初中PAGE1試卷2023年廣東省深圳市中考數學一~三模試題匯編：函數解答題（原卷版）1.（2023年廣東省深圳市龍華區中考一模）【探究函數的圖象與性質】（1）函數的自變量x的取值范圍是；（2）下列四個函數圖象中，函數的圖象大致是；（3）對于函數，求當時，y的取值范圍．請將下列的求解過程補充完整．解：∵，∴______．∵，∴____．【拓展說明】（4）若函數，求y的取值范圍．2.（2023年廣東省深圳市福田區中考二模）如圖，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點．（1）求該拋物線的表達式；（2）點E是線段的中點，連接并延長與拋物線交于點D，求點D的坐標．3.（2023年廣東省深圳市坪山區中考二模數學）在平面直角坐標系中，拋物線經過點，且該拋物線的頂點在直線上．（1）填空：___________，___________；（2）將拋物線沿直線平移，求平移后所得拋物線與軸交點縱坐標的最大值．4.（2023年廣東省深圳市南山區中考三模）如圖，拋物線經過點，點，且．（1）求拋物線表達式；（2）如圖，點是拋物線的頂點，求的面積．5.（2023年廣東省深圳市寶安區中考三模）如圖．在一次足球比賽中，守門員在距地面1米高的P處大力開球，一運動員在離守門員6米的A處發現球在自己頭上的正上方距離地面4米處達到最高點Q，球落到地面B處后又一次彈起．已知足球在空中的運行軌跡是一條拋物線，在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度為1米．（1）求足球第一次落地之前的運動路線的函數解析式及第一次落地點B與守門員（點O）的距離；（2）運動員（點A）要搶到第二個落點C，他應再向前跑多少米？（假設點O，A，B，C在同一條直線上，結果保留根號）6.（2023年廣東省深圳市寶安區中考二模）新定義：若函數圖象恒過點，我們稱為該函數的“永恒點”．如：一次函數，無論值如何變化，該函數圖象恒過點，則點稱為這個函數的“永恒點”．【初步理解】一次函數的定點的坐標是__________；【理解應用】二次函數落在軸負半軸的定點的坐標是__________，落在軸正半軸的定點的坐標是__________；【知識遷移】點為拋物線的頂點，設點到直線的距離為，點到直線的距離為，請問是否為定值？如果是，請求出的值；如果不是，請說明理由．7.（2023年廣東省深圳市南山區中考一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與軸交于點．圖1備用圖（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，是上方拋物線上一點，連接交線段于點，若，求點的坐標；（3）拋物線上是否存在點使得，如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由．8.（2023年廣東省深圳市龍華區中考二模）【定義】若拋物線與一水平直線交于兩點，我們把這兩點間線段的長稱為拋物線關于這條直線的跨徑，拋物線的頂點到該直線的距離稱為拋物線關于這條直線的矢高，矢高與跨徑的比值稱為拋物線關于這條直線的矢跨比．如圖1，拋物線的頂點為，軸于點，它與軸交于點，，則的長為拋物線關于軸的跨徑，的長為拋物線關于軸的矢高，的值為拋物線關于軸的矢跨比．【特例】如圖2，已知拋物線與軸交于點，（點在點右側）；①拋物線關于軸的矢高是______，跨徑是______，矢跨比是______；②有一拋物線經過點，與拋物線開口方向與大小一樣，且矢高是拋物線關于軸的矢高的，求它關于軸的矢跨比；【推廣】結合拋物線的平移規律可以發現，兩條開口方向與大小一樣的拋物線，若第一條拋物線的矢高是第二條拋物線關于同一直線的矢高的（）倍，則第一條拋物線的跨徑是第二條拋物線關于同一直線的跨徑的______倍（用含的代數式表示）；【應用】如圖3是某地一座三拱橋梁建筑示意圖，其中主跨與邊跨的拱軸線為開口方向與大小一樣的拋物線，它們關于水平鋼梁所在直線的跨徑分別為420米與280米，已知主跨的矢跨比為，則邊跨的矢跨比是______．9.（2023年廣東省深圳市坪山區中考一模）在平面直角坐標系中，若兩點的橫坐標不相等，縱坐標互為相反數，則稱這兩點關于x軸斜對稱，其中一點叫做另一點關于x軸的斜對稱點．如：點，關于x軸斜對稱，在平面直角坐標系中，點A的坐標為．（1）下列各點中，與點A關于x軸斜對稱的點是________（只填序號）；①，②，③，④．（2）若點A關于x軸的斜對稱點B恰好落在直線上，的面積為3，求k的值；（3）拋物線上恰有兩個點M、N與點A關于x軸斜對稱，拋物線的頂點為D，且為等腰直角三角形，則b的值為________．10.（2023年廣東省深圳市鹽田區中考二模）已知拋物線．（1）求拋物線的頂點坐標；（2）若，當時，求y的最大值和最小值；（3）若拋物線與直線始終有交點，求a的取值范圍．

