數學高二數學競賽班二試講義第3講單位根及其應用班級姓名一、知識點金1．記，其中為虛數單位，多項式有個互不相等的根，它們稱為次單位根。易于看到，在復平面上，個次單位根對應的點恰是單位圓的內接正邊形的頂點。2．次單位根的性質：（1）設和是整數，則的充分必要條件是（2）任意兩個次單位根的乘積仍是一個次單位根；任意一個次單位根的倒數也是一個次單位根。（3）設是整數，，則恰給出全體次單位根。證明：因為，所以是模的一個完系3．因是的個不同的根，故有，又，所以（1）（2）4．的根為，（可設），有（1），（2），（3）5．設，如果能分解為中兩個正次數的整系數多項式的積，則稱在上可約（或可分解），否則稱在上不可約。6．艾森斯坦判別法：設是一個整系數多項式，其中。若存在一個素數，使得，，但，則在上不可約（從而在上不可約）。二、例題分析例1．設及都是多項式，且=1\*GB3①證明：是和的公因式。例1．設是一個5次單位根（），在=1\*GB3①中取，得出，這意味著有四個不同的零點，從而再將代入=1\*GB3①，得于是是和的公因式。例2．設是正整數，證明：（1）（2）（3）例2．在二項展開式中，依次取（設），則相加得得在中從上到下各式分別乘以，求得從上到下各式分別乘以，求得例3．證明：不存在四個整系數多項式，使得恒等式成立。例3．設是三次單位虛根，則對任意整系數多項式有，為整數，于是由于總為偶數，故若存在形如的恒等式，以代人，即得，為偶數，矛盾！得證。例4．已知單位圓的內接正邊形及圓周上一點，求證：。例4．證明：設，對應的復數是。又設對應的復數為，例5．（1）對怎樣的正整數，有整除？（2）證明：若為正整數，是素數，則為的冪。例5．（1）記。有兩個根，這里，當時，，，故在這種情形有同樣可以證明，當時，有但當時，，故綜上，當且僅當時，（2）反證法。若存在一個不是3的冪，使是素數，設，這里，時，；時，，我們有在（1）中取，，推出但是素數，故，，則，這與前面所設矛盾！例6．設都是正整數。若的（大）矩形可劃分為若干個的矩形的并（小矩形與大矩形的邊平行）。則中必有一個為的倍數，也必有一個為的倍數。例6．因的矩形可劃分為若干個的矩形的并，因此，我們只有證明：若的（大）矩形可劃分為若干個的矩形的并，則中必有一個為的倍數。（對稱地，可證明關于的結論）。將大矩形放置于水平位置，并將個的單位正方形。我們在（由上至下）第行與（從左至右）第列交叉的的正方形中，放置，這里，而，。則所有數的和為。另一方面，設一個矩形是水平的，并設其最左邊正方形放置的數為，則這個矩形中所放置的個數之和為由于的（大）矩形可劃分為若干個的矩形的并，故上述所有數的和為0。從而，則或，這意味著或。例7．判別多項式與在上是否可約。例7．因顯然沒有一次因式，設，為整數，比較系數得到，故，進而得，這不可能，所以在上不可約。用待定系數法，或觀察法得所以在上可約。例8．設是互不相同的整數，證明：多項式在上不可約。例8．設，的次數不小于1由，得，可知或，故因此多項式至少有個不同的零點，但與的次數不超過，故為恒等式，即，因的首項系數為1，這顯然不可能。例9．設是素數，則在上不可約。例9．不能直接用艾森斯坦判別法，但滿足，，但，運用艾森斯坦判別法，知在上不可約，從而在上不可約。三、同步檢測1．求所有正整數，使得整除。1．參照例5的方法，2．證明：整除。2．用5次單位根，設是虛數，且，則，得證3．設，求被除得的余式。3．設，這里或。設是5次單位根，，且，則，則，而故是恒等式，即余式是常數54．設是復系數多項式，是正整數，如果，則。4．設，取是一個次單位根，有知，，故被整除。5．證明：。5．在二項展開式中，依次取（4次單位根），則相加得所以6．已知單位圓的內接正邊形及圓周上一點，證明：（1）（2）6．（1）證明：設，對應的復數是。（2）證明：設，對應的復數是。（因為）7．設。求證：（1），。（2）。7．（1）在中取（二次單位根）即得（2）設在中依次取（設），則相加得，在中從上到下各式分別乘以，求得從上到下各式分別乘以，求得8．證明：在上不可約，則是素數。8．如不是素數，設，則所說的多項式可表示為，與在上不可約矛盾9．設是整系數多項式，次數為。若至少有個互不相同的整數，使為素數，則在上不可約。9．若，這里都是非常數的整系數多項式。記。由于不為常數，故與均至多有個根，從而至多有個整數使，也至多有個整數，使。因此至多有個整數使。類似地，至多有個整數使。然而，若整數使為素數，則或。因此至多有個不同的整數，使為素數，這與題設矛盾。因此，在上不可約。10．試求所有正整數，使得被整除。10．記是一個次單位根，則的所有根是，被整除的充分必要條件是因為，所以上述條件等價于是的零點，但不是的零點，即易知與互素。學好高中數學的方法和技巧包括：掌握基礎知識。確保熟練掌握基本概念、公式和定理，特別是代數、幾何、函數、導數和積分等重要知識點。重視預習和復習。在上課前預習教材，梳理知識點，對不理解的內容做好標記；課后及時復習，通過復習和整理筆記來加深理解。提高聽課效率。在課堂上緊跟老師思路，積極參與討論，做好筆記，記錄重要的思路和方法。多做練習題。通過練習來鞏固和運用所學知識，可以選擇有代表性的題目進行練習，并嘗試一題多解，培養解決問題的能力。整理和總結錯題。準備一個錯題本，記錄自己在練習中遇到的難題和錯誤，定期回顧并分析錯誤的原因，從而避免在未來的考試和練習中重復犯錯。學習和使用數學工具。學會使用計算器和