2太陽與行星間的引力知識點一太陽對行星的引力行星繞太陽做近似勻速圓周運動時，需要的向心力是由太陽對行星的引力提供的，設行星的質量為m，速度為v，行星到太陽的距離為r，則行星繞太陽做勻速圓周運動需要的向心力F＝eq\f(mv2,r).F∝eq\f(m,r2)表明：太陽對不同行星的引力，與行星的質量成正比，與行星與太陽間距離的二次方成反比．行星繞太陽運動的軌跡是橢圓，本節乃至本章均把行星的運動視為勻速圓周運動，這樣做是否違背了客觀事實？提示：建立理想化物理模型的目的是簡化對問題的分析過程，降低問題的難度．由于太陽系中行星繞太陽做橢圓運動的橢圓軌道的兩個焦點靠得很近，橢圓非常接近于圓，因此在現階段只要沒有特殊說明，我們就將天體的運動看成是勻速圓周運動．知識點二行星對太陽的引力太陽對行星的引力和行星對太陽的引力大小相等，方向相反，是作用力與反作用力．根據牛頓第三定律有行星對太陽的引力F′滿足：F′∝eq\f(M,r2).知識點三太陽與行星間的引力F＝Geq\f(Mm,r2)中，G是比例常數，與太陽、行星都沒有關系，M是太陽質量，m是行星質量，r是太陽與行星之間的距離．在推導太陽與行星間的引力表達式時，是否需要考慮太陽與行星的形狀和大小？提示：不需要考慮太陽與行星的形狀和大小，因為行星及太陽的大小與行星和太陽間的距離相比可以忽略，所以在處理相關問題時可以把行星與太陽看做質點．考點一太陽對行星的引力(1)將行星繞太陽做橢圓運動簡化為勻速圓周運動，則行星做勻速圓周運動的向心力由太陽對行星的引力來提供．(2)設行星質量為m，運動線速度為v，行星到太陽的距離為r，行星繞太陽運動的周期為T，太陽的質量為M，由勻速圓周運動的規律可知向心力公式F＝meq\f(v2,r)①，又v＝eq\f(2πr,T)②，由①②解得F＝eq\f(4π2mr,T2)③，又由開普勒第三定律得T2＝eq\f(r3,k)④，由③④解得F＝4π2k·eq\f(m,r2)，即F∝eq\f(m,r2).表明：太陽對不同行星的引力，與行星的質量m成正比，與行星和太陽間距離r的二次方成反比．【例1】設地球E(質量為M)是沿圓軌道繞太陽S運動的，當地球運動到位置P時，有一艘宇宙飛船(質量為m)在太陽和地球連線上的A處，從靜止出發，在恒定的推進力F的作用下，沿AP方向做勻加速運動，如圖所示，兩年后到達P處(飛船與地球之間的引力不計)，再過半年到達Q處．根據以上條件，求地球與太陽之間的引力．解答本題的關鍵是知道太陽與行星之間的引力提供行星做圓周運動的向心力，這也是解決天體運動問題的一個重要切入點．【解析】設半年時間為t，地球繞太陽運行的半徑為R，則飛船由A運動到P點的時間為4t，到達Q點的時間為5t，P、Q兩點的距離為2R，根據牛頓第二定律和運動學公式，得2R＝eq\f(1,2)×eq\f(F,m)(5t)2－eq\f(1,2)×eq\f(F,m)(4t)2＝eq\f(9Ft2,2m)地球繞太陽運行的周期為一年，即T＝2t，其向心力由地球與太陽間的引力提供，所以F引＝F向＝MReq\f(4π2,T2)＝eq\f(4π2MR,2t2)＝eq\f(π2MR,t2)，解得F引＝eq\f(9π2MF,4m).【答案】eq\f(9π2MF,4m)總結提能(1)行星繞太陽做圓周運動時，所需向心力由太陽對行星的引力來提供．(2)太陽對行星的引力與行星的質量和行星到太陽間的距離有關．(多選)下列關于太陽對行星的引力的說法中，正確的是(AD)A．太陽對行星的引力提供行星做勻速圓周運動的向心力B．太陽對行星引力的大小與太陽的質量成正比，與行星和太陽間的距離的平方成反比C．太陽對行星的引力是由實驗得出的D．太陽對行星的引力規律是由開普勒行星運動規律和行星繞太陽做勻速圓周運動的規律推導出來的解析：太陽對行星的引力提供行星做勻速圓周運動的向心力，其大小是牛頓結合開普勒行星運動定律和圓周運動規律推導出來的，它不是實驗得出的，但可以通過天文觀測來檢驗其正確性，故A、D正確，C錯誤．太陽對行星的引力大小與行星的質量成正比，與行星和太陽間距離的平方成反比，故B錯誤．考點二太陽與行星間的引力由F∝eq\f(m,r2)、F′∝eq\f(M,r2)，又根據太陽對行星的引力F與行星對太陽的引力F′大小相等，則太陽和行星間引力的大小應該與太陽的質量和行星的質量的乘積成正比，與兩者距離的二次方成反比，即F∝eq\f(Mm,r2)，寫成等式F＝Geq\f(Mm,r2).公式中的G是比例系數，與太陽和行星都沒有關系．太陽與行星間引力的方向沿著二者的連線并指向施力物體．【例2】兩個行星的質量分別為m1和m2，繞太陽運行的軌道半徑分別為r1和r2，求它們與太陽間的引力之比．