諸暨市2022-2023學年第一學期期末考試試題

局二數學

注意：

1.本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。

2.請考生按規定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.已知復數z滿足z(l+i)=3—i,則z-5=()

A.-3B.0C.4D.5

2.已知集合。,集合A。。，且gA={l,4},則。=()

A.{1}B.{2}C.{±2}D.{1,±2}

3.邊長為2的正△ABC中，G為重心，P為線段8c上一動點，則AG-AP=()

A.1B.2C.(BG-BA).(BA-BP)D.|(AB+AC)-AP

4.2022年，考古學家對某一古城水利系統中一條水壩的建筑材料(草裹泥)上提取的草莖遺存進行碳14年

代學檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的57.4%.若碳14的初始量為匕衰減率為p(0<p<l),經

過尤年后，殘留量為y滿足函數為丁=左(1-°尸，已知碳14的半衰期為5730,則可估計該建筑大約是那一年

建成.(參考數據1g0.574a—0.241,1g2a0.301)()

A.公元前1217年B.公元前1423年C.公元前2562年D.公元前2913年

22

5.已知雙曲線C:?-4=1,月,8分別為左、右焦點，尸為曲線C上的動點，若/公尸耳的平分線與x

軸交于點M(l,0),貝力。。|為()

A.A/19B.A/31C.4A/2D.6

都有了(X)>；，則當。取到最大值時，/(X)的

6.已知函數/(%)=sin,(?！?)對任意xe

7.已知a=sin0.1,6=lnl.l,c=-1.005,則a,b,c的大小關系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.ob>aD.c>a>b

8.數字1,2,3,4,5,6組成沒有重復數字的的六位數，A表示事件“1和2相鄰”，2表示事件“偶數不相

鄰”，C表示事件“任何連續兩個位置奇偶都不相同”，D表示事件“奇數按從小到大的順序排列”.則（）

A.事件A與事件8相互獨立B.事件A與事件C相互獨立

C.事件A與事件。相互獨立D.事件B與事件C相互獨立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求。全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.“直線/:y=Ax+b和圓O:x2+y2=2有公共點”的一個充分不必要要條件是（）

A.b=1B.k=lC.b2-k2<1D.b2-2k2<2

10.已知函數/（x）=（l+x）"+（l+x）",其中x的系數為8,則/的系數可能為（）

A.12B.16C.24D.28

11.已知拋物線C：/=4x的焦點為人尸是拋物線C的準線與x軸的交點，A,8是拋物線C上兩個不同的

動點，（）

A.若直線AB過點F,則面積最小值為4B.若直線4B過點F,則PA-PBN0

C.若直線A8過點P,貝U|AF|+|8E|<2|PE|D.若直線AB過點P,貝U|A用+|3F|>2|PF|

12.定義域為R的函數/（X）的導數為r（x）,若/⑴=1,且o<ra）</（%）,則（）

d

a-niHb/⑵<2c-嗎,小卡

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設｛4｝是首項為1的數列，且4a.=2",則劭）=.

,（八兀、V2cosa+1e.

14.已知。￡0,一,tana--產-----，貝!Jsine=__________.

I2）V3-V2sincif

15.如圖正四棱臺ABC。-上下底面分別是邊長為4,6的正方形，若[A4j￡[G,36],則該棱

臺外接球表面積的取值范圍是.

16.已知函數/（X）=-...,若Xi./eR,實數m滿足/—mt則實數m的取值范圍是

X+1

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（本題10分）已知S”為數列｛%｝的前〃項的和，且q=l,a“+i=6二+￡.

（I）求數列｛S,J的通項公式；

（H）若％=（-1）&,求數列也｝的前2n項和Tln.

18.（本題12分）記銳角ZkABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,AA3C外接圓的半徑為R,已知

acosB—〃cosA=R.

