第五章二次型§5.1二次型的矩陣表示§5.2標準形§5.3唯一性§5.4正定二次型章小結與習題3/4/2024一、二次型的標準形二、合同的變換法三、小結§5.2標準形3/4/2024二次型中非常簡單的一種是只含平方項的二次型它的矩陣是對角陣平方和的形式？假設能，如何作非退化線性替換？任意二次型能否經過適當非退化線性替換化成?3/4/2024證明：對二次型變量個數n作歸納法.假定對n－1元二次型結論成立.一、二次型的標準形過非退化線性替換化成平方和的形式.

1、〔定理1〕數域P上任一二次型都可經n=1時，結論成立.下面考慮n元二次型3/4/20243/4/2024這里，

是一個.的n－1元二次型.配方法3/4/2024它是非退化的，且使3/4/2024使它變成平方和

于是，非退化線性替換

由歸納假設，對有非退化線性替換3/4/2024就使變成2）

但至少有一個

不妨設

作非退化線性替換：

3/4/2024不為零.由情形1〕知，結論成立.則

這是一個的二次型，且的系數

3/4/2024這是一個n－1元二次型，由歸納假設，結論成立.

總之，數域P上任一二次型都可經過非退化線性替換化成平方和的形式.即3）

由對稱性，

3/4/20242、二次型的標準形的定義所變成的平方和形式注：1〕由定理1任一二次型的標準形是存在的.2〕可應用配方法得到二次型的標準形.二次型

經過非退化線性替換

的一個標準形.

稱為

3/4/2024那么解：作非退化線性替換

例1、求的標準形.3/4/2024或最后令

則

或

再令

3/4/2024所作的非退化線性替換是

即

則

3/4/20243、〔定理2〕數域P上任一對稱矩陣合同于證：對A的級數作歸納法.假定對n－1級對稱矩陣結論成立，考慮n級矩陣A，分四種情形討論：

使C′AC為對角矩陣．

即若A′＝A，則存在可逆矩陣n＝1時，為對角陣,結論成立.設一個對角矩陣.3/4/2024這里這里A1為n－1級對稱矩陣.3/4/2024則

這里

是n－1級對稱矩陣，3/4/2024為對角矩陣.由歸納假設，存在可逆矩陣G，使

為對角矩陣.令

則令

則C可逆，且

為對角矩陣.3/4/2024其中

歸結為情形1，結論成立.令

，則

3)

但有一個

則

令

顯然

2)但有一個

3/4/2024歸結為情形1〕.則

4)

由對稱性,有于是

為n－1級對稱矩陣.3/4/2024為對角矩陣.為對角矩陣.由歸納假設，有n－1級可逆矩陣G，使

令則3/4/2024例2

根據定理2，求例1中二次型的標準形.情形3)情形1)令解：的矩陣為3/4/2024情形1)令令3/4/2024為對角矩陣.3/4/2024作非退化線性替換X＝CY，則即得的標準形3/4/2024二、合同的變換法（1）互換矩陣的

兩行，再互

換矩陣的

兩列;1.定義：合同變換是指下列三種變換

（2）以數k（

)乘矩陣的第i行；再以數k乘（3）將矩陣的第i行的k倍加

到第

行，再將第

列

的k倍加到第

列（).

矩陣的第i列.3/4/20242.合同變換法化二次型為標準形

又，設對稱矩陣A與對角矩陣D合同，那么存在可逆矩陣根本原理：C,使Ｄ＝Ｃ′ＡＣ.

若

為初等陣，則3/4/2024對E施行同樣的初等列變換便可求得可逆矩陣C滿足就相當于對A作s次合同變換化為D.所以，在合同變換化矩陣A為對角陣D的同時，又注意到所以，3/4/2024根本步驟：②對A作合同變換化為對角矩陣D對E僅作上述合同變換中的初等列變換得C③作非退化線性替換X=CY，那么即①寫出二次型的矩陣A為標準形.D為對角陣,且3/4/2024注意：i）若a11≠0，作合同變換：將A的第一行的倍加到第j

行，再將所得矩陣的第一列的倍加到第j

列,j=2,3,….n則合同變換化對稱矩陣為對角陣D時3/4/2024ii)假設a11=0，而有某個aii≠0，作合同變換：互換1,

i

兩行，再互換1,

i

兩列，所得矩陣的第1行第1列處元素為aii

≠0，轉為情形i)，即3/4/2024iii)假設aii=0,i=1,2,…n.那么必有某個aij≠0(i≠j)，作合同變換：iv)對i〕中A1重復上述做法.將第

j

行加到第i行，再將第j列加到第i

列，所得矩陣第i

行第i列處元素為2aij

≠0.轉為情形ii).3/4/2024例3用合同變換求下面二次型的標準形r1+r2

c1+c2（同例1）解：的矩陣為3/4/2024r3+r1r2－r1c3+c1c2－c1－2r2－2c2c3+2c2r3+2r23/4/2024作非退化線性替換X=CY,那么二次型化為標準形令則3/4/2024①對A每施行一次合同變換后所得矩陣必仍為對稱矩陣.〔因為合同變換保持矩陣的對稱性－－可利用這一點檢查計算是否正確.〕

②對A作合同變換時，無論先作行變換還是先作列變換，結果是一致的.③可連續作n次初等行〔列〕變換后，再依次作n次相應的初等列〔行〕變換.說明：3/4/2024作非退化線性替換f的標準形為練習：求下面二次型的標準形，并求出所作的非退化線替性換.答案：3/4/2024的矩陣為詳解：3/4/20243/4/20243/4/2024令那么作非退化線性替換X=CY，那么