2023年中考數(shù)學(xué)探究性試題復(fù)習(xí)8一元一次方程一、填空題1．一般情況下a2＋b3＝a+b2+3不成立，但有數(shù)可以使得它成立.例如a＝b＝0.我們稱使得a2＋b32．對(duì)于任意四個(gè)有理數(shù)a，b，c，d可以組成兩個(gè)有理數(shù)對(duì)(a，b)與(c，d).我們規(guī)定：(a，b)★(c，d)=bc?ad.例如：3．在一元一次方程中，如果兩個(gè)方程的解相同，則稱這兩個(gè)方程為同解方程．方程2x?1=3與方程x+5=3x+1(填“是”或“不是”)同解方程；若關(guān)于x的兩個(gè)方程2x=4與mx=m+1是同解方程，m=；若關(guān)于x的兩個(gè)方程2x=a+1與3x?a=?2是同解方程，a=．二、綜合題4．定義：若a+b=2，則稱a與b是關(guān)于2的平衡數(shù)．（1）3與是關(guān)于2的平衡數(shù)，7-x與是關(guān)于2的平衡數(shù)．(填一個(gè)含x的代數(shù)式)（2）若a=x2-4x-1，b=x2-2(x2-2x-1)+1，判斷a與b是否是關(guān)于2的平衡數(shù)，并說(shuō)明理由．（3）若c=kx+1，d=x-3，且c與d是關(guān)于2的平衡數(shù)，若x為正整數(shù)，求非負(fù)整數(shù)k的值．5．給定一列數(shù)，我們把這列數(shù)中的第一個(gè)數(shù)記為a1，第二個(gè)數(shù)記為a2，第三個(gè)數(shù)記為a3，依此類推，第n個(gè)數(shù)記為an（n為正整數(shù)），如下面這列數(shù)2，4，6，8，10中，a1=2，a2=4，a3（1）已知一列數(shù)1，?2，3，?4，5，?6，7，?8，9，?10，則a3=，sum(（2）已知這列數(shù)1，?2，3，?4，5，?6，7，?8，9，?10，…，按照規(guī)律可以無(wú)限寫下去，則a2022=，sum(（3）在（2）的條件下否存在正整數(shù)n使等式|sum(a6．已知一列，數(shù)a1，a2，a3，…，具有以下規(guī)律：a例：若a0=1，則a1a3=aa5請(qǐng)認(rèn)真閱讀上面的運(yùn)算推理過(guò)程，完成下面問(wèn)題.（1）若a0①a3=，a②在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a3，點(diǎn)B所表示的數(shù)為a（2）已知|a9?3|+|7．閱讀材料：我們定義：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的和等于這兩個(gè)實(shí)數(shù)的積，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)就叫做“和積等數(shù)對(duì)”，即：如果a+b=a×b，那么a與b就叫做“和積等數(shù)對(duì)”，記為(a，例如：2+2=2×2，12+(則稱數(shù)對(duì)(2，2)，(1根據(jù)上述材料，解決下列問(wèn)題：（1）下列數(shù)對(duì)中，“和積等數(shù)對(duì)”是(填序號(hào))；①(?23，2)；②(（2）如果(x，（3）如果(m，n)是“和積等數(shù)對(duì)”，那么m=（用含8．【背景知識(shí)】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．研究數(shù)軸時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)有許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為a，b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a?b|，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為a+b2【知識(shí)應(yīng)用】如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為5，點(diǎn)B表示的數(shù)為3，點(diǎn)C表示的數(shù)為－2，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）填空：①A，C兩點(diǎn)之間的距離AC=，線段BC的中點(diǎn)表示的數(shù)為．②用含t的代數(shù)式表示：t秒后點(diǎn)P表示的數(shù)為．（2）若點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，當(dāng)t為何值時(shí)，MB=1（3）【拓展提升】

