2023年新高二暑假講義第2講空間向量基本定理

新課標要求

了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解。

知識梳理

定理：如果三個向量α,h,C不共面，那么對空間任一向量p,存在有序實數組（x,丹z},

使得P=M+j≠+zc,其中{α,b,c}叫做空間的一個基底,a,b,C都叫做基向量.

名師導學

知識點1基底與基向量

【例1-1】有以下命題：『如果向量了與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么u?.E的關系是

不共線；204氏C為空間四點，且向量?不構成空間的一個基底，則點。一l.B.r一定共面;

3已知向量，；；?一是空間的一個基底，則向量了41,7Γ-b,J也是空間的一個基底，其中正確的

命題是：I

A.X②B.?ɑc.2③D.①②③

【變式訓練1-1】已知向量{“一1，」是空間的一個基底，下列能構成空間的另一個基底的是I

A.<7+7.7+7.27-2T}B.{丁，丁+T+

,,

C.{?ξ+6*+7.2β+T.7}D.{fl?,T,27i*+2^6}

知識點2空間向量基本定理及其應用

【例27】（龍華區校級期中）如圖，在平行六面體A88-44CA中，M,N分別在面對角線AC,AC

上且CM=2M4,AN=2ND.記向量AB=",AO=6,AAl=c,用α,6,c表z∏MN.

【例2-2】如圖所示，在平行六面體,1”「0-,1'。'07/中，AB^l>Λl)-3?.4Λ,≡5?NBAO-90

BIC.DΛΛ'(i∣).

Ih求"的長；

,求.1「與：位的夾角的余弦值?

【變式訓練2-1】如圖，四棱錐尸一CUBC的底面為一矩形，PO，平面O/8C,設晶=4,OC=

b,OP=c,E,尸分別為PC和PB的中點，試用”,b,C表示彷，BE,AE,EF.

【變式訓練2-2】如圖所示，已知空間四邊形4BCD的每條邊和對角線長都等于1,點、E,F,G分別是A8,

AD,CO的中點.

求卜1八

'J求EG的長.

A組-［應知應會］

1.若向量方，石，L是空間的一個基底,向量3_J.，；，n?_,；，；，那么可以與市,，，構成空

間的另一個基底的向量是：I

A.TfB.TC.7fD.2fl,

2.（東城區期末）在四面體A38中，點F在AD上，且A尸=2田，E為BC中點，則EF等于（）

112112

A.EF=-AC+-AB一一ADB.EF=——AC——AB+-AD

223223

112112

C.EF=-AC一一AB+-ADD.EF=——AC+-AB——AD

223223

3.（荷澤期末）如圖，已知正方體ABCZ）-A用GR中，點石為上底面AG的中心，若AE=A41+Λ?AB+yA3

則X+y=（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

4.（濟寧期末）如圖所示，在平行六面體45CO-AgGR中，M為4G與BQ的交點，若

AB=a,AD=b9AAl=cf則CM=（）

C.--a+-b+cD.--a--b+c

2222

5.（陽泉期末）如圖，在四面體Q4BC中,。是BC的中點，G是4）的中點，則OG等于（）

A.-OA+-OB+-OCB.-OA+-OB+-OC

333234

C.-OA+-OB+-OCD.-OA+-OB+-OC

244446

6.（煙臺期末）三棱柱1/「中，底面邊長和側棱長都相等，CIl-/"I-m,則異面

直線/",與.1從所成角的余弦值為：I

A.B.迪C.*2D.

一，

7.（多選）（南通期末）設”,b,C是空間一個基底（）

A.若bYc,則a_L匕

B.則〃，b,C兩兩共面，但〃，b,C不可能共面

C.對空間任一向量〃，總存在有序實數組（x,y,z）,使p=m+切+zc

D.則α+b,b+c"e+d一定能構成空間的一個基底

8.（邯鄲期末）如圖，在四棱柱A3CO-44G〃中，底面ABC。是平行四邊形，點￡為3。的中點，若

ΛlE=xAAl+yAB+zAD,則x+y+z=.

