河北區2022-2023學年度第一學期期末高三年級質量檢測

數學

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.

第I卷1至3頁，第n卷4至8頁.

第I卷（選擇題共45分）

注意事項：

L答第I卷前，考生務必將自己的姓名、準考號、科目涂寫在答題卡上，并在規定位置粘貼

考試用條形碼.

2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案標號.答在試卷上的無效.

3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.

參考公式：

?如果事件A,B互斥,那么=P⑷+尸⑶

?如果事件A，5相互獨立，那么閂?七一：T；二'

?球的表面積公式s=4%出球的體積公式'其中R表示球的半徑

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合,5={2,3,4）C={1,2）則（）

A.B.c{-12.35D［1.2.3.4）

【答案】D

【解析】

【分析】由交集和并集定義直接求解即可.

［詳解］=5={2,3,4）iXnC）U5={1,2,3,4）

故選：D.

1

2.設R,則是?（X+1I（2X-1）＞0M的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據推出關系直接判斷結果即可.

【詳解】由（"1心xT）＞°得：X＜-1或

―，-

1

是“（x+luX-L的充分不必要條件.

故選：A.

3.已知球。為正三棱柱的外接球，正三棱柱，石。-445的底面邊長為1,且球。的表

31n

面積為3,則這個正三棱柱的體積為（）

書3j33/

A.4B.4c.2D.W3

【答案】B

【解析】

【分析】利用球的表面積公式可求得夫，根據正棱柱的外接球半徑滿足』可構造方程求得

正棱柱的高，代入棱柱體積公式可求得結果.

【詳解】設正三棱柱的高為“，球。的半徑為凡

5=w=—咫=衛

?.?球。的表面積3,解得：12,

?.?正三棱柱'喈0-44口的底面二45c是邊長為1的等邊三角形，

11

f*=XS.=

2sinn—3

J5c的外接圓半徑3,

j,1,131

..Jni3=r+-h=—+—力13=

43412,解得：入=3,

.r?,1..>/TR3J3

"*MC-4AC-S_R/=_x]x|x—x3=——

一■q.

故選：B.

4.某校將舉辦秋季體育文化節，為了解該校學生的身體狀況，抽取部分男生和女生的體重，將男生體重數

據整理后，作出了頻率分布直方圖，已知圖中從左到右前三個小組頻率之比為】23,第二小組頻數為

13,若全校男、女生比例為1V12,則全校抽取的學生人數為（）

A.100B.80C.45D.32

【答案】A

【解析】

【分析】設第一小組的頻率為x,進而根據頻率和為1求得'=01丫,進而根據頻率分布直方圖求解即

可.

【詳解】設第一小組的頻率為x,則由頻率分布直方圖，得1+二丁+口+00375-5+00125?5=1.

解得\=0125,第二小組的頻率為=025,

—=52

?.?第二小組頻數為13,抽取的男生人數為015

?全校男、女生比例為1312,

52+52X12=1Q0

:.全校抽取的學生人數為13

故選:A.

【答案】C

【解析】

【分析】利用函數的奇偶性，以及特殊點的函數值符號即可由排除法選出正確圖象.

所以函數一門A是奇函數，圖象關于原點對稱，故排除選項4D,

/田=0

因為當0<x<2r時，/(D=0,'

n5

X€~x-->0.cosx<0，八」vO

又因為，時，X，所以/⑶<u

e

xX-->0,CMX>0^所以故在區間的力與1軸有三個交點，故排除E.

故選：c.

=3*=m---a2

6.若？，且。b,則用=()

1

A.0B.

亞

C,加D.6

【答案】D

【解析】

【分析】根據給定條件，將指數式化成對數式，再借助換底公式及對數運算法則計算即得.