解答本題的關鍵是能夠運用太陽與行星間的引力公式，求出兩個行星與太陽間的引力的比值即可．【解析】設太陽的質量為M，由引力公式得兩行星與太陽間的引力之比為eq\f(F1,F2)＝eq\f(G\f(Mm1,r\o\al(2,1)),G\f(Mm2,r\o\al(2,2)))＝eq\f(m1r\o\al(2,2),m2r\o\al(2,1)).【答案】eq\f(m1r\o\al(2,2),m2r\o\al(2,1))總結提能物體與天體之間存在相互吸引力，其大小可由F＝Geq\f(Mm,r2)求出，其中M、m分別為天體的質量和物體的質量，r為兩者之間的距離．公式中G未知，但可由比值關系確定引力間的大小關系．火星半徑是地球半徑的一半，火星質量約為地球質量的eq\f(1,9)，那么地球表面質量為50kg的人受到地球的引力約為火星表面同質量物體受到火星引力的多少倍？解析：可用萬有引力公式求解．設火星質量為m1，地球質量為m2，火星半徑為r1，地球半徑為r2，則由F＝Geq\f(Mm,r2)得eq\f(F2,F1)＝eq\f(\f(m2,r\o\al(2,2)),\f(m1,r\o\al(2,1)))＝eq\f(m2,m1)·eq\f(r\o\al(2,1),r\o\al(2,2))＝9×(eq\f(1,2))2＝eq\f(9,4).答案：eq\f(9,4)1．行星之所以繞太陽運行，是因為(C)A．行星運動時的慣性作用B．太陽是宇宙的控制中心，所有星體都繞太陽旋轉C．太陽對行星有約束運動的引力作用D．行星對太陽有排斥力作用，所以不會落向太陽解析：慣性應使行星沿直線運動，選項A錯誤；太陽不是宇宙的中心，并非所有星體都繞太陽運動，選項B錯誤；行星繞太陽做曲線運動，軌跡向太陽方向彎曲，是因為太陽對行星有引力作用，選項C正確；行星之所以沒有落向太陽，是因為引力提供了向心力，并非是對太陽有排斥力，選項D錯誤．2．地球對月球具有相當大的萬有引力，可它們沒有靠在一起，這是因為(D)A．不僅地球對月球有萬有引力，而且月球對地球也有萬有引力，這兩個力大小相等，方向相反，互相抵消了B．不僅地球對月球有萬有引力，而且太陽系中的其他星球對月球也有萬有引力，這些力的合力為零C．地球對月球的引力還不算大D．地球對月球的萬有引力不斷改變月球的運動方向，使得月球圍繞地球運動解析：地球對月球的引力和月球對地球的引力是相互作用力，作用在兩個物體上不能相互抵消，選項A錯誤；地球對月球的引力提供了月球繞地球做圓周運動的向心力，從而不斷改變月球的運動方向，所以選項B，C錯誤，D正確．3．(多選)關于太陽與行星間的引力，下列說法中正確的是(BD)A．由于地球比木星離太陽近，所以太陽對地球的引力一定比對木星的引力大B．行星繞太陽沿橢圓軌道運動時，在近日點所受引力大，在遠日點所受引力小C．由F＝Geq\f(Mm,r2)可知，G＝eq\f(Fr2,Mm)，由此可見G與F和r2的乘積成正比，與M和m的乘積成反比D．行星繞太陽運動的橢圓軌道可近似看做圓形軌道，其向心力來源于太陽對行星的引力解析：行星間的引力大小除了與距離有關外還與質量有關，選項A錯誤；F＝eq\f(GMm,r2)引力大小由r決定，選項B正確；G是一個常數，與其他物理量無關，選項C錯誤；行星繞太陽運動的橢圓軌道可近似看做圓形軌道，其向心力來源于太陽對行星的引力，選項D正確．4．(多選)下列說法正確的是(AB)A．在探究太陽對行星的引力規律時，引用了公式F＝eq\f(mv2,r)，這個關系式實際上是牛頓第二定律，是可以在實驗室中得到驗證的B．在探究太陽對行星的引力規律時，引用了公式v＝eq\f(2πr,T)，這個關系式實際上是勻速圓周運動的一個公式，它是由速度的定義式得來的C．在探究太陽對行星的引力規律時，引用了公式eq\f(a3,T2)＝k，這個關系式是開普勒第三定律，是可以在實驗室中得到證明的D．在探究太陽對行星的引力規律時，使用的三個公式都是可以在實驗室中得到證明的解析：開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k是無法在實驗室中得到驗證的．它是開普勒在研究天文學家第谷的行星觀測記錄資料發現的，選項A，B正確．5．(多選)將行星的軌道當作圓處理，追尋牛頓的足跡，用自己的手和腦重新“發現”太陽與行星間的引力關系的部分過程如下，其中正確的是(BD)A．根據牛頓運動定律，行星繞太陽的向心力與行星的速度成正比B．用天文觀測的行星周期，可推知行星的向心力與其周期的平方成反比C．根據開普勒第三定律和推理可知，太陽對行星的引力與行星質量成反比D．從行星與太陽的作