TT

（I）若3=2,求A的值；

4

R-C

（II）求——的取值范圍.

b

19.（本題12分）如圖，四棱錐尸—ABCD中，底面ABC。為平行四邊形，//_1_面42cAB±PC,

BC=AP=?AB=2.

（I）求點A到平面P8C的距離；

（II）求二面角C—P￡>—A的正弦值.

20.（本題12分）某課題組為了研究學生的數學成績與物理成績之間的關系，隨機抽取了高年級的100名學生

某次考試的成績（滿分100分），若按單科85分以上（含85分），則該課成績為優秀，根據調查成績得出下面

的2x2列聯表（單位：人）.

數學成績優秀數學成績不優秀

物理成績優秀1614

物理成績不優秀2050

（I）根據調查所得數據，該課題組至少有多大把握認為學生的數學成績與物理成績之間有關系？

（II）①隨機從這100名學生中抽取1名學生，在已知該學生“數學成績優秀”的情況下，求該學生物理成績

不優秀的概率，

②隨機從這100名學生中抽取2名學生，記2人中數學成績優秀的人數為X,物理成績優秀的人數為y,設

X=x-y,求X=1的概率.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.050.0100.001

k3.8416.63510.828

21.(本題12分)在平面直角坐標系九Oy中，已知點A(-2,0),8(2,0),直線PA與直線PB的斜率之積為-L

4

記動點P的軌跡為曲線C.

(I)求曲線C的方程；

(111)若直線/：丁=米+m與曲線。交于加,雙兩點,直線胚4,凡2與〉軸分別交于E,尸兩點，若￡0=30戶，

求證：直線/過定點.

22.(本題12分)已知函數/(x)=ate3-lnx,a>0.

2

(I)若a=l,記/(x)的最小值為機，求證：m>—+In2.

(II)方程=有兩個不同的實根石,々，且玉+々=2,求證：X]%<22。

2023年1月浙江諸暨市數學試卷解析

選擇題部分(共60分)

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.解析：因為|z|=H=羋=6，則zN=|z『=5,故選D.

1+zJ2

2.解析：因為3。+1=4=>〃2=1,不滿足，則/=4=>〃=±2=>3〃+1=7,-5,滿足，故選C

33

3.解析：投影可知AG-AP=|AG|X」AG|=」AG|2

22

4.解析：因為57.4%=(1-p)*,50%=(1—p)573。nx土4588，則

57301g0.50.301

4588—2022=2566,故選C.

5.解析：光學性質為切線’方程為？-亳=1,又因為過“(1,0),則$lnxo=4ny：=15,

則|。尸|=61,故選B.

卜…（c3兀、兀713兀g71々、13?？谪?5兀

8J33832836

4447i，兀、

:.G）<—,當。二一時對稱中心滿足一x+—=E,左EZ,所以一個對稱中心為一,0,故選C.

333312）

xx

7.解析：由泰勒定理可知：ci—sin0.1=%-----1-----1-=0.1+鱉+^2221+

3!5!6120

xxX0001

Z7=lnl.l=ln(l+0.1)=%-—+--——+=0.1—0.005+2竺乙＜0.1

2343

1八八＜犬九八八:1八八八八＜八八＜

c—co.i—1.005—1+?xH?-----?1-----F—1.005—1+0.11+0.005H--0--.0--0--1-1--0--.-0--0--0--1F0?-1.005

2!3!624

八10.0010.0001Q口也7

=0.1H---------1-----------1-?■顯然c＞a＞b,故選D.

624

253233

8解析：p⑷AA1午4A=16年)=7A丁41

io

4

＜=J_=1PO).以(￡一+614)+或以以否」7

…華2=P(A)P(。)，P(AC)=G2看一,C；2/方=言一P(A)P(C),故選C.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.解析：由“直線/:y=Ax+b和圓O:d+y2=2有公共點”可得圓心到直線得距離

d=^—<42^b2<2k2+2,所以當6=1時顯然成立，A正確;

VF+1

當/—左24I時也可得/4242+2,c正確；

故選AC.