A-=3*=ma=iogjm=-logjm

【詳解】因為2,于是得7,°=logjm,

1_1=2

又因為ab,則有T°g.二一3=L即bg.6=一2，因此，切今=6,而僧>0,解得

m=----

6,

所以

故選：D

x3yJ

<?-r-R=l[a>Qb>0|j,jj

7.設雙曲線h夕的焦距為「。，若°力,c成等差數列，則雙曲線的漸近線方程

為（）

A.r=±J5.vB.m

y=士￡

C.D「

【答案】A

【解析】

b_

【分析】根據等差數列定義和雙曲線）上了關系可求得。，由此可得漸近線方程.

【詳解】??'/?川?）成等差數列，少=/+）,又

.2=JT

一?'=2aW,gp&3=2a3,a,

雙曲線的漸近線方程為：丁二士0L

故選：A.

8.將三顆骰子各擲一次，記事件H=”三個點數都不同"，B=”至少出現一個6點”，則條件概率

尸（小?分別等于（）

60.,6020,,20

A.91,TB.T,91c.91,-D.T,91

【答案】B

【解析】

【分析】由古典概型概率公式分別求得尸（/、尸13）,尸（至），代入條件概率公式求解即可.

【詳解】由題意知：事件,45=”三個點數都不同且至少出現一個6點”，

A'P056‘一5’91

?"⑷=十=水”尸⑻:6'216,

55

??、P(AB\口1?-P(AB］夜60

P5L4=――^=空=-P=――-=-^-=—

'1'P(A)52「'p⑻9191

9,216

故選：B.

/（x）=—sin（ox+—）（<D>0）

9.設函數.23的最小正周期為力，則下列說法正確的是（）

zr

A.函數門'）的圖象關于直線’-3對稱

B.函數C7的圖象關于點1--對稱

（-2&

C.函數73在K'上單調遞減

5”

D.將函數/（'）的圖象向右平移個單位，得到的新函數是偶函數

【答案】D

【解析】

【分析】根據三角函數的最小正周期，求得②的值，也即求得函數的解析式，然后根據三角函數的圖象

與性質，對四個選項進行逐一排除.

【詳解】依題意得”,解得所2,所以…■噸"一于

=—sinn=0X_2L?(、x-2L

,故3是函數的零點，所以A選項錯誤.當.12

、兀■兀、,冗1兀

Jx—+—=sn—=Ix=一八

［,故12是函數?'的對稱軸，所以B選項錯誤.由上述分析可知,

K5/r

當一】2時，函數取得最大值，故c選項錯誤.函數''"的圖象向右平移12個單位，為

15nYft11.Cn\1、

-stnJx--+—=—?nJx—=—cosJx

2LV3J2V2J2為偶函數，故D選項正確.

【點睛】本小題主要考查三角函數的周期性，考查三角函數的零點、對稱軸、單調區間以及三角函數圖象

變換等知識，綜合性較強，屬于中檔題.三角函數的零點或者說對稱中心的關鍵點是對應的函數值為零，

三角函數對稱軸位置的函數值為最大值或者最小值的位置.

第II卷

注意事項:

1.答卷前將密封線內的項目填寫清楚.

2.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答在答題紙上.

3.本卷共11小題,共105分.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙上.

2丁】

io.1是虛數單位，復數的虛部為.

【答案】2

【解析】

【分析】利用復數除法運算和虛部定義可直接求得結果.

2+112+i)U+iIl+3i13.c.j2

【詳解】1-1,IT的虛部為

3

故答案為：2.

11.二項式IV7展開式中常數項為.

【答案】240

【解析】

【分析】根據二項式展開式的通項公式，令其中1的指數等于0,即可得出r,再代入得出答案.

【詳解】二項式的通項公式為

令】2-3r=0,解得r=4,

則展開式中常數項為,

故答案為：240

12.已知直線，過點P°J,且與圓°：i+j'=3相交于48兩點，設前?力+赤，若點c在圓°

上，則直線，的傾斜角為.

【答案】30。或150°

【解析】

___________|8|應立

【分析】由=+可以判斷四邊形。月08為菱形，點。在圓。上，則22,轉化

走

成。點到直線】'=匕+1的距離為2,即可求出答案.

【詳解】因為質而，則四邊形04CB為菱形，所以OC_L兒8.