9.已知四棱柱八-的底面488是矩形,底面邊長和側棱長均為2,

?A∩I.I。W,則對角線〃小的長為.

10.已知｛k,<I｝為空間的一個基底，且i-,?2有?A,€)6-,

(K',…:，：，能否以｛0"網”；)作為空間的一個基底填"能"或"不能".

11.(興慶區校級期中)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線都等于1，點E，F，G分別

是AB，AD'8的中點，設

AB=a,AC=b,AD=c,α,6,c為空間向量的一組基底，

計算：

(1)EF.BA；

(2)∣EG∣.

o

12.(三門縣校級期中)如圖，在平行六面體43CO-A與GA中，AB=5,AD=3,AAi=4,ZDAB=90,

ABAAx=ZDAA,=60°,設AB=a,AD=b,AA=c.

(1)用4,b,c表示AC；

(2)求AC的長.

13.如圖，在空間四邊形04BC中，已知E是線段BC的中點，G在AE上，且AG：2CE.

(1)試用向量0A，OB)碇表示向量反j；

(2)若OA=2，OB=3>OC=4,ΛΛOB=90c?ZAOC=ZBOC=βOβ.求異面直線。G與AB

所成角的余弦值.

B組-［素養提升］

L已知平行六面體L〃的底面ABCD是菱形,且(?(/<((1)〃，如圖所示,

則當的值為多少時，平面S”/廠并給予證明.

CC1

第2講空間向量基本定理

新課標要求

了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解。

知識梳理

定理：如果三個向量α,4C?不共面，那么對空間任一向量p,存在有序實數組{x,乃z},

使得p=xn+功+zc,其中{α,b,c}叫做空間的一個基底，*b,C都叫做基向量.

名師導學

知識點1基底與基向量

【例1-1】有以下命題：1「如果向量“，了與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么的關系是

不共線；2O.?.RC為空間四點，且向量。i.C力不構成空間的一個基底，則點，.18.（'一定共面；

3已知向量力.?是空間的一個基底，則向量丁一；,1?；「一也是空間的一個基底?其中正確的

命題是；I

A?①②B.①③C.，②③D.①②③

【分析】

本題考查空間向量的基本定理，以及共線向量與共面向量，考查分析問題解決問題的能力，是基礎題.

根據空間向量的基本定理即可判斷23的正誤，找出反例判斷：命題錯誤，即可得到正確選項.

【解答】

解：1如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么，；，；的關系是不共線，不正確.

反例：如果”.了中有一個向量為零向量，1.不共線但不能構成空間向量的一組基底，所以不正確.

2。，A,B,C為空間四點，且向量瓦I而,OT不構成空間的一個基底，那么點O,A,B,C一定共面；

這是正確的.

3已知向量不；J是空間的一個基底，則向量T+√.7Γ-b.,也是空間的一個基底；因為三個向

量非零不共線，正確.

故選C.

【變式訓練1-1］已知向量{“二r.7”是空間的一個基底，下列能構成空間的另一個基底的是I

A.17Γ*7,.~b+^c.2^a-2~b\B.{K,下+7+1+7}

C.{7Γ+T+?F,27F+T.71D.{7Γ,T,27Γ+2T）

【分析】本題考查空間向量的基本定理，屬于基礎題型，能構成空間的另一個基底的條件是不共面，由此

逐項判斷即可;

【解答】解：因為2萬21>=2∣77.~c)-2{l>i7'∣,

所以?J,1+N，21.2寸共面.又因為6+^Γ+T=丁+（1T，

所以“.?/；.“，"，/,'f”共面.

不存在Λ，"，使得I+T+VA∣27T+7^∣+ΛL?,

所以u'.1.］，2<ι,'b>「不共面，

故｛丁-√--,'.?2<>■√/|可作為空間的一個基底.故選C.

知識點2空間向量基本定理及其應用

【例2-1】（龍華區校級期中）如圖，在平行六面體ABCo-ABc〃中，M,N分別在面對角線AC,A1C

上且CM=2M4,?N=2ND.記向量AB=",AO=Z>,AA=C，用α,6,c表示MN.