2023年廣東省深圳市中考數學一~三模試題匯編：函數解答題（解析版）1.（2023年廣東省深圳市龍華區中考一模）【探究函數的圖象與性質】（1）函數的自變量x的取值范圍是；（2）下列四個函數圖象中，函數的圖象大致是；（3）對于函數，求當時，y的取值范圍．請將下列的求解過程補充完整．解：∵，∴______．∵，∴____．【拓展說明】（4）若函數，求y的取值范圍．【答案】（1）（2）C（3），（4）【解析】【分析】（1）題目中的函數解析式可以直接寫出x取值范圍；（2）根據x的取值范圍可以判斷y的正負，從可以解答本題；（3）根據題目中的式子，可以把未填寫的補充完整；（4）仿照（3）中的計算過程可以求得y的取值范圍．【小問1詳解】解：∵，∴，故答案為：；【小問2詳解】解：∵函數，∴當時，，當時，，故選：C．【小問3詳解】解：∵，∴．∵，∴．故答案為：，；【小問4詳解】解：∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查函數的圖象與性質、完全平方公式和二次根式的靈活運用、平方式的非負性、理解題意，會根據函數解析式判斷函數的性質和圖象，會利用類比的方法解決問題是解答的關鍵．2.（2023年廣東省深圳市福田區中考二模）如圖，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點．（1）求該拋物線的表達式；（2）點E是線段的中點，連接并延長與拋物線交于點D，求點D的坐標．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把A，坐標分別代入解析式，用待定系數法求函數解析式即可；（2）令，解方程求出的坐標，再根據中點坐標公式求出點的坐標，用待定系數法求出直線的解析式，再聯立直線和拋物線解析式，解方程組求出點的坐標即可．【小問1詳解】解：拋物線與軸交于點，與軸交于點，，解得，該拋物線的表達式為；【小問2詳解】解：令，則，解得，，，是的中點，，設直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，聯立方程組，解得或，．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點，中點坐標公式，直線和拋物線的交點等知識，關鍵是求出拋物線解析式．3.（2023年廣東省深圳市坪山區中考二模數學）在平面直角坐標系中，拋物線經過點，且該拋物線的頂點在直線上．（1）填空：___________，___________；（2）將拋物線沿直線平移，求平移后所得拋物線與軸交點縱坐標的最大值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）將點代入拋物線的解析式即可求出的值；根據拋物線解析式可以確定頂點的坐標，將其代入直線解析式即可求出；（2）根據平移的特點可設拋物線的解析式為，表示出頂點坐標并將其代入到直線解析式，發現是的二次函數，根據二次函數的特點求出的最大值，即求出平移后拋物線與軸交點的最大值．【小問1詳解】解：將點代入得，，解得，拋物線解析式為：，頂點坐標為：，將代入得：，解得，∴，．故答案為：；1．【小問2詳解】解：由（1）知拋物線解析式為，可設平移后的拋物線的解析式為，其頂點坐標為，∵頂點仍在直線上，∴，∴，∵拋物線與y軸交點的縱坐標為q，∴，∵，∴時平移后的拋物線與軸交點的縱坐標的最大值為．【點睛】本題二次函數屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質和平移，一次函數的性質，根據二次函數平移的特點設拋物線解析式并熟練掌握所學知識去計算是解題的關鍵．4.（2023年廣東省深圳市南山區中考三模）如圖，拋物線經過點，點，且．（1）求拋物線表達式；（2）如圖，點是拋物線的頂點，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據已知得出點，進而待定系數法求解析式即可求解．（2）根據解析式化為頂點式求得，待定系數法求得直線的解析式，過點作軸于點，交于點，則，進而根據三角形的面積公式即可求解．【小問1詳解】解：∵拋物線經過點，點，且．