《大學物理》綜合練習（四）

——靜電學

教學班級：序號：姓名：日期：

一、選擇題（把正確答案的序號填入括號內）

1.兩個電量都是+q的點電荷相距2α,。為其連線的中

點，如圖所示。則其中垂線y軸上，場強取極大值的點

到。點的距離為

(A)-∣-;(Bga；(C)4a；(D)√2ao

解：E=2EACOsa=2―

4πε0rr

2.真空中兩帶電平行板A、B,板間距為d（很小），板面積為S,帶電量分別為+Q和

-Q.若忽略邊緣效應，則兩板間作用力的大小為

(?)-??唱;

4吟d~?箸⑼條

,F=QE=^2-

解:1

2%S

3.如圖，A、B是真空中兩塊相互平行的均勻帶電平面,

電荷面密度分別為+。和-2cr,若A板選作零電勢參考

點，則圖中。點的電勢是

,A受

3σd

(C)-(D)

￡。

解：￡=2+也=或

Ze。2202E0

Ua=JwdZ=-

4.四個點電荷的電量相等，兩正兩負置于正方形的四角上，

...φ

如圖所示。令U和E分別為圖示中心。處的電勢和場強的

i

大小，當僅有左上角的點電荷存在時，。點處的電勢和場強

?/>

分別為U0和E0,試問U和E的值為多少？

(A)U=U0,E=E0;(B)U=O,E=O;

(C)U=0,E-4E0；(D)U-4U0,E=0。Θ--------?

解：E=Eλ+E2+E3+E4=0

U=Ul+4++鞏=0

5.如圖所示，在相距2R的點電荷+q和—q的電場中，把點電荷+。從。點沿OC。移到

。點，則電場力作功與+Q(系統)電勢能的增量分別為

(?)?,⑻*，?,

4疵OR4笳OR4笳OR4叫)R

+4O-qn

(C)^;(D)^

6.0R6宓OR6πε0R6πε°R

解:

