2023年普通鬲篝孽依據當全圖倭一老弒

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本試卷共5頁，共22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知全集0={%€1<卜=廬嚏},集合M={x∈U∣4*≤16},則QjM=

A.{l,2}B.{1,2,3}C.{3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

2.已知復數Z滿足ZTZl=-8+12i,則Z的實部是

A.9B.7C.5D.3

3.己知α,ZU是三條不同的直線，是兩個不同的平面，aβ=l,αuα,buβ,

則下列結論正確的是

A.若a//β,則a//1B.若aJ_0,a_L/,則&

C.若a_L/?,則a-L/?D.a,b一定是一面直線

4.為了解高中學生的體質健康水平，煙臺市教育局分別從身體形態、身體機能、身體素質

等方面對該市高中學生的體質健康水平進行綜合測評,并根據《國家學生體質健康標準》

評定等級.經過統計，甲校有30%的學生的等級為良好，乙校有60%的學生的等級為良

好，丙校有50%的學生的等級為良好，且甲、乙、丙這三所學校參加測評的學生人數之

比為5:8:7.從甲、乙、丙這三所學校參加測評的學生中隨機抽取1名學生，則該學生的

等級為良好的概率為

A.0.40B.0.47C.0.49D.0.55

5.若x>0,y>0,則“x+yV4”的一個必要不充分條件是

A.χ-+y-<8B.?[x^?J4—yC.xy≤4D.—I—Vl

Xy

、1

zi

6.已知數列{4}的前〃項和為S“，—+"=3q,+l,ai---,則為o=

A.20B.19C.18D.17

31一

7.已知Q=Sin1,b=—，C=------,則α,b,C的大小關系為

πIog3π

A.d>c>bB.c>b>aC.c>d>bD.b>a>c

22

8.已知雙曲線三一本=1(。>0,匕>0)的上下焦點分別為"，尸2,過K的直線與雙曲線

的上支交于M,N兩點，若Pl隼IMNlJNKl成等差數列，且MGJ.M6,則該雙曲線

的離心率為

AMb√iθc√5D√6

3222

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題所給的四個選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.己知點A(l,2),8(3,1),C(4,m+1)(m∈R),則下列說法正確的是

A.∣AB∣=√5

B.若AB_LBC,則m=-2

C.若AB〃BC,則/〃=—L

2

D.若B4,BC的夾角為銳角，則相<2且加工―L

2

10.已知動點M到點N(0,2)的距離等于2,動點根的軌跡為「，直線/[l+∕l)x+y-

同+4)-l=0(4∈R),則

A./可能是「的切線

B./與「可能沒有公共點

C./與「可能有兩個公共點

D.「上的點到/的距離的最大值為4

11.底面為直角三角形的三棱錐P-ABC的體積為4,該三棱錐的各個頂點都在球。的表

面上，點P在底面ABC上的射影為K,PK=3,則下列說法正確的是

A.若點K與點A重合，則球。的表面積的最小值為25π

B.若點K與點4重合，則球。的體積的最小值為強

24

1AO

C.若點K是AABC的斜邊的中點，則球。的表面積的最小值為U”7r

36

21Q7π

D.若點K是AABC的斜邊的中點，則球。的體積的最小值為-------

162

12.已知函數/(x)=ln(2πex—eτ2)—2cos￡,則

A.∕(2π-x)=-∕WBj(X)的圖象關于直線x=π對稱

DJ(X)僅有一個極值點

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(3^+?)的展開式中X的系數為

14.過坐標原點作曲線>=(x+2)e'的切線，則切點的橫坐標為.

15.已知拋物線∕?y2=2pχ(p>0)的右焦點為尸(1,0)，點K在T上且在第一象限，直線

FK與〃的準線交于點M,過點M且與X軸平行的直線與「交于點H,并且滿足

uuluUUimUUUi

2HF=HM+HK,貝”HrT-

16.已知函數/(x)=∣2Sin3無+e)+l169>0,陷V的圖象經過點(0,2),若/(x)在

區間(—與'?)上單調遞增，則。的取值范圍是?

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

電視劇《狂飆》顯示了以安欣為代表的政法人員與黑惡勢力進行斗爭的決心和信心，自

播出便引起巨大反響.為了了解觀眾對其的評價，某機構隨機抽取了10為觀眾對其打分

(滿分為10分)，得到如下表格：

觀眾序號12345678910

評分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1

（1）求這組數據的第75百分位數；

（2）將頻率視為概率，現從觀眾中隨機抽取3人對《狂飆》進行評價，記抽取的3人中

評分超過9.0的人數為X,求X的分布列、數學期望與方差.

