第三章遠(yuǎn)期與期貨定價(jià)1第一節(jié)遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格2交割價(jià)格〔deliveryprice〕:合約中規(guī)定的未來(lái)買(mǎi)賣(mài)標(biāo)的物的價(jià)格稱(chēng)為交割價(jià)格，用K表示。顯然，如果遠(yuǎn)期〔期貨〕合約一旦簽訂，交割價(jià)格是恒定不變的，到期時(shí)合約按照交割價(jià)格進(jìn)行交割。一、遠(yuǎn)期價(jià)值、遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格(b)遠(yuǎn)期空頭的到期盈虧(a)遠(yuǎn)期多頭的到期盈虧標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格KK盈虧盈虧圖3.1遠(yuǎn)期與期貨多頭〔空頭〕的盈虧狀況3遠(yuǎn)期價(jià)值〔forwardvalue〕：遠(yuǎn)期合約本身的價(jià)值〔多頭或空頭購(gòu)置或出售合約本身給他們帶來(lái)的價(jià)值〕。☆例1：一個(gè)交割價(jià)格〔K〕為10元、交易數(shù)量為100單位、距離到期日還有一年〔T-t〕的遠(yuǎn)期合約，如果標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格〔S〕為15元，市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利率〔r〕為10%，那么對(duì)于多頭來(lái)說(shuō)，該遠(yuǎn)期合約的價(jià)值就為〔15-10*e-10%*1〕*100=595元。對(duì)于空頭來(lái)說(shuō)，該遠(yuǎn)期合約價(jià)值就為-595元。4遠(yuǎn)期價(jià)格〔forwardprice〕：指使一個(gè)遠(yuǎn)期合約價(jià)值為零的交割價(jià)格。☆例1：一個(gè)交割價(jià)格〔K〕為10元、交易數(shù)量為100單位、距離到期日還有一年〔T-t〕的遠(yuǎn)期合約，如果標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格〔S〕為15元，市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利率〔r〕為10%，那么對(duì)于多頭來(lái)說(shuō)，該遠(yuǎn)期合約的價(jià)值就為〔15-10*e-10%*1〕*100=595元。對(duì)于空頭來(lái)說(shuō)，該遠(yuǎn)期合約價(jià)值就為-595元。定義遠(yuǎn)期價(jià)格為F，上述例子中的遠(yuǎn)期價(jià)格就是使得〔15-F*e-10%*1〕*100=0的F，計(jì)算可得F=16.58元。5★總結(jié)：總之，與傳統(tǒng)理解的價(jià)值與價(jià)格的相互關(guān)系不同，遠(yuǎn)期價(jià)值是遠(yuǎn)期合約本身的價(jià)值，而遠(yuǎn)期價(jià)格那么是理論上使遠(yuǎn)期價(jià)值等于零的那個(gè)未來(lái)的交割價(jià)格。6☆期貨的價(jià)值與期貨的價(jià)格期貨價(jià)值〔futuresvalue〕：由于期貨是保證金制度與每日盯市結(jié)算制度，所以，期貨合約的價(jià)值在每日收盤(pán)后都等于零。因此，對(duì)于期貨合約而言，一般較少談及“期貨合約的價(jià)值〞。期貨價(jià)格〔futuresprices〕：與遠(yuǎn)期價(jià)格類(lèi)似，在期貨合約中，期貨價(jià)格為使得期貨合約價(jià)值為零的理論交割價(jià)格。7Cox,IngersollandRoss(1981)曾證明：〔1〕當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率恒定且對(duì)所有到期日都相同時(shí)，交割日相同的遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格應(yīng)相等。〔2〕當(dāng)利率變化無(wú)法預(yù)測(cè)時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格就不相等。Therelationshipbetweenforwardpricesandfutureprices.JournalofFinancialEconomics,1981(12):321-346.總之，遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格的定價(jià)思想在本質(zhì)上是相同的，其差異主要表達(dá)在交易機(jī)制與交易費(fèi)用的差異上。因此，在大多數(shù)情況下，可以合理的假定遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格相等，并都用F來(lái)表示。二、遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格的關(guān)系81.3.1根本的假設(shè)〔1〕沒(méi)有交易費(fèi)用與稅收；〔2〕市場(chǎng)參與者能以相同的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入和貸出資金；〔3〕遠(yuǎn)期合約沒(méi)有違約風(fēng)險(xiǎn)；〔4〕允許現(xiàn)貨賣(mài)空；〔5〕市場(chǎng)上不存在套利時(shí)機(jī)；〔6〕期貨合約的保證金賬戶(hù)支付同樣的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。三、根本的假設(shè)與符號(hào)91.3.2根本符號(hào)T：遠(yuǎn)期和期貨合約的到期時(shí)間，單位為年；t：現(xiàn)在的時(shí)間，單位為年；S：遠(yuǎn)期〔期貨〕標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間t時(shí)的價(jià)格；ST：遠(yuǎn)期〔期貨〕標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間T時(shí)的價(jià)格；K：遠(yuǎn)期合約中的交割價(jià)格；f：遠(yuǎn)期合約多頭在t時(shí)刻的價(jià)值，即t時(shí)刻的遠(yuǎn)期價(jià)值；F：t時(shí)刻的遠(yuǎn)期合約和期貨合約中的理論遠(yuǎn)期價(jià)格和理論期貨價(jià)格；r：T時(shí)刻到期的以連續(xù)復(fù)利計(jì)算的t時(shí)刻的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。10第二節(jié)無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)11

