2．1.2一元二次方程的解集及其根與系數的關系[課程目標]1.會用配方法求一元二次方程的解集；2.會用根與系數的關系求解根的問題．知識點一一元二次方程根的解集[填一填]關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)利用配方法，總可以寫成eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＝eq\f(b2－4ac,4a2)，其中Δ＝b2－4ac.(1)當Δ＝b2－4ac>0時，方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，\f(－b－\r(b2－4ac),2a)))；(2)當Δ＝b2－4ac＝0時，方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))；(3)當Δ＝b2－4ac<0時，方程的解集為?.知識點二一元二次方程根與系數的關系[填一填]關于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根為x1，x2，則x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).[答一答]1．關于x的方程x4－2x2－3＝0一定有四個解嗎？提示：不對．有兩解．方程配方得(x2－1)2＝4，x2－1＝±2，x2＝3或x2＝－1(舍)，所以x＝±eq\r(3)，兩解．2．解關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的步驟是什么？提示：先因式分解，若能分解，則直接求解．若分解不開，則求Δ，根據Δ的符號確定方程解的情況．類型一求一元二次方程的解集[例1]求下列關于x的一元二次方程的解集．(1)x2－6x－5＝0;(2)9x2＋6x＋1＝0；(3)－2x2＋5x－4＝0.[解](1)x2－6x－5＝0，配方得(x－3)2＝14，解得x－3＝±eq\r(14)，即x＝3±eq\r(14)，因此方程的解集為{3＋eq\r(14)，3－eq\r(14)}．(2)9x2＋6x＋1＝0，配方得(3x＋1)2＝0，解得3x＋1＝0，即x＝－eq\f(1,3)，因此方程的解集為{－eq\f(1,3)}．(3)－2x2＋5x－4＝0變形為2x2－5x＋4＝0，Δ＝(－5)2－4×2×4＝－7<0，因此方程的解集為?.可先配方再求解，也可直接利用求根公式求解，最后一定要寫成解集的形式.[變式訓練1]求下列關于x的一元二次方程的解集．(1)2x2－6x＋3＝0;(2)x2＋x＋1＝0；(3)4x2－12x＋9＝0.解：(1)Δ＝(－6)2－4×2×3＝12，由求根公式得x＝eq\f(6±\r(12),2×2)＝eq\f(3±\r(3),2)，方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(3),2)，\f(3＋\r(3),2))).(2)Δ＝12－4×1＝－3<0，方程x2＋x＋1＝0的解集為?.(3)4x2－12x＋9＝0，配方得(2x－3)2＝0，解得x＝eq\f(3,2)，方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))).類型二轉化為一元二次方程求解集[例2]求下列關于x的方程的解集．(1)x－4eq\r(x)－3＝0;(2)2x4－3x2－1＝0.[解](1)設eq\r(x)＝t，則t≥0，方程變形為：t2－4t－3＝0，配方得(t－2)2＝7，解得t＝2±eq\r(7)，∵t＝2－eq\r(7)<0舍去，∴eq\r(x)＝2＋eq\r(7)，解得：x＝11＋4eq\r(7)，故原方程解集為{11＋4eq\r(7)}．(2)設x2＝t，則t≥0，方程變形為2t2－3t－1＝0，則Δ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17>0，由求根公式得t＝eq\f(3±\r(17),2×2)＝eq\f(3±\r(17),4).∵t>0，∴t＝eq\f(3＋\r(17),4)，∴x2＝eq\f(3＋\r(17),4)，∴x＝±eq\f(\r(3＋\r(17)),2)，方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3＋\r(17)),2)，－\f(\r(3＋\r(17)),2))).可因式分解后再求解，也可先換元轉化為一元二次方程再求解，注意新元的條件，最后寫成解集的形式.[變式訓練2]求下列關于x的方程的解集．(1)2x＋7eq\r(x)＋4＝0;(2)x4－6x2＋5＝0.解：(1)設eq\r(x)＝t，則t≥0，方程變形為2t2＋7t＋4＝0，Δ＝72－4×2×4＝17>0，由求根公式得t＝eq\f(－7±\r(17),4)<0，故原方程解集為?.(2)x4－6x2＋5＝0，變形為(x2－1)(x2－5)＝0，即x2－1＝0或x2－5＝0，解得x＝±1或x＝±eq\r(5)，原方程解集為{1，－1，eq\r(5)，－eq\r(5)}．類型三一元二次方程根與系數關系的應用[例3]若x1，x2分別是方程x2＋2x－2018＝0的兩個實根，試求下列各式的值：(1)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)；(2)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)；(3)(x1－5)(x2－5);(4)|x1－x2|.[思路分析]本題若直接用求根公式法求出方程的兩個根，再代入求值，則計算較復雜．此題應根據各式的特點，利用韋達定理來解答，使計算更簡單．[解]由韋達定理得x1＋x2＝－2，x1x2＝－2018.(1)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2018)＝4040.(2)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(－2,－2018)＝eq\f(1,1009).(3)(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2018－5×(－2)＋25＝－1983.(4)|x1－x2|＝eq\r(x1－x22)＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(－22－4×－2018)＝2eq\r(2019).不求根時，可先將各式轉化成與韋達定理有關的關系式，再代入系數求解.但用韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式Δ是否大于或等于零.[變式訓練3]已知x1和x2分別是一元二次方程2x2＋3x－6＝0的兩個實根，求下列各式的值：(1)|x1－x2|；(2)eq\f(1,x\o\al(2,1))＋eq\f(1,x\o\al(2,2))；(3)xeq\o\al(3,1)＋xeq\o\al(3,2).解：由韋達定理得x1＋x2＝－eq\f(3,2)，x1x2＝－3.(1)|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2－4×－3)＝eq\f(\r(57),2).(2)eq\f(1,x\o\al(2,1))＋eq\f(1,x\o\al(2,2))＝eq\f(x1＋x22－2x1x2,x1x22)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2－2×－3,－32)＝eq\f(11,12).(3)xeq\o\al(3,1)＋xeq\o\al(3,2)＝(x1＋x2)(xeq\o\al(2,1)－x1x2＋xeq\o\al(2,2))＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2－3×－3))＝－eq\f(135,8).1．方程x2－x＋1＝0的解集為(D)A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(5),2)，\f(1－\r(5),2))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(5),2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2))) D．?解析：Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3<0，方程無解．故選D.2．方程mx2－2x＋1＝0的解集為{1}，則m＝(A)A．1 B．－1C．0 D．2解析：將x＝1代入方程得m＝1，故選A.3．方程x2－3x＋1＝0的兩根為x1，x2，則xeq\o\al(2,1)x2＋xeq\o\al(2,2)x1＝(A)A．3 B．－3C．2 D．－2解析：由已知得，x1＋x2＝3，x1x2＝1，則xeq\o\a