第3講函數與方程思想在導數部分的應用函數的思想就是運用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數。運用函數的圖像性質去分析問題，轉化問題，測試問題，獲得解決。函數思想是對函數概念本質認識，用于指導解題就是善于利用函數知識。或函數觀點觀察分析解決問題。方程思想是高中數學重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（組）、或構造方程來分析數學變量問的等量關系，通過解方程（組），或運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題得以解決。孰練運用方程思想解決數學問題是高中階段重要的數學能力之一，也是歷年高考的重點。函數與方程思想，簡單的說，就是學會用函數和變量來思考，學會轉化已知與未知的關系。對函數和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函數和方程思想指導解題？一般情況下，凡是涉及到未知數，未知數問題都可以都可能用到函數與方程的思想。函數與方程思想方法的考察一直是高考的重點內容之一。在高考數學上，與函數有關的試題所占的比例實際上在20%左右，且試題中既有靈活多樣的客觀性試題，又有。一定能力要求的主觀性試題。函數與方程思想最重要的一種，是最重要的一種數學思想，高考所占的比重比較大，綜合知識多，題型多。應用技巧多。【應用一】函數與方程思想在研究直線的斜率的應用利用導數研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點：(1)函數在切點處的導數值是切線的斜率，即已知切點坐標可求切線斜率，已知斜率可求切點坐標．(2)切點既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點．(3)曲線y＝f(x)“在”點P(x0，y0)處的切線與“過”點P(x0，y0)的切線的區別：曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線是指點P為切點，若切線斜率存在，切線斜率為k＝f′(x0)，是唯一的一條切線；曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)的切線，是指切線經過點P，點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條．【例1.1】（2023·重慶·統考三模）已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實數a＝（

）A．0 B． C． D．【答案】C【詳解】由且x不為0，得設切點為，則，即，所以，可得.故選：C【思維提升】利用導數的幾何意義求參數的基本方法利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程(組)或者參數滿足的不等式(組)，進而求出參數的值或取值范圍．【變式1.1】【2022年新高考2卷】曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為____________，【答案】

y=1e【解析】【分析】分x>0和x<0兩種情況，當x>0時設切點為x0,lnx0【詳解】解：因為y=ln當x>0時y=lnx，設切點為x0,lnx0又切線過坐標原點，所以-lnx0=1x0當x<0時y=ln-x，設切點為x1,ln-x又切線過坐標原點，所以-ln-x1=1x故答案為：y=1e【變式1.2】【2020年新課標3卷理科】若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【解析】【分析】根據導數的幾何意義設出直線的方程，再由直線與圓相切的性質，即可得出答案.【詳解】設直線在曲線上的切點為，則，函數的導數為，則直線的斜率，設直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.【變式1.3】【2019年新課標3卷理科】已知曲線在點處的切線方程為，則A． B． C． D．【答案】D【解析】通過求導數，確定得到切線斜率的表達式，求得，將點的坐標代入直線方程，求得．【詳解】詳解：，將代入得，故選D．【應用二】函數與方程思想在轉化為方程根的關系函數與方程（不等式）思想貫穿于高中數學的各個模塊，求值問題涉及到方程，求范圍的問題就離不開不等式，在導數部分中涉及到切點坐標，交點坐標等問題往往都是轉化為方程的跟的問題。【例2】（2023·江蘇泰州·統考一模）若過點可以作曲線的兩條切線，切點分別為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設切點，根據導數的幾何意義求得切線方程，再根據切線過點，結合韋達定理可得的關系，進而可得的關系，再利用導數即可得出答案.【詳解】設切點，則切線方程為，又切線過，則，有兩個不相等實根，其中或，令或，當時，，當時，，所以函數在上遞增，在上遞減，，，當時，，當時，，所以，即.故選：D.