無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約：是指遠(yuǎn)期合約的標(biāo)的資產(chǎn)在從當(dāng)前時(shí)刻t到遠(yuǎn)期合約到期時(shí)刻T之間不產(chǎn)生現(xiàn)金流收入，如貼現(xiàn)債券。一、無(wú)套利定價(jià)法與無(wú)收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值本章所用的方法為無(wú)套利定價(jià)法，根本思路為：構(gòu)建兩種投資組合，令其終值相等，那么其現(xiàn)值一定相等，否那么就可以進(jìn)行套利，即賣(mài)出現(xiàn)值較高的投資組合，買(mǎi)入現(xiàn)值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可賺取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益。12為了給無(wú)收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約定價(jià)，構(gòu)建如下兩個(gè)投資組合：〔1〕組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r〔T－t〕的現(xiàn)金；〔2〕組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。遠(yuǎn)期合約現(xiàn)金組合A標(biāo)的資產(chǎn)組合B13在組合A中，Ke-r〔T－t〕的現(xiàn)金以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資，投資期為〔T－t〕。到T時(shí)刻，其金額將到達(dá)K。這是因?yàn)椋篕e-r〔T－t〕er〔T－t〕=K。在遠(yuǎn)期合約到期時(shí)，這筆現(xiàn)金剛好可用來(lái)交割換來(lái)一單位標(biāo)的資產(chǎn)。這樣，在T時(shí)刻，兩種組合都等于一單位標(biāo)的資產(chǎn)。根據(jù)無(wú)套利原那么：終值相等，那么其現(xiàn)值一定相等，這兩種組合在t時(shí)刻的價(jià)值必須相等。即：