【分析】利用空間向量基本定理，即可得出結論.

【解答】解：MN≈MA+AAi+AtN

=-∣ΛC+A4l+∣Λ1D

=-∣(ΛB+AD)+AΛl+∣(AlA+AD)

=--AB--AD+-AA.+-AD

33313

11,I

=——a+-b+-c

333

MN=--a+-b+-c.

333

【例2-2】如圖所示，在平行六面體ABC0-4'BlC”/中，ABLAD3-AA'><Z.BAD-90β-

:?l>ΛfGO.

Ih求書"的長;

口求：1(：與.l<'的夾角的余弦值.

【解析】解［l)?.?k=加+而+五？，

Λ∣ΛC5∣,=(AS+Aβ+7Λ,?i=+I河?+?AΛ,?1+2(AH同+R∑7+#^AA,)

42+3--i?n75)=H5..?.∣Λ^∣=√S-

(2)設記與配的夾角為〃，設,fδ=R,Jβ=T>Zi

依題意得彳1?而=(N+%+7)[”=1)=?34+2m?了+7'+丁.下+了,下

.1585

16+I)+9+4*5XCUH60'+3x5XCTJeiG(『=16+9+10+=

τ2rτ2r

.?.COh伊=

【變式訓練2-1】如圖，四棱錐尸一。IBC的底面為一矩形，PO，平面ONBC,設為=α,OC=

h,OP=c,E,尸分別為PC和PB的中點，試用”,h,C表示礪，BE,AE,EF.

【解】

BE=BC+CE=~OA+^CP=—β÷^((9P-(TC)=—fl+^—∣.

AE=AO+OE=—α÷^(OP+OC)=—α+^c÷^?.

又W,F分別為PB,PC的中點，.?EF=^CB=^OA=^a.

【變式訓練2-2】如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分別是AB,

AD,CO的中點.

⑴求EF?BX；

，.,求EG的長.

【答案】解：設立U-AC'δ>AD<，

則“一。

c1,-u，/>?_?bfc>=<c,d6∏,

扉—IBD-./.'；/，5X=一。，

⑴段?BX≡(3-σ)=--??-→--;

⑵EC=鋁+玄+Q=!lδ÷(AΓ-X3)+?(?n-X?)

\11,\('?I,L?U?、，

222222

/.∣β(!∣2=/-a+6+C尸=ja?+÷‰?6—2<ι?c÷26?<*)=-,

、,，即的長為、二

1(；JEG

',22

A組-［應知應會］

1.若向量T，石，J是空間的一個基底，向量川_”1.，；，n'_Ib,那么可以與不，，，,構成空

間的另一個基底的向量是：I

A.TfB.TC.7fD.2fl,

【分析】

本題考查空間向量的共面定理的應用問題，屬于基礎題.

根據空間向量的一組基底是：任意兩個不共線，且不為零向量，三個向量不共面，從而判斷出結論.

【解答】

解：由題意和空間向量的共面定理，

結合+”“+，，J+I力-1>；20，

得"與〃是共面向量，

同理T■與、“是共面向量，

「與，；不能與"，、，，構成空間的一個基底,

又7?與Tr和h不共面,

J可與“構成空間的一個基底.

故選C.

2.（東城區期末）在四面體ABC。中，點尸在AD上，旦A尸=2H>,E為BC中點、,則M等于（）

112

A.EF=-AC+-AB--ADB.EF=——AC——AB+-AD

223223

-1.12.

C.EF=-AC一一AB+-ADD.EF=--AC+-AB--AD

223223

【分析】直接利用向量的線性運算的應用求出結果.

【解答】解：在四面體ABCD中，點尸在4)上，且ΛF=2fD,E為BC中點,

?11117

所以EF=A尸一AE=—AD—(—AB+—AC)=一—AC一一AB+-AD.

322223

故選：B.