∴，即，設拋物線解析式為，將代入得，解得：，∴拋物線解析式為【小問2詳解】解：∵，∴,如圖所示，過點作軸于點，交于點，設直線的解析式為，將代入得，解得：，∴直線的解析式為，當時，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，面積問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．5.（2023年廣東省深圳市寶安區中考三模）如圖．在一次足球比賽中，守門員在距地面1米高的P處大力開球，一運動員在離守門員6米的A處發現球在自己頭上的正上方距離地面4米處達到最高點Q，球落到地面B處后又一次彈起．已知足球在空中的運行軌跡是一條拋物線，在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度為1米．（1）求足球第一次落地之前的運動路線的函數解析式及第一次落地點B與守門員（點O）的距離；（2）運動員（點A）要搶到第二個落點C，他應再向前跑多少米？（假設點O，A，B，C在同一條直線上，結果保留根號）【答案】（1）；米（2）米【解析】【分析】（1）由條件可以得出，設拋物線的解析式為，由待定系數法求出其解即可；當時代入解析式，求出x的值即可得第一次落地點B和守門員（點O)的距離；（2）設第二次拋物線的頂點坐標為，拋物線的解析為，求出解析式，就可以求出OC的值，進而得出結論．【小問1詳解】解：設足球第一次落地之前的運動路線的函數表達式為，根據其頂點為，過點得，解得：，∴．當時，，解得：（舍去）或，∴足球第一次落地之前的運動路線的函數表達式為，第一次落地點B和守門員（點O)的距離為米；【小問2詳解】設第一次落地之后的運動路線的函數表達式為，由題意可知：，∴解得：或（舍去），∴．當時，．解得：或（舍去）．∴運動員（點A）要搶到第二個落點C的距離為：（米）．∴他應再向前跑米．【點睛】本題考查了運用頂點式及待定系數法求二次函數的解析式的運用，由函數值求自變量的值的運用，二次函數的性質的運用，解答時求出函數的解析式是解題的關鍵．6.（2023年廣東省深圳市寶安區中考二模）新定義：若函數圖象恒過點，我們稱為該函數的“永恒點”．如：一次函數，無論值如何變化，該函數圖象恒過點，則點稱為這個函數的“永恒點”．【初步理解】一次函數的定點的坐標是__________；【理解應用】二次函數落在軸負半軸的定點的坐標是__________，落在軸正半軸的定點的坐標是__________；【知識遷移】點為拋物線的頂點，設點到直線的距離為，點到直線的距離為，請問是否為定值？如果是，請求出的值；如果不是，請說明理由．【答案】【初步理解】；【理解應用】，；【知識遷移】是，２【解析】【分析】【初步理解】解析式變形為，求解即可;【理解應用】由二次函數變形為，求解即可;【知識遷移】由題意可得：，，作輔助線如解析圖，則，，，，，，構建相似三角形，找出比例關系即可；【詳解】解：【初步理解】由一次函數變形為，，當時，無論值如何變化，故一次函數必過一定點．故答案為：．【理解應用】由二次函數變形為，，當時，無論值如何變化，當時，無論值如何變化，故二次函數必過定點，．所以二次函數落在軸負半軸的定點的坐標是，落在軸正半軸的定點的坐標是；故答案為：，．【知識遷移】由題意得∴，由上一小題得：，作軸交直線于點，作軸交直線于點，則，，，分別過點、作直線的垂線，垂足為、，則，，，，，∵，，即【點睛】本題主要考查了恒過定點的直線，拋物線以及相似三角形．本題主要理解新定義，構建相似三角形解題，有一定的難度．7.（2023年廣東省深圳市南山區中考一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與軸交于點．圖1備用圖（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，是上方拋物線上一點，連接交線段于點，若，求點的坐標；（3）拋物線上是否存在點使得，如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）點的坐標為或（3）存在，點的坐標為或【解析】【分析】（1）運用待定系數法，將，代入，即可求得拋物線的解析式；（2）先求出直線的解析式，設，過點作軸于點，過點作軸于點，易得，根據相似三角形的性質用含的式子表示點的坐標，再由點也在直線上，得到關于的方程，解方程即可；（3）分情況討論：①當點是拋物線上與點對稱的點時，②當時，分別求得點的坐標．