【思維提升】與切點坐標、交點坐標等問題往往轉化為方程根的問題，特別是范圍問題要結合韋達定理轉化為函數的問題，【變式2.1】【2022年新高考1卷】若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是【答案】(-【解析】【分析】設出切點橫坐標x0，利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于x0的方程，根據此方程應有兩個不同的實數根，求得a【詳解】∵y=(x+a)ex，∴設切點為(x0,y0),切線方程為：y-x∵切線過原點，∴-x整理得：x0∵切線有兩條，∴?=a2+4a>0,解得a<-4∴a的取值范圍是(-∞故答案為：(-【變式2.2】（2022·廣東揭陽·高三期末）已知函數，過點可作兩條直線與函數相切，則下列結論正確的是（）A． B．C．的最大值為2 D．【答案】B【解析】【分析】根據題意，利用導數的幾何意義、韋達定理，結合特殊值法即可求解.【詳解】設切點為，又，則切線的斜率又，即有，整理得，由于過點可作兩條直線與函數相切所以關于的方程有兩個不同的正根，設為，則，得，，故B正確，A錯誤，對于C，取，則，所以的最大值不可能為2，故C錯誤，對于D，取，則，故D錯誤.故選：B.【變式2.3】（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若不同兩點、均在函數的圖象上，且點、關于原點對稱，則稱是函數的一個“匹配點對”（點對與視為同一個“匹配點對”）.已知恰有兩個“匹配點對”，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】函數的圖象關于原點對稱的圖象所對應的函數為，再將問題轉化為函數與函數有兩個交點，再數形結合可得答案.【詳解】函數的圖象關于原點對稱的圖象所對應的函數為，的圖象上恰好有兩個“匹配點對”等價于函數與函數有兩個交點，即方程有兩個不等式的正實數根，即有兩個不等式的正實數根，即轉化為函數圖象與函數圖象有2個交點.，當時，，單調遞增.當時，，單調遞減.且時，，時，所以所以圖象與函數圖象有2個交點.則，解得.故選：B【應用三】函數與方程思想在構造函數比較大小比較大小是高考試題中經常考查的題型，此類題型主要體現的思想方法就是構造函數，轉化為函數與方程的思想，研究函數的單調性，通過研究函數的單調性得出它們的大小關系。【例3】（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學校考一模）已知，，（其中為自然常數），則、、的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將變形，得，，，構造函數，利用導數得在上為減函數，在上為增函數，根據單調性可得，，再根據可得答案.【詳解】，，，設，則，令，得，令，得，所以在上為減函數，在上為增函數，因為，所以，即，因為，所以，所以，所以，所以，即，因為，所以，綜上所述：.故選：D.【思維提升】遇到關于指數、對數、冪函數的比較大小最常見的方法就是根據函數的單調性比較大小。但是涉及到綜合性的比較大小，往往通過構造函數進行比較大小。如何構造函數就要求我們觀察所給試的形式，或者把他們化簡具有共同特征的形式，然后根據形式構造函數。最終通過求導研究函數的單調性，比較大小。【變式3.1】（2023·江蘇南京·校考一模）已知是自然對數的底數，設，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先設，利用導數判斷函數的單調性，比較的大小，設利用導數判斷，放縮，再設函數，利用導數判斷單調性，得，再比較的大小，即可得到結果.【詳解】設，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，，時，，即，設，，時，，函數單調遞減，時，，函數單調遞增，所以當時，函數取得最小值，，即恒成立，即，令，，時，，單調遞減，時，，單調遞增，時，函數取得最小值，即，得：，那么，即，即，綜上可知.故選：A.【變式3.2】（2023·河北唐山·統考三模）已知且，，，是自然對數的底數，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】首先證明常用不等式：，設，，則，所以在上單調遞減，所以當時，，即；設，，則，所以在上單調遞增，所以當時，，即.所以，當時，.故當時，.∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，∵，令，∴，單調遞增，∴，則，即，綜上，.故選：B.【變式3.3】（2023·安徽黃山·統考三模）已知定義域為的函數，其導函數為，且滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，則，因為在上恒成立，所以在上恒成立，故在上單調遞減，所以，，故A不正確；所以，即，即，故B不正確；，即，即，故C正確；，即，即，故D不正確；故選：C.【應用四】函數與方程思想在導數中研究零點與極值點的問題1、函數的極值(1)函數的極小值：函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．(2)函數的極大值：函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．極小值點、極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值．