3.（蒲澤期末）如圖，已知正方體A3C3—A4G〃中，點E為上底面AG的中心，若AE=AA+xAB+y4D

則X+y=()

13

A.-B.IC.-D.2

22

【分析】推導出4E=AA+4E=J(Ag+AR)=gA8+gAO,由此能求出x+y的值.

【解答】解：正方體ABCD-人8CQ中，點石為上底面AG的中心，

ΛE=Λ4,+Λ1E=∣(Λ1β1÷Λ1Dl)=∣AB+∣ΛD,

AE=AA1÷XAB+yAD,.?.x+y=g+；=l.

故選：B.

4.（濟寧期末）如圖所示，在平行六面體A8CL>-A耳CQ中，M為AG與BQ的交點，若

AB=α,AD=b,AA=C,則CM=()

U4+c

C.--a+-b+cD.

2222

【分析】利用向量加法的三角形法則以及平行六面體的性質即可求解.

【解答】解：在平行六面體ABCO-A與0。中，M為AG與4。的交點;

.?.CM=CB+BM

=CB+；(BA+BCJ

=-AO+^BAi+；BG

=-AZ>+∣(BA+A4l)+∣(BC+CCl)

=-AD--AB+-AA+-AD+-AA

22’22'

11,

=——a——b+c；

22

故選：D.

5.（陽泉期末）如圖，在四面體Q4BC中,。是5C的中點，G是AD的中點，則OG等于（）

B.-OA+-OB+-OC

234

C.-OA+-OB+-OCD.-OA+-OB+-OC

244446

。是BC的中點，G是A。的中點，可得OG=g(OA+O力)，

【分析】在四面體OABC中，

OD=+OC).即可得出.

【解答】解：在四面體Q4BC中，。是BC的中點，G是4）的中點,

則OG='(OA+OD),OD=-(OB+OC).

22

OG=-OA+-OB+-OC.

244

故選：C.

6.（煙臺期末）三棱柱.1〃「一（’中，底面邊長和側棱長都相等，CII,/L11：-仙，則異面

直線與.1從所成角的余弦值為：

A.?B.D.

【分析】本題主要考查了空間向量在解決立體幾何問題中的應用，考查空間向量基本定理，向量的數量積

公式及應用，考查學生的計算能力，屬于較難題.

先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向量用基底

表示，然后利用夾角公式求異面直線1〃與〃一所成角的余弦值即可.

【解答】

設;HI=<'，η=Μ，而=了，棱長均為L

則7i*?l?=!,b-P=1,K?T*=

222

.麗=/+/，拓=%-K+N，

.?.福?西=(丁+?F)?(T-TT+7)

1.111

=2^,+2+2^2+1=1,

∣∕∣β∣!=UB+3產

=√fl,2+2α*?7+72

=√1+1+1=√*3'

2

∣∏G∣=v∕(Γ-<r+r)

=√l+l+l-l+l-l=√2^

,.S.ι∕>.//(,`”，

異面直線.I從與/“?∣所成角的余弦值為`八，

6

故選A.

7.（多選）（南通期末）設”,b,C,是空間一個基底（）

A.若“_1_人，hLc,則a_Lc

B.則α,b,C兩兩共面，但b,C不可能共面

C.對空間任一向量0,總存在有序實數組（x,y,z）,使P=X4+）歸+zc

D.則a+6,b+c,c+α一定能構成空間的一個基底

【分析】利用α,b,e是空間一個基底的性質直接求解.

【解答】解：由α,b,C是空間一個基底，知：

在4中，若α,b,blc,則。與C相交或平行，故A錯誤；

在3中，a,b,C兩兩共面，但α,b,C不可能共面，故B正確；

在C中，對空間任一向量p,總存在有序實數組（x,y,z）,使P=W+效+ze,故C正確；

在￡＞中，a+b,b+c,c+α一定能構成空間的一個基底，故。正確.

故選：BCD.

8.（邯鄲期末）如圖，在四棱柱A8CO-4BClA中，底面43CO是平行四邊形，點E為W）的中點，若

AtE=XAAx+yAB+zAD,貝IJX+y+z=.