在數(shù)軸上，點(diǎn)D表示的數(shù)為9，點(diǎn)E表示的數(shù)為6，點(diǎn)F表示的數(shù)為－4，點(diǎn)G從點(diǎn)D，點(diǎn)H從點(diǎn)E同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)它們各自到達(dá)點(diǎn)F時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，線段GH的中點(diǎn)為點(diǎn)K，當(dāng)t為何值時(shí)，HK=3．9．定義：對(duì)于一個(gè)有理數(shù)x，我們把[x]稱作x的“牛牛”數(shù)；“牛牛”數(shù)的作用：若x＞0，則[x]＝x-2；若x＜0，則[x]＝x+2，規(guī)定[0]＝0例：[1]＝1-2＝-1，[-2]＝-2+2＝0．（1）求[32（2）已知有理數(shù)a＞0，b＜0，且滿足[a]＝[b]，試求代數(shù)式（b-a）3-4a+4b的值．（3）解方程：[2x]+[x+1]＝1．10．已知a，b為不相等的實(shí)數(shù)，且a，b均不為0，現(xiàn)定義有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)的“真誠(chéng)值”為：d(a，b)=ab2（1）根據(jù)上述的定義填空：d(?3，4)=，d(3（2）數(shù)對(duì)(a，2)的“真誠(chéng)值”d(a，11．如果兩個(gè)方程的解相差k，且k為正整數(shù)，則稱解較大的方程為另一個(gè)方程的“k—后移方程”．例如：方程x?3=0的解是x=3，方程x?1=0的解是x=1所以：方程x?3=0是方程x?1=0的“2—后移方程”．（1）判斷方程2x?3=0是否為方程2x?1=0的k—后移方程（填“是”或“否”）；（2）若關(guān)于x的方程2x+m+n=0是關(guān)于x的方程2x+m=0的“2—后移方程”，求n的值（3）當(dāng)a≠0時(shí)，如果方程ax+b=1是方程ax+c=1的“3—后移方程”求代數(shù)式6a+2b?2(c+3)的值．12．閱讀下面的材料：我們知道，在數(shù)軸上，|a|表示有理數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，同樣的道理，|a?2|表示有理數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到有理數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離，例如，|5?2|=3，表示數(shù)軸上有理數(shù)5對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到有理數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離是3．請(qǐng)根據(jù)上面的材料解答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)用上面的方法計(jì)算數(shù)軸上有理數(shù)-9對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到有理數(shù)3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離；（2）填空：|a?1|表示與理數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與有理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離；如果|a?1|=3，那么有理數(shù)a的值是；（3）填空：如果|a?1|+|a?6|=7，那么有理數(shù)a的值是．（4）是否存在有理數(shù)a，使等式|a?1|+|a?6|的結(jié)果等于4？如果存在，請(qǐng)直接寫出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因．13．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉最先把關(guān)于x的多項(xiàng)式用記號(hào)f（x）來(lái)表示.例如：f（x）＝x2+x-1，當(dāng)x＝a時(shí).多項(xiàng)式的值用f（a）來(lái)表示，即f（a）＝a2+a-1.當(dāng)x＝3時(shí)，f（3）＝32+3-1＝11.（1）已知f（x）＝x2-2x+3，求f（1）的值.（2）已知f（x）＝mx2-2x-m，當(dāng)f（-3）＝m-1時(shí)，求m的值.（3）已知f（x）＝kx2-ax-bk（a.b為常數(shù)），對(duì)于任意有理數(shù)k，總有f（-2）＝-2，求a，b的值.14．閱讀理解：在解形如3|解法一：我們可以運(yùn)用整體思想來(lái)解.移項(xiàng)得3|x?2|?|x?2|=4，2|x?2|=4，|x?2|=2，x?2=±2，x=4或x=0.