「呀的=3

設。為垂足，因為點°在圓。上，則】-.

^=坐入1卜=±叵

設直線，?的方程為1,由&：+1,，得3,即一3,所以直線，'的傾斜角為30。或

150°.

故答案為：30。或150。.

13.已知a>0,b>Q,且a+*>+ab=9,則a+力的最小值為.

【答案】6

【解析】

ab--3ab=9-ia+3i>)

【分析】將已知等式化為3,利用基本不等式可構造不等式求得結果.

【詳解】由門+外+必=9得：而=9-(a+"l又a>0,b>0,

-3ab=9-(a+3d)S——--

，I~J(當且僅當a=36時取等號)，

(a+如+12(a+")-108N0,解得：a+3ds-18(舍)或a+?N6,

當。="=3時，<3+至>取得最小值6.

故答案為：6.

ZB4C--

14.如圖所示，在二鉆C中，.48=4,,4(7=3,3,尸是BC上一點，且滿足

AP-mAC+—AB——

,則實數加=；巫CB=.

【解析】

2?—1—2—

□CD”+：=1)n=—AP=—>1C+—AB

【分析】由于尸三點共線，所以，得3,所以由于4B=4,

4。=3/率°=7，所以將福旅作為基底，而而=無一冷，所以

APCB=|i^4C+^A5|（AB-~A^）=^AB--~ABAC--AC'

，代值可得結果

【詳解】AC,Q的終點共線，

2*

e+—11m=一

:.33,

1_，_

AP--AC+^AB

又?/C5=-43-AC,

APCB=\-AC+^AB\（AB-AC）=^AB：--ABAC--AC2

V3J333,①

,：AB=4,AC=>,3,

--3.--2八AB=4x3xcos。=6

:.AB=16,<C=9,3

―17

APCB^—

代入①式，計算得：3.

17

故答案為：3,3.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查了向量共線的應用，平面向量基本定理的應用以及數量積的計算，屬于典

型的向量綜合題，難度適中，解題的關鍵是將,花?4。作為基底，把兒”用基底表示出來

2x-x,.xi0

，(x)=<]

''—x<0

15.己知函數，若函數gtF=l」T'恰有三個零點，則實數次的取值范圍

是.

—,0

【答案】14」

【解析】

【分析】將零點問題轉化為函數尸=1/('||的與'二'1一所的交點個數問題，畫出兩函數的圖象，利用導

函數求出當直線=、一"與】‘=1I相切時的兩的值，數形結合求出實數不的取值范圍.

【詳解】作出函數的與、一‘"圖象如圖：

故當e<-2時，函數F=x-m與J=|/('恰有三個交點,

故g⑴=|/3-\+〃：恰有三個零點；

當】?=》-州為J?久-/(牌(0.1))的切線時，即r'=2-2x=l,解得“'I,

令當.v=.\_巾過原點時，切=0,

1八

——<”140I/*/J

所以由圖象可知：當4時，滿足函數】'='-僧與—s一一T?恰有三個交點,

故g(x)=|/⑴L\+~恰有三個零點；

(-?.-2)u[--.0

綜上加的取值范圍是v4J.

(-oo,-2)u|-l,0

故答案為：V4J

三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

._LCCS

16.在一姆0中，內角A8,L所對的邊分別為a.b.c,已知＜；=7,"=3,14.

(1)求邊c的值和一虻「的面積；

sinf2C--l

(2)求'°，的直

71

⑵98

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理可求得c,根據同角三角函數關系求得nnC,代入三角形面積公式即可求得

結果；

(2)利用二倍角公式可求得外11，、"")。，利用兩角和差正弦公式可求得結果.

【小問1詳解】

1+6,-2abcosC=49+9-42x—=t25

由余弦定理得：14，解得：c=5；

?11「50.01i一17v25J515群

.co$C=訝c/on).燦0=廿??＞、"dsinC--x7*3x—=

2144.