【小問1詳解】解：把，代入，得，解得，拋物線的解析式為；【小問2詳解】解：拋物線與軸交于點，，設直線的解析式為，把，代入，得，解得，直線的解析式為，設，過點作軸于點，過點作軸于點，，，，，，即，，，，又點在直線上，，解得或，當時，，即點的坐標為，當時，，即點的坐標為；【小問3詳解】解：存在點使得，如圖，①當點是拋物線上與點對稱的點時，則有，點關于對稱軸的對稱點坐標為，；②當時，則有，直線的解析式，直線的解析式一次項系數為，設直線的解析式為，把代入，得，解得，直線的解析式為，聯立，解得，（舍去），，綜上，存在點使得，點的坐標為或．【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了待定系數法求函數解析式，相似三角形的判定和性質，直線與拋物線的交點，互相平行的兩直線的關系，熟練掌握二次函數圖象和性質，靈活運用方程思想和分類討論思想是解題的關鍵．8.（2023年廣東省深圳市龍華區中考二模）【定義】若拋物線與一水平直線交于兩點，我們把這兩點間線段的長稱為拋物線關于這條直線的跨徑，拋物線的頂點到該直線的距離稱為拋物線關于這條直線的矢高，矢高與跨徑的比值稱為拋物線關于這條直線的矢跨比．如圖1，拋物線的頂點為，軸于點，它與軸交于點，，則的長為拋物線關于軸的跨徑，的長為拋物線關于軸的矢高，的值為拋物線關于軸的矢跨比．【特例】如圖2，已知拋物線與軸交于點，（點在點右側）；①拋物線關于軸的矢高是______，跨徑是______，矢跨比是______；②有一拋物線經過點，與拋物線開口方向與大小一樣，且矢高是拋物線關于軸的矢高的，求它關于軸的矢跨比；【推廣】結合拋物線的平移規律可以發現，兩條開口方向與大小一樣的拋物線，若第一條拋物線的矢高是第二條拋物線關于同一直線的矢高的（）倍，則第一條拋物線的跨徑是第二條拋物線關于同一直線的跨徑的______倍（用含的代數式表示）；【應用】如圖3是某地一座三拱橋梁建筑示意圖，其中主跨與邊跨的拱軸線為開口方向與大小一樣的拋物線，它們關于水平鋼梁所在直線的跨徑分別為420米與280米，已知主跨的矢跨比為，則邊跨的矢跨比是______．【答案】【特例】①4；4；1；②；【推廣】；【應用】【解析】【分析】①根據矢高，跨徑，矢跨比的定義，即可求解；②根據題意可設該拋物線解析式為，可求出該拋物線與x軸的另一個交點為，即可求解；【推廣】設第二條拋物線的解析式為，第一條拋物線沿x軸向左平移h個單位得到第二條拋物線，其中，可得第一條拋物線的解析式為，再分別求出兩拋物線的跨徑，即可求解；【應用】中的結論可得，從而得到邊跨的矢高，即可求解．【詳解】①∵拋物線的頂點坐標為，∴拋物線關于軸矢高是4，當時，，解得：，∴點，∴跨徑是，∴矢跨比是；故答案為：4；4；1②∵拋物線經過點的矢高是拋物線關于軸的矢高的，∴拋物線經過點的矢高是，∵與拋物線開口方向與大小一樣，∴可設該拋物線解析式為，把點代入得：，解得：（舍去）或3，∴該拋物線解析式為，當時，，解得：或2，∴該拋物線與x軸的另一個交點為，∴該拋物線的跨徑是，∴它關于軸的矢跨比是；【推廣】設第二條拋物線的解析式為，第一條拋物線沿x軸向左平移h個單位得到第二條拋物線，其中，∴第一條拋物線的解析式為，對于，頂點坐標為，當時，，∴第二條拋物線的跨徑是，對于，當時，，∴第一條拋物線的跨徑是，∵，∴第一條拋物線的跨徑是第二條拋物線關于同一直線的跨徑的倍；故答案為：【應用】∵主跨的矢跨比為，主跨的關于水平鋼梁所在直線的跨徑為420米，∴主跨的矢高是米，根據題意得：，解得：，∴主跨的矢高是邊跨矢高的倍，∴邊跨的矢高是米，∴邊跨的矢跨比是．故答案為：【點睛】本題主要考查了二次函數的實際應用，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵9.（2023年廣東省深圳市坪山區中考一模）在平面直角坐標系中，若兩點的橫坐標不相等，縱坐標互為相反數，則稱這兩點關于x軸斜對稱，其中一點叫做另一點關于x軸的斜對稱點．如：點，關于x軸斜對稱，在平面直角坐標系中，點A的坐標為．（1）下列各點中，與點A關于x軸斜對稱的點是________（只填序號）；①，②，③，④．（2）若點A關于x軸的斜對稱點B恰好落在直線上，的面積為3，求k的值；（3）拋物線上恰有兩個點M、N與點A關于x軸斜對稱，拋物線的頂點為D，且為等腰直角三角形，則b的值為________．【答案】（1）①④（2）或（3）【解析】【分析】（1）根據關于x軸斜對稱的定義進行逐一判斷即可；（2）根據關于x軸縱對稱的點的定義，設，如圖所示，設與x軸相交于點C，根據三角形面積公式求出，再分點C在x軸正半軸和在x軸負半軸兩種情況求出直線的解析式，進而求出點B的坐標，再把點B的坐標代入到直線中進行求解即可；（3）根據成縱對稱的點的定義