10.解析：x的系數為8,則。+〃=8,

則卡的系數為第+C；=1(a2-a+Zj2-Zj)=1(iz+Z?)(?+Z7-l)-aZ7=28-aZ?

仍可能為7,12,15,16,則28—H?可取12,16,

故選AB.

11.解析：若直線A8過點R設45：%=町+1,帶入拋物線方程，有y2=4my+4,

設人（%，%），3（%2，%），則有％+%=4加,％%=-4,5△皿=|必_%|之4,A正確；

2

PA-PB=%々+%+x2+1+X%=4+m—4>0，B正確；

若直線AB過點尸，設=—1,代入拋物線方程，有y2=4my—4,

設A（%,%）,3（%2,%），則有%+%=4加,%%=4,

2

貝!J|AF\+\BF|=x；+l+x2+\=m^yx+）+2=4ni+2>2|PF\，故選ABD.

12.解析：設g（x）=〃?，則g'（x）=［）（x）：/（r）］<0,所以g（x）=j”在R上是單調遞減函數，于

exe*e

是：｛&〉&=，，于是/（▲［〉、〉工,所以A正確；

!ee［22

"2）<'（）=—，于是/（2）<e,所以B錯誤；

eee

乂』〉人」，于是所以C正確；

ee4一

由于而/（2）<e,D無法判斷,不一定正確.

故答案為：AC.

非選擇題部分（共90分）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.解析："'"14+2=2—=2,得吐=2,又01a2=2,得%=2,所以％0=氏"=32,答案為：32.

aa

nn+l2"an

ellsinaJ2cosi+l八”?口.（兀、J2cL/八兀）

14.解析：tani=---=—7=——7=-----,化間得sm?！?——>0,又0,一，

COS6ZV3-v2sin6ZV672\2）

所以a—烏是第一象限角，得cos（。—二］=也，

66）2

..._.叫兀Le百V21_癡+后族且4V6+V2

qxsincc=sina—H———x1x-=------------,答案為：.

6)6\222244

15.解析：由題意四棱臺的上下底面外接圓半徑分別為20,30,高為/2=J|AA|「_2w[l,5]；設四棱臺

的外接球半徑為R,則日土JR2_18『+(2揚2=R』2代—18=1,Me[0,9]

所以，4爐6[72,153],所以棱臺外接球表面積Se[72兀,153兀].

故答案為：[72兀,153兀].

4x—a16.

16.解析：設/=4x—a,則y=/(x)=^—=---------5~-(re7?).

x+1t+2。/+。+16

當，=0時，y=0；

J

當.WO時，y=2]A，/(%)max=/?>°，/(%)min=/2

(_1_。+16+2aa+，a+16a-，Q+16

t

QQ

所以一<f(x)<一，

〃一，/+16〃+，/+16

由/(七)"(々)=—加n—42/OOmax./OOmin=-4,即療<4n—2WmW2.

故答案為：[—2,2].

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.解析：(1)因為a“M=S〃M—S“，所以S.M—S〃=￡二+四，解得￡二一四=1，所以｛點｝是

公差為1的等差數列，則瘋=廓+九一1=〃，所以S,=〃2.

2

(2)由(1)可得：Sn=n,所以4=底+何:=〃+〃—1=2〃一1,

所以a=(-1)"(2H-1),所以b2n_l+b2n=2,

則12“=3+&)+(4+%)++(&,1+&“)=27?.

dbC

18.解析：(1)根據正弦定理---=-----=-----=2R,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,因為

sinAsinBsinC

acosB—bcosA=R,所以2RsinAcosB—2HsinjBcosA=H,所以sin(A—5)=g,因為ABe[。,]),

7T7TSjT

所以A—B=—,B=—,解得4=一

6412

7T5TE

(2)因為A=—+B,所以。=兀一(A+B)=——2B,

66

0C<A4<—兀

2

因為＜。＜5苦所以Be則

o<V

l-2sin——IB廠

R—c_R—2RsinC_l—2sinC_(6J_1-cos23-sin23

b2RsinB2sinB2sin52sinB

2

2sinB-2^sinBcosB=sinB_^cosB=2s.nr

2sinBI3)