【小問2詳解】

55G

sin2C=2smCcosC=-―-cos2C=2co^0-y=—

由⑴得:98,98,

sin[2C-A=sin2Ccos--cos2Can-=23171

---x-=--

L6)6698298298.

17.如圖，FQ垂直于梯形/BCD所在平面，N4DC=N￡AD=90",戶為H4的中點，PD=6,

AB=AD=—CD=1

,四邊形五為矩形.

P._______________NE

AB

(1)求證：＜0〃平面口E尸；

(2)求平面-430D與平面￡。？的夾角的大小；

(3)求點尸到平面3仁戶的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵45'

(3)4

【解析】

【分析】(1)設CPPlDEuG,由三角形中位線性質可得由線面平行判定定理可得結論;

(2)以D為坐標原點可建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法可求得結果；

(3)利用點到平面距離的向量求法可求得結果.

【小問1詳解】

設。戶口09=7,連接網3,

?.?四邊形PDCP為矩形，：G為尸0中點，又尸為R4中點，;

又Ru平面DM,dCu平面平面DM.

【小問2詳解】

以D為坐標原點，DA。匚匚尸正方向為工卜二軸，可建立如圖所示空間直角坐標系,

M5(1,1,0)C(0,2,0)尸(0。右)而=(-l,L0)詼=(0.-2.?

設平面3CP的法向量

BC5=一升,=0

‘不強Tv+后叫令『1,解得：X=l,一3,

1?二軸,平面48,平面.08的一個法向量E=（60/I,

--IP^lM

HH-,則平面?西CD與平面3cp的夾角為45二

【小問3詳解】

尸"kp（ooV21PF~

由⑵知：<--人口VMV-J,<--）,

由平面3CP的法向量”=（LL01,

八%LL

,點尸到平面BCP的距離H4.

18.已知數列值7是遞增口等比數列，g=5且a「a尸26.

（1）求數列1°J的通項公式；

（2）求數列?的前“項和I.

【答案］（i）&=y+i

^=（n-l|2-*l+i-+^+2

（2）

【解析】

【分析】（1）根據題意列出方程求出;4-D公比可得;

（2）根據錯位相減法及分組求和即可得解.

【小問1詳解】

設數列A7的公比為q,4,4T則％=2+1.

由g=5得4=4,由%+a.=二6得U+"=24,

所以"”/）=?4,解得《=?或q=_3（舍去），

所以。融2=八"=?

所以數列［4；的通項公式為4=y+L

【小問2詳解】

由條件知肛="丁+〃，設4=】x"2xy+3xp+…+足?

則？4.=k2'+：^：!3+3）（丁++5-1）*丁+力乂2“】

將以上兩式相減得一兒=二上：+丫++2,-nx2*1=2(2*-l)-nx尸=(1-?)出

所以4=(”7)尸+?

5=1+2+3++”」-----i

設2

一..n3n

2=4+3=57)尸+“i'v+

則222

19.已知橢圓薩川點噸右）,且離心率’邛，歹為橢圓c的左焦點.

（1）求橢圓c的方程；

（2）設點7'-'巾1,過點尸的直線/交橢圓C于P,。兩點，TF連接OT與PQ交于點

①若求I&L

四

②求四QI的值.

+=1

【答案】（1）6

6.

（2）①5；②1

【解析】

【分析】（1）根據題意列式求0上1,即可得橢圓方程；（2）①求直線）的方程，聯立方程結合弦長公

式運算求解；②求直線；的方程，聯立方程運算韋達定理說明點》為線段改'的中點，注意分類討論

m=0和桁=0

【小問1詳解】

6=7?

c=2

b=W

t3+?

由題意可得,解得a-布

xy.

橢圓c的方程為6

【小問2詳解】

①當m?Q時，即7（-3,灼,尸T.0）,直線7F的斜率為-3-（-2）

???直線，的斜率為2,則直線，的方程.

,m-0

-&7=----：*=一切

②尸(-2.0),則直線廳的斜率為

網_l

當力=0時，則直線/與x軸垂直，點X即為點R則尸口；

,1