2、利用導數研究函數零點個數(或方程根的個數)問題的一般思路：(1)可轉化為用導數研究其函數的圖象與x軸(或直線y＝k)在該區間上的交點問題；(2)涉及兩函數的交點：利用數形結合思想方法，通過圖象可清楚地數出交點的個數(即零點，根的個數)或者確定參數的取值范圍．【例4】（2022·山東省淄博實驗中學高三期末）已知函數有三個不同的零點，且，則的值為（）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】C【解析】【分析】利用換元法轉換，結合導數以及一元二次方程根與系數的關系來求得正確答案.【詳解】，，有三個不同的零點.令，在遞增，在上遞減，.時，.令，必有兩個根，，且，有一解，有兩解，且，故.故選：C【思維提升】已知函數有零點求參數的取值范圍常用的方法：(1)分離參數法：一般命題情境為給出區間，求滿足函數零點個數的參數的取值范圍．通用解法為從f(x)中分離出參數，然后利用求導的方法求出構造的新函數的最值，最后根據題設條件構建關于參數的不等式，確定參數的取值范圍；(2)分類討論法：一般命題情境為沒有固定區間，求滿足函數零點個數的參數的取值范圍．通用解法為結合單調性，先確定參數分類的標準，在每個小范圍內研究零點的個數是否符合題意，將滿足題意的參數的各小范圍并在一起，即為所求參數的取值范圍．【變式4.1】（2022·江蘇海門·高三期末）已知函數有三個零點，則實數的取值范圍是（）A．(0，) B．[0，) C．[0，] D．(0，)【答案】A【解析】【分析】對分離參數，構造函數，利用導數研究其單調性和最值，即可求得參數的取值范圍.【詳解】有三個零點，即方程有三個根，不妨令,則，故在單調遞減，在單調遞增，在單調遞減，，且當時，恒成立.當趨近于負無窮時，趨近于正無窮；趨近于正無窮時，趨近于，故當時，滿足題意.故選：A【變式4.2】（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學校考一模）若函數只有一個極值點，則的取值范圍是___________.【答案】或【分析】對求導，利用導數與函數極值的關系，分類討論3是否為極值點，結合的圖像性質即可求得的取值范圍.【詳解】因為，所以，因為只有一個極值點，所以若3是極值點，因為，所以當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，故，則，所以；當趨向于0時，趨向于1，趨向于0，則趨向于正無窮，當趨向正無窮時，趨向正無窮的速率遠遠大于趨向正無窮的速率，則趨向于正無窮，若3不是極值點，則3是即的一個根，且存在另一個根，此時；當時，，令，解得；令，解得；所以在單調遞減，在單調遞增，滿足題意，綜上：或【變式4.3】（2022年河北承德市高三月考模擬試卷）函數在上有且僅有一個極值點，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】因為，所以，函數在上有且僅有一個極值點，在上只有一個變號零點.令，得.設在單調遞減，在上單調遞增，，又，得當，在上只有一個變號零點.經檢驗，不合題意，故選：B.1、（2022年江蘇蘇州八校聯盟高三月考模擬試卷）設，（e是自然對數的底數），則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】記，則，所以在上單調遞減，所以，所以在上，所以.又單調遞增，所以所以，即.而由二項式定理得：.對于a、c，由，.記，則，所以在上單調遞增，所以.所以，所以.綜上所述：.故選：C2、（2022年江蘇泰州市高三月考模擬試卷）已知函數，其中實數，則下列結論錯誤的是（）A.必有兩個極值點B.有且僅有3個零點時，的范圍是C.當時，點是曲線的對稱中心D.當時，過點可以作曲線的3條切線【答案】B【解析】【詳解】對于A，，令，解得：或，因為，所以令，得或，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值,所以A正確；對于B，要使有且僅有3個零點，只需即，所以，所以的范圍是，故B不正確；對于C，當時，，，，所以點是曲線的對稱中心，所以C正確；對于D，，設切點為，所以在點處的切線方程為：，又因為切線過點，所以，解得：，令，所以過點可以作曲線的切線條數轉化為與圖象的交點個數.,令，解得：或，因為，所以令，得或，令，得，則在上單調遞增，在上單調遞減，，如下圖所示，當時，與圖象有3個交點，即過點可以作曲線的3條切線，故正確，故選：B3、（2022年廣東華美實驗高三月考模擬試卷）（多選題）若直線與曲線相切，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【詳解】由得，設直線與曲線相切于點，則且，消去得，所以A正確，B錯誤；取等號，C錯誤；，設，由得，所以函數在上遞增，在上遞減，所以，即，D正確，故選：AD.4、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學校考一模）（多選題）已知,，下列說法正確的是（

）A．存在使得是奇函數B．任意?的圖象是中心對稱圖形C．若為的兩個極值點，則D．若在上單調，則【答案】ABD【分析】對于A，當時,為奇函數，從而即可判斷；對于B，設函數的對稱中心為,根據，求出對稱中心即可判斷；對于C，求導，由題意和韋達定理可得，，再由重要不等式得，即可判斷；對于D，由題意可得恒成立，由，求解即可.【詳解】解：對于A，當時,為奇函數，故正確；對于B，設函數的對稱中心為,則有，又因為，，所以，解得，所以的對稱中心為，故正確；對于C，因為，又因為為