【分析】根據向量的三角形法則結合已知條件即可求解;

【解答】解：連接他（圖略），

由題意可得AE=JAB+」A。，

22

則AE=AE-A41=^AB+^AD-AA,.

因為AE=XM+yAB+zAD,

所以％=T,y=z=-,

了2

所以x+y+z=O.

故答案為：0

9.已知四棱柱八打「0-的底面ABC。是矩形，底面邊長和側棱長均為2,

14/JVIDW,則對角線〃/)的長為.

【分析】

本題考查空間向量的運算及模的求法，屬于中檔題.

【解答】

解：設.1"√.?f)hA.??

則V~S、?>=90".<~a."?>=<7."?>=00>>∣7∣Hlbl=|7|=2>

IΠ)?UΛ÷.W-DDi萬.6+7,

∣BD∣,=β*,+T2+72-27r?6,-21f?'F+2Γ7=4+l+4-2x2×2×^÷

2?2>2■?-12，

2

則對角線”〃：的長為八：”

故答案為八：i.

,

10.已知｛E■.二.仃｝為空間的一個基底，且H=「；+2河-r；，θβ=-3<l÷<2>2-；-

<>("，；?，；］，；，能否以｛。D上行Z作為空間的一個基底填"能"或"不能".

【解析】解：?｛γ^?匚?/)為空間的一個基底,

,

且列=<；+2。；-「；，θS=-3<∣+<?+2rj,÷?71,

設向量CLi,()1),共面，則存在實數〃?，”，使沅Lm砒+n3T,

-3"J?n=1

rπ÷N≡≡2

6

2m--n=-J

117

=-π=—

解得I,I；

因此｛O?,()∣iθ('■：不能作為空間的一個基底.

故答案為：不能.

11.(興慶區校級期中)如圖所示，已知空間四邊形ABCz)的每條邊和對角線都等于1,點E,F,G分別

是43,AD,Co的中點，設

AB=G,AC=b,AD=c,α,Rc為空間向量的一組基底,

計算：

(1)EF-BA；

【分析】(I)利用數量積公式先求c?α的值，再根據EF.8A=(gc-gα)?(-α)求得結果；

(2)由EG=EB+BC+CG=」a+,〃+'c,先平方，再開平方.

222

【解答】解：(1)由題意，AB=a,AC=b,AD=c,

則IaHbl=ICl==1'<cι,b>=<b,c>=<3,a>=60°,

/.EF?BA=(―c--6r)?(-6f)??；

(2)EG=EB+BC+CG=--a+-b+-c,

222

2111?1111

.?.EG=-a"9÷-?72*4+-C2——a?b——α?c+-b?c=一,

4442222

??.IEG當，

ap∣EG∣=-.

12.(三門縣校級期中)如圖，在平行六面體A88-ABC。中，AB=5,AE)=3,A4,=4,NDA8=90。,

ZBAA1=ZDAA1=60°,設AB=α,AD=b,AA1=c.

(1)用〃，b,c表示AC；

(2)求AC的長.

DI

G

DL…/____LJCl

【分析】(1)由空間向量加法法則得AG=AB+8C+CC∣=AB+AO+A41,由此能求出結果.

，2?

(2)AC1=(α+b+C)2,由此能求出AG的長.

【解答】解：(1)在平行六面體ABCn-A中，AB=a,AD=h,AA1=C,

.*.ACl=AB+BC+CCl=AB+AD+AA1=α+b+c.

(2)AB=5,Ae)=3,Λ41=4,ZZMB=90。，ZBAA.=ZDAA,=60°,

AG=AB+BC+CCI=AB+AD+AA1=α+Z?+C.

,ACj=(d+b+c)2

=Cr+b~+c"+2。"+2a?c+QJ7?c

=25+9+16+0+2×5×4×∞s600+2×3×4×cos600

=82.

.?.AC1的長I4Gl=版.

13.如圖，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點，G在AE上，且AG=2GE?

(ι)試用向量OA,o?i,C表示向量；

(2)若OA=2，OB=3，OC=4,NAoB-