解法二：運(yùn)用分類討論的思想，根據(jù)絕對(duì)值的意義分x<2和x≥2兩種情況討論：①當(dāng)x<2時(shí)，原方程可化為?3(x?2)=?(②當(dāng)x≥2時(shí)，原方程可化為3(x?2)=(∴原方程的解為x=0或x=4.解題回顧：本解法中2為x?2的零點(diǎn)，它把數(shù)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)分成了x<2和x≥2兩部分，所以分x<2和x≥2兩種情況討論.問(wèn)題：結(jié)合上面閱讀材料，解下列方程：（1）解方程：|（2）解方程：|15．定義：若整數(shù)k的值使關(guān)于x的方程x+42（1）判斷當(dāng)k=1時(shí)是否為方程x+42（2）方程x+4216．定義：如果兩個(gè)一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個(gè)方程為“美好方程”.例如：方程2x?1=3和x+1=0為“美好方程”.（1）方程4x?(x+5)（2）若關(guān)于x的方程x2+m=0與方程（3）若關(guān)于x方程2x?n+3=0與x+5n?1=0是“美好方程”，求n的值.17．?dāng)?shù)學(xué)巨人歐拉最先把關(guān)于x的多項(xiàng)式用記號(hào)f(x)來(lái)表示，例如f(x)=x2+3x?5，并把x等于某數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的值用f（某數(shù)）來(lái)表示，例如x=1時(shí)多項(xiàng)式x（1）若f(x)=2x?3，①求f(?1)的值；②若f(x)=7，求x的值（2）若g(x)=|x?2|，?(x)=|x+3|，試探究g(x)+?(x)的最小值，并指出此時(shí)x的取值范圍.18．探究題：閱讀下列材料，規(guī)定一種運(yùn)|abcd|=ad?bc（1）|1?33?2（2）若|x+8x?119．東東在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)遇到一個(gè)定義：將三個(gè)已經(jīng)排好順序數(shù)：x1，x2，x3，稱為數(shù)列x1，x2，x3，計(jì)算|x1|，|x1+x2|2，|x1+x2+x3|3，將這三個(gè)數(shù)的最小值稱為數(shù)列x1東東進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：當(dāng)改變這三個(gè)數(shù)的順序時(shí)，所得到的數(shù)列都可以按照上述方法計(jì)算其相應(yīng)的最佳值．如數(shù)列?1，2，3的最佳值為12；數(shù)列3，?1，2的最佳值為1；…，經(jīng)過(guò)研究，東東發(fā)現(xiàn)，對(duì)于“2，?1，3”這三個(gè)數(shù)，按照不同的排列順序得到的不同數(shù)列中，最佳值的最小值為1（1）數(shù)列?5，?4，3的最佳值為（2）將“?5，?4，3”這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)數(shù)列，這些數(shù)列的最佳值的最小值為，取得最佳值最小值的數(shù)列為（寫出一個(gè)即可）；（3）將2，-8，a（a>1）這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)數(shù)列．若這些數(shù)列的最佳值的最小值為1，求a的值．

答案解析部分1．【答案】?2．【答案】93．【答案】是；1；-74．【答案】（1）-1；x-5（2）解：a與b是關(guān)于2的平衡數(shù)，理由：∵a=x2-4x-1，b=x2-2(x2-2x-1)+1，∴a+b=(x2-4x-1)+[x2-2(x2-2x-1)+1]=x2-4x-1+x2-2(x2-2x-1)+1=x2-4x-1+x2-2x2+4x+2+1=2，∴a與b是關(guān)于2的平衡數(shù)：（3）解：∵c=kx+1，d=x-3，且c與d是關(guān)于2的平衡數(shù)，∴c+d=2，∴kx+1+x-3=2，∴(k+1)x=4，∵x為正整數(shù)，∴當(dāng)x=1時(shí)，k+1=4，得k=3，當(dāng)x=2時(shí)，k+1=2，得k=1，當(dāng)x=4時(shí)，k+1=1，得k=0，∴非負(fù)整數(shù)k的值為0或1或3．5．【答案】（1）3；-5（2）-2022；-1011（3）解：在（2）的條件下存在正整數(shù)n使等式|sum(a當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，|sum(a1：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，|sum(a1：6．【答案】（1）解：①-2；-6；②②a9∴AB=?2?(?6)=4，即線段AB的長(zhǎng)4；（2）解：由題意，a9=a∵|a∴|3a當(dāng)3a0+2<03?3a0?3當(dāng)?23?3a0+3當(dāng)a0≥1時(shí)，3a綜上，a0=?77．【答案】（1）②（2）解：由題意得：x+4=4x，解得x=4（3）n8．【答案】（1）7；12（2）解：M：?2+2t+5∵M(jìn)B=∴|t+32∴t?32=±12