Qq

WD-WO=-AOD=-

6兀R

6.兩大小不相等的金屬球，大球半徑是小球半徑的二倍，小球帶電量為+q,大球不帶電。

今用導線將兩球相連，則有

(A)兩球帶電量相等；(B)小球帶電量是大球的兩倍；

(C)兩球電勢相等；①)大球電勢是小球的兩倍。

解：兩球電勢相等

7.有一接地導體球，半徑為R,距球心2R處有一點電荷

-4,如圖所示。則導體球面上的感應電荷的電量是

(A)O;(B)—q；(C)g∕2;①)-q∕2°

解：U。=---------------=0

吟

4πε0R42R

一

q-2

8.一無限大均勻帶電介質平板A,電荷面密度為力，將介質板移近一導體B后，此時導體

8表面上靠近P點處的電荷面密度為P點是極靠近導

體8表面的一點，如圖所示，則P點的場強是

(A)舁+3；(B)『多；(C)生+白

2j2j2εa2ε0ε02ε0分

C

(D)”—￡L；(E)2；(F)以上都不對。

42ε0

B

解：利用導體靜電平衡條件和高斯定理可證。

9.兩個同心金屬球殼，半徑分別為八、r2{r2>ι?),如果外球殼帶電4而內球殼接地，則

內球殼帶電為

(A)O;(B)—4；?%;(D)----Lqo

r2r2

解：球心電勢Uo=----1---—=0,q,=——q

4≡0r24≡0r1r2

10.如圖所示，一個封閉的空心導體，觀察者A(測量儀器)和電荷

2置于導體內，而觀察者B和電荷置于導體外，下列說法中

Iw一種是正確的?B

(A)A只觀察到0產生的場，B只觀察到Q2產生的場；

可觀察到和Q產生的場，只觀察到Q產生的場；

(B)A22B2?Q

(C)A只觀察到。產生的場，B可觀察到2和Q產生的場。

解：導體空腔外的電荷對導體腔內的電場及電荷分布沒有影

響，A只觀察到Ql產生的場；

Ql通過在腔外表面感應出等量同號電荷影響外電場，B

可觀察到Ql和。2產生的場。

11.密度均勻的電荷分布在半徑為”的球內，其總電量為Q,則系統的總靜電能為

(A)-≤^;(B)普二；(C)Q2；(D)-L

8您0。20點Oa12笳OCr8宓0a

解：利用高斯定理

,口Qr、口Q

r<a：E=--------；r>a：E=--------

ii2

4πεfia4叫r

We=-εE2,

2

W=己與歐dV+己/域dV=30

JO201Ja2°220fa

12.一個半徑為用的金屬球帶有正電荷Q,球外包圍著一層同心的相對介電常數為％.的均

勻電介質球殼層，其內半徑為此，外半徑為此,在電介質內的點α距離球心為乙億<%)，

則4點的電勢為

(A)——；(B)---+---；

4加上4πεnRl4πεrεnru

(C)^;⑼―+」-。

4加戶。%4%/HR1)4πεnR2

解：由高斯定理

RI<r<R2：E1=----——-；

4πε0εrr

r>氏2:E?-22

4fr

K=fE?dZ=fE.dZ+∫∞EAl

aa122

------Q--------(----1---------1---YI-----------Q--------

^πεrε^raR2J4笳

二'填充題(單位制為SI)

1.如圖所示，兩個點電荷力與紜位于坐標X軸上，已知

兩電荷間距離為。，A點到％的距離為4,則A點的場

強后=Ej+Ej,其中Er=--------"F

,4宓0”+從)

bQsX

]q】a%

221

4在O(α2+bya

解：EI=-------A—-,E2=-^-

4笳0(〃+b)4笳Oa

cos3=/卜,sin6=/CI

y∣a2+b2^a2+b2

Ex=-E1CoSe=---4-麻----o--(y/+方2產2

2.一無限長帶電圓柱體，半徑為從其電荷體密度Q=K/r,K為常數，r為軸線到場點

bκK

的距離，則帶電圓柱所產生的場強分布在圓柱體外為E=——；在圓柱體內為E=一。

%a￡^

解：利用高斯定理，做半徑為α,長為Z的圓柱形高斯面

a>b：2πalE=^=??ɑpdV=??ɑ-2^rZdr

%%與,

a<b：2τaιl?E=^=??ɑpdV=??ɑ-2^rZdr

%%與r

￡。

3.把單位正電荷從一對等量異號電荷連線中點。，沿任

意路線移到無窮遠處，則電場力對該單位正電荷所作

的功為O。

解:

或AO∞=-LJ∞)=°

4.長度為L的細玻璃棒，沿著長度方向均勻地分布著電

荷，總電量為Q,如圖所示。在棒的軸向有一點P,離卜「十L1J

棒左端的距離為r,則P點的電勢U=J

??nAiioh~~?--------H0

4您OLr

解：U=

4πε0x

[r+L2dxQ1L+r

=Jr--------=---------???-------

4呵X4呵Lr

5.如圖所示，有一半徑為R的均勻帶電圓環，帶電量為。，

其軸線上有兩點“和匕，石=Z=R。設無窮遠處的電勢

為零,。、兩點的電勢分別為0和U,,則幺2

q

QQ

解：ui=

4疵Oy∣R2+R24冗￡。√2∕?

1

U2-QQ

4fJR2+4R24≡0√5Z?

2

Ul

6.接第5題，把電荷q從“點移到〃點，外力作的功A外=

解：電場力的功Aab=q(U1-U2)

外力作功A外=“2一％)二盤(專一專

7

7.在帶電量為Q的導體球外部有一相對介電常數為￡,的電介質球殼，在電介質內外分別

為有兩點A、B,它們到球心的距離為與和R?,則

QQ

E(4)=,。2；f<β)=T-?i

4z疫0%RI-4在ORW

QQ

O(A)=^y;D(B)=

4成:4成：

解：利用E、0的高斯定理及E、D

+Q

關系求解。

8.兩帶電量皆為+Q的點電荷相距24,一接地的半徑為廠的導體球置于它們中間，如圖所

示。則導體球所帶的凈電量4=-22；若去掉接地線，把導體球充電到電勢U,則導

a

r（4您0。一半）

體球所帶凈電量d=

b?

9.有一固定不動半徑為R的導體薄球殼,帶電量為-。「在薄球殼的正上方到球心”的距

離為r=3R的6點放一點電荷+。2,如圖所示。則導體薄殼中心。點的電勢U,=

Q-3Q導體薄球殼面上最高點”的電勢U“=吐也。

12在ORV2廟OR

QiQiQ-?g?