18.（12分）

已知AABC的內角A,B,C的對邊分別是α,4c,設（h—c）Sin3=Z?Sin（A—.

（1）求角A；

a2+b2+c2

（2）若ΔABC為銳角三角形，且AABC的面積為S,求^~-~~J的取值范圍.

S

19.（12分）

已知首項不為0的等差數列｛α,,｝,公差d≠0,q=0（f為給定常數），S,,為數列4

的前〃項和，且Sml=S”,（孫<牲），｛"｝為加2—犯所有可能取值由小到大組成的數

歹∣J.

（1）求勿；

（2）設C“=（—1）“（》一：；：；+］）,為數列｛%｝的前〃項和，證明：η<-i.

20.（12分）

如圖，正四棱錐P-ABCo和正三棱錐P-CDE的頂點均為P.

（1）設平面∕?B與平面PC。的交線為/,求證：ILPE；

S箱PE//BC,PE的中點為F,求平面BCF與平面CDE所成二面角的余弦值.

21.（12分）

已知橢圓C:￡+今=?(a>b>Q)的右焦點為F(2,0),∕j(-2,√2)是橢圓C上一點.

(1)求橢圓。的方程：

(2)若過尸的直線4(與X軸不重合)與橢圓C相交于A,B兩點,過戶的直線(與

y軸交于點M,與直線x=4交于點N(∕∣與4不重合)，記AMFB,Δ∕VEB,

Δ2VM,ΔAPV∕的面積分別為S∣,S2,S3,S4,若#X=￥(S+S3),

求直線4的方程.

22.(12分)

已知函數/(尢)=xex~a-Inx-Intz(αX)).

(1)若/(x)在X=I處的切線/與直線x+y+l=0垂直，求切線/的方程；

(2)已知0Vα<避二?,證明："x)〉一日一.

2J')a+?

試題參考答案及評分細則

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.C2.C3.A4.C5.C6.B7.B8.B

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題所給的四個選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.AC10.ACD11.AD12.BD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.486014.-1±√315.416.(θ,[

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

(1)將這組數據從小到達進行排列，

為7.4,7.8,8.3,8.5,8.5,8.6,8.9,9.1,9.5,9.9,..............(2分)

所以這組數據的第75百分位數為9.1...........................(4分)

(2)樣本中評分超過9.0的有3個，

所以評分超過9.0的概率(頻率)為().3,.......(5分)

依題意，X的所有可能取值為0,L2,3,且X:3(30.3),.....(6分)

則P(X=O)=CX0.73=0343,

P(X=I)=GXo.3x0.72=0441,

p(χ=2)=C2×0.32×0.7=0.189,

P(X=3)=C；X0.33=0.027,

所以X的分布列為

X0123

P0.3430.4410.1890.027

...............................（8分）

所以E（X）=3χ0.3=0.9,..................................（9分）

D（X）=3x0.3x0.7=0.63...............................（10分）

18.（12分）

(1)因為(A-C)Sin5=Ain(A-C),

所以(h-C)SinB=O(SinACoSC-CoSASine?,

福ZR〃[a2-^b2-C2b2+c2-a2

所以。--8cCoSe-∕?CCOSAa=-------------------------------=a2-c2,

22

.....................................................................(2分)

Xfz2=/?2÷c2-2bccosA,所以CoSA=......(3分)

2

JT

因為A€(0,兀)，所以A=§.................................................(4分)

1?/????

(2)由(1)知S=-ScsinA=——he,a~=b~+c~-he,

24

,a2+?2+c24√3a2+b2+c24&2h2+2c2-bc

所fζr以l-----------=-----------------=--------------------

S3be3be

一強他+。_逑……

3U-b)3

因為AABC是銳角三角形，

0<C<-

所以I2,整理苦∣Ξ<C<Ξ,..................................

62

Q<--C<-

[32

因為2=g=Sin(A+C))sinAcosC+cosAsinC?∣31

csinCSinCsinC2tanC2

所以一V—V2,..........................................................................(IO分)

2C

令2=r,則函數y=r+；在)上單調遞減，在(1,2)上單調遞增，

所以ye2,-?即2+

J,............................................(11分)

工巧................⑴分)

故?+R+°2的取值范圍為4√

?