19.解析：(1)連接AC,上4_1面48。；.24_1AB,PAJ_AC

AB±PA,AB±PC,QAu面B4C,尸Cu面B4C,PAPC=Pr.AB，面用C..AB，AC,以A

為原點，AB為x軸，AC為y軸，A尸為z軸建立坐標系

A(0,0,0),尸(0,0,2),B(a,0,0),C(0,A/2,0),。(—&,a,0)

設面PBC的法向量為〃=（1,及）,z0）

n-BC^OA/2X0+A/2°,令4=],則/%=0,九=(夜，&J)

即<

n-BP-0—A/2XQ+2Z0—0

me口us,\AP-n\22石

4到面PBC距禺d=J---------=-=------

\n\后5

(2)設面尸CD的法向量為々=(%,%*1)

Y\-CP=0即-yflyx+2^=0

二.玉=0,令Z]=l,則％=0,:,Y\=(0,A/2,1)

々,CD=0—A/2XJ=0

設面PAD的法向量為%=(x2,y2,z2)

n-AD=0—V2X+V2y=0八八,(—

<2即199Z2=0令％2=1，則%=8，「?%=(11，°)

n2-AP=0[2Z2=Q

ri-%y/26

12匐聞533

^6

二面角C—?D—A的正弦值為一

3

_______100(16-50-14-20)2

20.解析：(1)K?=亡5.59

(16+14)-(20+50)-(16+50)-(14+20)

3.841<K?<6.635至少有95%把握認為學生的數學成績與物理成績之間有關系

(2)X=1有2種情況:

1、取出1個數學優秀物理不優秀的學生，1個數學物理都不優秀的學生

2、取出1個數學物理都優秀的學生，1個數學優秀物理不優秀的學生

…，、C^-C'C'-C*2032132

P(X=1)=2050+-20=—+——=—.

喘。金。99495495

21.解析：(1)設P點坐標為(x,y),則!——=—+/=l(x^+2).

x+2x244

(2)解析1：

y=kx+m

設%),?/(乙,%)，由<22(左之22

x=>4+1)X+8^7nx+4m_4=0,

彳+y=1

8km4加之—4

n2+M-------——=——5----.

124^2+11241+1

(2、(-2\

MA:y=qMx+2)=>E0,^-,MB:y=3^(x-2)=>/0,二^

%+2I玉+2J%2一2<x2_2J

:.(g+m)(x2—2)=3(也+m)(毛+2)

/.2kXyX2+(2k+3m)+%2)+4(^—m)x2+8m=0

（左一加）14如〃一2+（4左2+1

=0,對任意x2都成立,

k=m＞故直線/過定點（—1,0）.

解析2：EO=3OF=>yE=-3yF=>=3kBN

設M4:x=)_2,NB:x=3)+2,A/(石,％),N(為2,%)，

x=ty-2

/\4/，2/_84f、

二“2+4),2_的=0=%=涔7=刊

由＜X221

—+V=1、產+47+4,

14,

x=3ty+2

'-18/+8-12P

2-12t

由Vx+2_]封9/+4)/+12。=0=%=0N

9/+4、t2+47+4,

%=黑=占''班方程為：y-4?4t(2產-8)

產+43/一4I/+4J

由（2產8）

Hn4?4t4t

即y=—弓—x-+/+4'J-3?-4(x+1)

-3/一4（3/一4）（產+4）

:.k=m,直線/恒過定點（一L。）.

22.解析：(1)f(%)=xex—Inx,(x>0),r(x)=(x+l)e'—>/"(九)=(x+2)e*H—y>0,

XX

.?./'(X)在(0,+8)上單調