PAGE數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)競賽班二試講義第3講裴蜀恒等式班級姓名一、知識點(diǎn)金1．歐幾里得除法：設(shè)為整數(shù)，，按下述方式反復(fù)作帶余除法，有限步之后必然停止（即余數(shù)為零）：用除：用除：用除：……用除：用除：用除：則實(shí)際上，由于余數(shù)為整數(shù)，且滿足，從而上述的帶余除法有限步后余數(shù)必為零。因此給定，歐幾里得除法不僅能（在有限步內(nèi)）求出，還可以證明方程=1\*GB3①有一組整數(shù)解，并能實(shí)際地求出一組解。具體的做法是將歐幾里得除法倒推回去：，，…，，，依次消去，得到一組整數(shù)，使得。2．互素的充分必要條件是，存在整數(shù)，使得=2\*GB3②等式=2\*GB3②稱為（互素整數(shù)的）裴蜀恒等式。3．若互素，且，則。4．若是素?cái)?shù)，且，則至少有一個(gè)，使得5．若兩兩互素，且，，則。6．設(shè)，則二、例題分析例1．記。證明：若，則例2．設(shè)是奇數(shù)，證明：例3．（1）設(shè)是正整數(shù)，證明：。（2）設(shè)是正整數(shù)，證明：。（3）記。證明：對，有。例4．設(shè)都是正整數(shù)，。證明：三、同步檢測1．設(shè)是整數(shù)，證明：2．設(shè)都是正整數(shù)，被整除，證明：3．設(shè)是正整數(shù)，且是整數(shù)。證明：。4．設(shè)是正整數(shù)，是奇數(shù)。證明：5．求證：若正整數(shù)使得，則是完全平方數(shù)。高二數(shù)學(xué)競賽班二試講義第3講裴蜀恒等式例1．法1：，所以又，所以，所以，則法2：，所以注：稱為梅森數(shù)，稱為費(fèi)爾馬數(shù)。例2．對，并不總成立。論證的訣竅是將和作配對變形。對，因?yàn)槠鏀?shù)，故，從而是的倍數(shù)，進(jìn)而它們的和也是的倍數(shù)。例3．（1），所以（2）設(shè)，則，由，可推得，所以，所以，故（3），則設(shè)，所以，所以或。但顯然是奇數(shù)，故例4．我們對指數(shù)作歐氏除法。重復(fù)上述論證，三、同步檢測1．，有裴蜀恒等式知2．，所以，因?yàn)椋裕?．設(shè)，則，，所以所以，4．設(shè)，為奇數(shù)，，，由二項(xiàng)式定理知，所以，又為奇數(shù)，所以5．設(shè)，將上式化成關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)樗钦禂?shù)的，且兩根為整數(shù)，故其判別式為完全平方數(shù)，也即為完全平方數(shù)，注意到，于是是完全平方數(shù)。學(xué)好高中數(shù)學(xué)的方法和技巧包括：掌握基礎(chǔ)知識。確保熟練掌握基本概念、公式和定理，特別是代數(shù)、幾何、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和積分等重要知識點(diǎn)。重視預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)。在上課前預(yù)習(xí)教材，梳理知識點(diǎn)，對不理解的內(nèi)容做好標(biāo)記；課后及時(shí)復(fù)習(xí)，通過復(fù)習(xí)和整理筆記來加深理解。提高聽課效率。在課堂上緊跟老師思路，積極參與討論，做好筆記，記錄重要的思路和方法。多做練習(xí)題。通過練習(xí)來鞏固和運(yùn)用所學(xué)知識，可以選擇有代表性的題目進(jìn)行練習(xí)，并嘗試一題多解，培養(yǎng)解決問題的能力。整理和總結(jié)錯(cuò)題。準(zhǔn)備一個(gè)錯(cuò)題本，記錄自己在練習(xí)中遇到的難題和錯(cuò)誤，定期回顧并分析錯(cuò)誤的原因，從而避免在未來的考試和練習(xí)中重復(fù)犯錯(cuò)。學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)工具。學(xué)會(huì)使用計(jì)算器和其他數(shù)學(xué)工具，提高計(jì)算效率；同時(shí)，學(xué)習(xí)畫圖技巧，幫助理解和解決問題。參與數(shù)學(xué)競賽和討論。通過參加數(shù)學(xué)競賽和與同學(xué)討論數(shù)