19.(12分)

(1)由題意得，a,=α∣+(f-l)d=O,得q=(lτ)d(①)，

由S叫=Sllh(町<m2),得町α+叫_-d=m1a+&與_Q√(②),

由①②，可得犯+叫=2f-l,且2叫V町+加？=2f-l，

所以IWm1Wr-I,.............................................................(3分)

由也一碼=一2町+2/-1,當叫在1≤∕%≤fT范圍內取值時,

m2-tni的所有取值為2/-3,2/-5,…,5,3,1,

所以勿=2〃一l(l≤"≤f-1).（6分）

2π+l

⑵?,=(-ιf

(?+.÷ι)(?÷ι)

2H÷1_.IQ

=(T)"—+（8分）

4(n÷l)nn∏+ι

所以

U?-1----111111___1_]

T2-2---32〃-1InIn2〃+1

（10分）

412〃+1)

]

由于T”=；-1(1≤〃</一1)是遞減的,

2〃+1

所以I?

q≤<=;（12分）

2+T6

20.(12分)

(1)取Co的中點M,連接MP,ME,

因為PC=PD,CE=DE,所以MPLC。，MELCD,.............(1分)

又MPIME=M,MP,A/￡u平面PME,

所以CD_L平面尸ME,......................................................(2分)

又因PEU平面PME,所以CDJ_PE,

因為A6〃8,ABu平面Q45,Cr)Z平面

所以8〃平面.................................(3分)

又因平面Q鉆與平面PCD的交線為/,Cz)U平面PCr>,

所以CD〃/,....................................................................(4分)

因為8J?PE,所以PE_U................................................(5分)

（2）連接AC,8。交于點。，連接。尸,

則。PL平面A5CD,AC±BD,

如圖，以點。為原點建立空間直角坐標系,

不妨設A3=2,則AC=Bo=20,

設OP=h,則CC=PE=，2+〃2,

則B(JΣ,O,θ),C(θ,√2,θ),r)(-√2,θ,θ),P(O,O,Λ),

由PE//BC,得E----?y∣2+/廠,——?J2+/廠,h

22

￥行不+同+惇瘍f

由。E=CD,得+h'=2，

解得〃=√Σ,

故網o,o,0),E(-JΣ,JΣ,√Σ),................................................(6分)

因為PE〃BC,PE的中點為F,所以平面BCE與平面BBCE重合，

&=(—"—&,0),注=(—&,(),碼，CS=(√2,-√2,θ),…(7分)

設平面RSCE1的法向量為〃z=(x,y,z),

rιrUir

r一m?CB=√2x-√2y=O/m,<

則有(ιrUH*,令X=I,則y=z=1,

mCE--y∕2x+y∣2z-O

Ii

所以機=(IJl),..............................................................(9分)

設平面COE的法向量為7=C),

rUUD

-rnCD=-y∕2a-y∣2b=0?,

則有｛ruur,令α=l,則rt>=-1,C=I,

n-CE=-yj2a+0c=O

所以〃=(1,—1,1),（11分）

U?

,/ITr、m?n1-1+11

則πCoSS)=麗=瓦

所以平面BCF與平面CDE所成二面角的余弦值為（12分）

3

21.(12分)

（1）由已知可得E（—2,0）為橢圓的左焦點，....................（1分）

所以2α=∣PK∣+∣P∕∣=4jL即α=20,..................................（3分）

所以8*=a1-C1=4,.....................................................................（4分）

χ2y2

故橢圓C的方程為一+2-=l?.......................................................（5分）

84

（2）設直線AB的方程為彳=四，+2,

X=?22V+2

A(Xl,y),B(x2,y2),則由1/+？/=&'

得(>+2)V+4my-4=0,

顯然A=(4∕〃)2+16(/+2)>0,

4m4

于是弘+%=-（7分）

蔗育小二一記0

因為用斗=曰Y=2=1,所以IFMl=IKVl

（9分）

沖I%-2|21111

邪區_￡附療NlSinNBFNTEAMMsinZAFMJ阿附

所以

S∣+S311Fβ∣IFMIsinΛMFB+?∣/^∣∣F7V∣sinZAFN∣FB∣+∣FA∣

=IIXy2∣「IElIy2∣二I4(>√+2)

M(Iyl+l%∣yWy+%y-4χ%y16m2+16(m2+2)4

............................................................................(11分)

解得〃/=1,即加=±1,所以直線4的方程為x±y—2=0.……(12分)

22.(12分)

(1)1(X)=(X+l)e*-"-L..............................................................(1分)

因為切線/與直線χ+y+l=0垂直，所以/'(l)=2ej-l=l,

即α=l，...................................................................................(3分)

又/(ι)=ι,所以切線/的方程為y=χ.(5分)

證明：,χa∣1

(2)∕(x)=(%+l)e--=(%