（3）解：①當(dāng)0≤t≤5時(shí)，運(yùn)動(dòng)t秒后，點(diǎn)G表示的數(shù)為9?t，點(diǎn)H表示的數(shù)為6?2t，K點(diǎn)表示9?t+6?2t∵HK=3

∴152?32②當(dāng)5≤t≤13時(shí)，運(yùn)動(dòng)t秒后，點(diǎn)G表示的數(shù)為9?t，點(diǎn)H表示的數(shù)為?4，M點(diǎn)表示9?t+(?4)2=5∴52?12綜上所述，當(dāng)t=3或t=7時(shí)，HK=3．9．【答案】（1）解：[32]＝32-2＝-[-1]＝-1+2＝1；（2）解：a＞0，b＜0，[a]＝[b]，即a-2＝b+2，解得：a-b＝4，則b-a=-4，故（b-a）3-4a+4b＝（b-a）3-4（a-b）＝（-4）3-16＝-80；（3）解：當(dāng)x≥0時(shí)，方程為：2x-2+x+1-2＝1，解得：x＝43當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，方程為：2x+2+x+1-2＝1，解得：x＝0（舍棄），當(dāng)x＜-1時(shí)，方程為：2x+2+x+1+2＝1，解得：x＝-43故方程的解為：x＝±410．【答案】（1）32；9（2）解：當(dāng)a>2時(shí)，4a?a=8，解得，a=8當(dāng)a<2時(shí)，2a2?2=8∴a=±5∵a<2，∴a=?5綜上所述，當(dāng)d(a，2)=8時(shí)，a=811．【答案】（1）是（2）解：解方程2x+m+n=0，得x=?m?n解方程2x+m=0，得x=?m∵關(guān)于x的方程2x+m+n=0是關(guān)于x的方程2x+m=0的“2—后移方程”，∴?m?n2∴n=?4；（3）解：解方程ax+b=1，得x=1?b解方程ax+c=1，得x=1?c∵方程ax+b=1是方程ax+c=1的“3—后移方程”，∴1?ba∴c=3a+b，把c=3a+b代入6a+2b?2(c+3)，∴原式=6a+2b?2(3a+b+3)=6a+2b?6a?2b?6=?6．12．【答案】（1）解：數(shù)軸上有理數(shù)-9對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到有理數(shù)3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為|?9?3|=12；（2）1；4或-2（3）0或7（4）解：不存在，因?yàn)榇说仁奖硎緮?shù)軸上有理數(shù)a所在點(diǎn)到有理數(shù)1和6所在點(diǎn)的距離之和，距離之和最小為5，因此不存在滿足題意的有理數(shù)a．13．【答案】（1）解：當(dāng)x＝1時(shí)，f（1）＝1-2+3＝2；（2）解：當(dāng)x＝-3時(shí)，f（-3）＝mx2-2x-m＝9m+6-m＝m-1，∴m＝-1；（3）解：當(dāng)x＝-2時(shí)，f（-2）＝kx2-ax-bk＝4k+2a-bk＝-2，∴（4-b）k+2a＝-2，∵k為任意有理數(shù)，∴4-b＝0，2a＝-2，∴a＝-1，b＝4.14．【答案】（1）解：移項(xiàng)得|x?3合并得?2|兩邊同時(shí)除以?2得|x?3所以x?3=±4，所以x=?1或x=7；（2）解：當(dāng)x≤?1時(shí)，原方程可化為2?x+3(x+1)=x?9，解得當(dāng)?1<x≤2時(shí)，原方程可化為2?x?3(x+1)=x?9，解得當(dāng)x>2時(shí)，原方程可化為?2+x?3(x+1)=x?9，解得所以原方程的解為x=?14或x=815．【答案】（1）解：當(dāng)k=1時(shí)，原方程化為：x+42整理得：x+6=2x，解得：x=6，即當(dāng)k=1時(shí)，方程的解為整數(shù).根據(jù)新定義可得：k=1是方程x+42（2）解：方程x+42+1=kx“友好系數(shù)”個(gè)數(shù)是有限的，理由如下，

去分母得：x+4+2=2kx，整理得：(2k?1)x=6，方程的解為：x=6當(dāng)2k?1=±1，2k?1=±2，2k?1=±3，2k?1=±6時(shí)，滿足方程的解x為整數(shù)，此時(shí)k的值為：1，0，32，?12，2，-1，7經(jīng)檢驗(yàn)，取上述k的值，2k?1均不為0，其中k為整數(shù)才稱為“友好系數(shù)”，所以k的值為：1，0，2，-1.所以方程x+42