f+Ke-r〔T－t〕=S

f=S－Ke-r〔T－t〕〔3.1〕

該公式說(shuō)明，無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格與交割價(jià)格現(xiàn)值的差額。14由于遠(yuǎn)期價(jià)格F就是使遠(yuǎn)期合約價(jià)值f為零的交割價(jià)格K，即當(dāng)f=0時(shí)，K=F。據(jù)此可令式〔3.1〕中的f=0，那么：F=Se-r〔T－t〕〔3.2〕這就是無(wú)收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理〔spot-forwardparitytheorem〕，或稱(chēng)現(xiàn)貨-期貨〔spot-futuresparitytheorem〕平價(jià)定理。式〔3.2〕說(shuō)明，對(duì)于無(wú)收益資產(chǎn)而言，遠(yuǎn)期價(jià)格等于其標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率計(jì)算的終值。二、無(wú)收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理15案例3.1無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的價(jià)值2007年8月31日，美元6個(gè)月期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為4.17%，市場(chǎng)上正在交易一份標(biāo)的證券為一年期貼現(xiàn)債券、剩余期限為6個(gè)月的遠(yuǎn)期合約多頭，其交割價(jià)格為970美元，該債券的現(xiàn)價(jià)為960美元。請(qǐng)問(wèn)對(duì)于該遠(yuǎn)期合約的多頭和空頭來(lái)說(shuō)，遠(yuǎn)期價(jià)值分別是多少？根據(jù)題意，有：S=960，K=970，r=4.17%，T-t=0.5根據(jù)式〔3.1〕，該遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值f為：f=S－Ke-r〔T－t〕=960-970*e-4.17%*0.5≈10.02美元，該遠(yuǎn)期合約空頭的價(jià)值為-f=-10.02美元。16案例3.2無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價(jià)格2007年8月31日，美元3個(gè)月期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為3.99%，市場(chǎng)上正在交割一個(gè)期限為3個(gè)月的股票遠(yuǎn)期合約，標(biāo)的股票不支付紅利且當(dāng)時(shí)市價(jià)為40美元。那么根據(jù)式〔3.2〕，這份遠(yuǎn)期合約的合理交割價(jià)格為：F=40*e3.99%*0.25=40.40美元。17遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)描述的是同一標(biāo)的資產(chǎn)不同期限遠(yuǎn)期價(jià)格之間的關(guān)系。設(shè)F為在T時(shí)刻交割的遠(yuǎn)期價(jià)格，F(xiàn)*為在T*時(shí)刻交割的遠(yuǎn)期價(jià)格，r為T(mén)時(shí)刻到期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，r*為T(mén)*時(shí)刻到期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。對(duì)無(wú)收益資產(chǎn)而言，從式〔3.2〕可知：F=Ser(T-t)F*=Ser*(T*-t)兩式相除消掉S后：F*=Fer*(T*-t)-r(T-t)(3.3)三、遠(yuǎn)期價(jià)格的期限結(jié)構(gòu)18案例3.3無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的遠(yuǎn)期價(jià)格期限結(jié)構(gòu)2007年8月31日，美元3個(gè)月期與6個(gè)月期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率分別為3.99%與4.17%。某支不付紅利的股票3個(gè)月遠(yuǎn)期合約的價(jià)格為20美元，該股票6月份的遠(yuǎn)期價(jià)格應(yīng)為多少？根據(jù)題意，有：F=20，r=3.99%,r*=4.17%,T-t=0.25,T*-t=0.5那么根據(jù)式〔3.3〕，該股票6月期遠(yuǎn)期價(jià)格應(yīng)為：F*=Fer*(T*-t)-r(T-t)=20*e0.0417*0.5-0.0399*0.25=20.22美元。19第三節(jié)支付現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)20支付現(xiàn)金收益的標(biāo)的資產(chǎn)：指在遠(yuǎn)期合約到期前會(huì)產(chǎn)生完全可預(yù)測(cè)的現(xiàn)金流的資產(chǎn)，如附息債券和支付現(xiàn)金紅利的股票等。仍然采用無(wú)套利定價(jià)法給支付現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約定價(jià)。現(xiàn)構(gòu)建如下兩個(gè)組合：〔1〕組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r〔T－t〕的現(xiàn)金；〔2〕組合B：一單位標(biāo)的證券加上利率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、期限為從當(dāng)前時(shí)刻到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為I的負(fù)債。[以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借I數(shù)額的資金〔約翰·赫爾〕]☆一、支付現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值21組合A在T時(shí)刻的價(jià)值等于一單位標(biāo)的證券；在組合B中，由于標(biāo)的證券的現(xiàn)金收益剛好可以用來(lái)歸還負(fù)債的本息，因此在T時(shí)刻，該組合的價(jià)值也等于一單位標(biāo)的證券。因此，在t時(shí)刻，這兩個(gè)組合的價(jià)值應(yīng)相等，即f+Ke-r(T-t)=S-If=S-I-Ke-r(T-t)〔3.4〕式〔3.4〕說(shuō)明，支付現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭價(jià)值等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價(jià)格扣除現(xiàn)金收益現(xiàn)值后的余額與交割價(jià)格現(xiàn)值之差。22案例3.4支付現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的價(jià)值2007年8月31日，美元6個(gè)月期與1年期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率分別為4.17%與4.11%。市場(chǎng)上一種10年期國(guó)債現(xiàn)貨價(jià)格為990美元，該證券一年期遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格為1001美元，該債券在6個(gè)月和12個(gè)月后都將收到60美元的利息，且第二次付息日在遠(yuǎn)期合約交割日之前，求該合約的價(jià)值。根據(jù)條件，可以先算出該債券現(xiàn)金收益的現(xiàn)值：I=60*e-4.71%*0.5+60*e-4.11%*1=116.35美元根據(jù)式〔3.4〕，可算出該遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值為：f=S-I-Ke-r(T-t)=990-116.35-1001*e-4.11%*1=-87.04美元。相應(yīng)地，該合約空頭的遠(yuǎn)期價(jià)值為87.04美元。23根據(jù)遠(yuǎn)期價(jià)格的定義，可從式〔3.4〕中求得：F=〔S-I〕er(T-t)〔3.5〕這就是支付現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)公式。式〔3.5〕說(shuō)明，支付現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價(jià)格與現(xiàn)金收益現(xiàn)值差額的終值。

二、支付現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格24案例3.5支付現(xiàn)金收益資產(chǎn)的期貨價(jià)格假設(shè)黃金現(xiàn)價(jià)為每盎司733美元，其存儲(chǔ)本錢(qián)為每年每盎司2美元，一年后支付，美元一年期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為4%。那么一年期黃金期貨的理論價(jià)格為：F=〔S-I〕er(T-t)=〔733-I〕*e4%*1其中，I=-2*e-4%*1=-1.92，故：F=〔733+1.92〕*e4%*1=764.91美元/盎司25第四節(jié)支付收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)26支付收益率的標(biāo)的資產(chǎn)：是指在遠(yuǎn)期合約到期前將產(chǎn)生與該資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格成一定比率收益的資產(chǎn)。為了給支付收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價(jià)，可以構(gòu)建如下兩個(gè)組合：〔1〕組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r(T-t)的現(xiàn)金；〔2〕組合B：e-q(T-t)單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中q為該資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的收益率。一、支付收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)值27組合A在T時(shí)刻的價(jià)值等于一單位標(biāo)的證券。組合B由于獲得的紅利收入全部都再投資于該證券，擁有的證券數(shù)量隨著紅利的不斷發(fā)放而增加，所以在時(shí)刻T，正好擁有一單位標(biāo)的證券。因此，在t時(shí)刻兩者的價(jià)值也應(yīng)該相等，即：