：U,+8).

【分析】先將分式函數用常數分離法轉化成簡分式，再根據函數的單調性即可求得參數范圍.

【詳解】由〃x)二竺里="1)+1+3—+匕網,

因為/(X)在區間(F,3)上是增函數，所以1+3。＜0,解得

故答案為：(-8,-]).

17.(1)3

(2)4

【分析】(1)根據指數塞的運算法則和運算性質，準確運算，即可求解;

(2)根據對數的運算法則和運算性質，準確運算，即可求解.

【詳解】(1)解：由指數幕的運算法則和運算性質，可得：

2

3/1\-313_2J_

(6+7T3)°+325-2x-+^2x43=1+(25)5-2x(2-3p+23x43

1212

=1+23-2X22+2^X23=1+8—8+2表=1+2=3，

(2)解：由對數的運算法則和運算性質，可得：

ln3

e-log49log278+lg2+lg50=3-log23-log32+IglOO=3-l+2=4.

18.(l)(-m,+oo)

(2)0,4

【分析】(1)根據塞函數的單調性可得函數/(%)在(-8,3)上單調遞增，在(3,+8)上單調遞

減，且1/＞。，即可求解函數的值域；

(1-3)

(2)由題意可得g⑵=。，解出H7,進而得函數g(“的解析式，令g(X)=。，解方程即可

求解.

答案第6頁，共10頁

【詳解】（1）易知事函數y=x"在（-8,0）上單調遞增，在（0,+與上單調遞減,

將函數y=x-2圖象向右平移3個長度單位可得y=。-3尸的圖象,

所以函數/（X）在（Y,3）上單調遞增，在（3,+8）上單調遞減,

又［三>°，所以即函數“X）的值域為（-〃Z,y）；

（%—

(2)g(x)=x+1),

因為函數g（x）的一個零點為2,所以（2,3）2=解得加=1?

所以8⑴二馬?

-1ln(x+l)

令g(x)=0,得7~T-l=0^1n(x+l)=0,解得x=0,2,4.

(x-3)

所以函數g（元）的其余零點為0,4.

19.⑴〃力=婷

(2)(-co,l]

【分析】（1）根據幕函數的定義和單調性列式求解即可；

（2）根據題意分離變量得到a<2'-工在［1,可恒成立，利用函數的單調性即可求解.

【詳解】（1）因為基函數/（*=（加-3）?/在（0,+動上單調遞減，所以

解得〃?=-2,所以“X）的解析式為〃力=尸.

（2）由竺可得則aV2'-L

XXX

因為〉=2，/=-,在［1,2］上單調遞增，

X

所以y=2,-1在［L2］上單調遞增，所以當x=l時，取得最小值1.

X

所以〃的取值范圍為（田,1］.

20.（1）0.0625

(2)19.2

答案第7頁，共10頁

(3)12

【分析】(1)根據每組小矩形的面積之和為1即可求解.

(2)由頻率分布直方圖求第p百分位數的計算公式即可求解.

(3)設x與各數據的差的平方和為y,由題意得

2

y—nx—+x2++無；)，利用二次函數性質即可求解.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖知，家庭月均用水量在[0,4)中的頻率為0.0125x4=0.05,

同理,在[4,8),[8,12),[12,16),[16,20),[20,24]中的頻率分別為0.1,4m,0.4,0.15,0.05.

由0.05+0.1+4機+0.4+0.15+0.05=1,解得m=0.0625；

(2)由(1)知，前4組的總頻率為0.05+0.1+0.25+0.4=0.8,

前5組的總頻率為0.8+0.15=0.95,所以及e(16,20),

所以根據百分位數的計算方法有。.8+(〃-16)x0.0375=0.92,解得〃=19.2；

(3)設x與各數據的差的平方和為九

貝!Jy=(了-為)2++(x-x?)-

由二次函數的性質知，當彳=工(占+%++x“)時，y取得最小值，

n

故x=一(玉+%2+尤3+*4+內+,%)=-x(2+6+10+14+18+22)=12.

66

21.⑴,>|

(2)1

【分析】(1)一元二次方程兩個不相等的實數根.則A>0,兩根同號則％%>0,解不等式

組可得；

(2)&+三+4變形為(%+%)+2,由韋達定理代入整理可得6+半二，由整數要求得

%占玉尤24《+1

8人-324左2+1,進而求解驗證左值可解.

答案第8頁，共10頁

x,x2=-z——>0,3

【詳解】(1)由題意得4k+1即女〉一,

A=(4^+l)2-4(4^2+l)>0,8

所以實數上的取值范圍為卜＞|，；

3

(2)由(1)知，當七〉三時，方程有兩個實數根，

O

f4左+11

可知%十%=八T52=八F

于是工+迤+