解：UO=---------------=2

所叫

4Or4R12πεiiR

Q-

Ua—Uo2

12疵OR

10.如圖所示，中性導體。內有帶電體A、B,外面有帶電體

D、E、F……,今使A、B所帶電量變化，則C外的電

場變化（變或不變）,電勢變化（變或不變）；

D、E、F……電量變化，。內的電場不變，C內的申,勢變化

解：根據導體靜電感應條件及屏蔽概念可解。

三、計算題

不講1.如圖所示，一帶電細線彎成半徑為R的圓環,

電荷線密度為X=4COS°,式中4為一常數，φ為

半徑R與X軸的夾角，試求環心。處電場強度。

解：在圓環上任取一段d/,（U到O

點的連線與X軸夾角為e，則dZ段

上的電荷

dq=λdl=λRAφ=丸OKCOSede

dq在。點產生場強的大小為

?Idq2

aEj7=-----------=0cosφaφ

4仍0R24左￡。R

dE的方向如圖所示。

dEx=-dEcos^>,dEy=-dEsin^

整個圓環上的電荷在。點產生的場強為

EX=JdEx=-fdEcos^

=?-?^eos^d^?-?

4格O衣J°ψψ4/K

Ey=JdEy=一喘L^JrCoS0sin0d。=O

..E=Exi+Eyj=-

4￡。R

不講2.一半徑為R的帶電球體，其電荷體密度P=Kr,K為正常數，r為球心到球內一

點的矢徑的大小。求此帶電球體所產生的電場強度的分布。

解：在球體內，取半徑為r的球面為高斯面，所含電量4

,2,

q=∫ypdV=∫θp4^rdr

A4U

=[r4πKr,4dr,=-πKrs

jno5

由高斯定理得

jE?ds=4m2后內=-—πKrs

Kr3

E內二,(rvK)

5￡°

在球外，取半徑為r的球面為高斯面，所含電量

2,45

q=jvpdV=∫θp4^zrdr=j^4πKrdr=-πKR

5

JE?da=4"2月外=^-πKR

(r>R)

3.一圓盤，半徑R=8.0χl()-2m,均勻帶電，而電荷面密度er=2.0x10-5CZm2,求:

(1)軸線上任一點的電勢(用該點與盤心的距離X表示)：

(2)從電場強度和電勢梯度的關系，求該點的電場強度；

(3)計算x=6.0χl0-2m的電勢和場強。

解：（1）半徑為/、寬度為dr'的窄

圓環的帶電量為

dq=σ2πrfdr,

此窄圓環在P點產生的電勢

dU=-β^-

4笳Or

整個圓環在尸點產生的電勢為

r'=(VX2+R2-x)

U=JdU=J啜^丫2Ir

√VI，2斯

⑵嗎=一也=一1

加2foUx2+2?2)

/\

=21一-/「.場強方向沿X軸正向。

2n(X2+R2J

(3)x=6.0×10^2m,jR=8.0×10^2m,

er=2.0x10-5CZm2

t7=4.5×104V,E=4.5×IO5V/m

σσ

?σ^23σ4

不講4.有兩個無限大平行平面帶電導體板，如圖所示。證明:

(1)相向的兩面上，電荷面密度總是大小相等而符號相反；

(2)相背的兩個面上，電荷面密度總是大小等而符號相同。

解：(1)取兩底面分別位于兩導體板內部

的柱面為高斯面，設底面面積為As,則由P

1234

高斯定理得

%E?dd=/側E?df+f底1E?d6+J底2Eds=O

面內包圍電荷q=σ2?s+σ3^s

??=一^3

⑵在左導體內部場強為零，即各面上的電荷在其內產

生的合場強為零

Ep=E1-E2-Ei-=O

即E-E=E+E=+=O

14232?20

￡i__?-

所以2…。一°,σ,2σ4

5.半徑為八的導體球帶有電荷q,此球外有一個內、外半徑為4、q的同心導體球殼，殼

上帶有電荷Q，如圖所示。

(1)求球的電勢q,球殼的電勢力及其電勢差AU；

(2)用導線把內球和外球殼的內表面聯結在一起后，

U.和AU各為多少？

(3)在情況(D中，若外球接地，U、、力和AU又各為

多少？

(4)在情況(D中，設外球離地面很遠，若內球接地，情

況又怎樣？

解：(1)由于靜電感應，球殼內表面應

帶電一4，外表面帶電q+。。內球電勢

Ul=J：后?d>=J；E?d>+J：E?d尸

4笳Or

(<YY、

-----H-----+Q

4

≡ol∏r2r3))4仍()G

ΤΤΤJQq工Q+q

或U1=UQ=---------------------------4--------------

4笳OrI4犯oG4笳OG

外球電勢U2=∫*E?dr=f-^^-drQ+q_

''4癥Or4f「3

1

兩球間的電勢差=U1-U2=

4笳OHr2)

⑵連接后Ul=U2=整義土Idr=旦主里