第三講二項式定理

知識梳理

知識點一二項式定理

nkk,,,

(?+b)=C%"+C?a"~'b-?-----FCka"^b-?------FCAb(n∈Nl.).

這個公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(α+8)"的二項展開式，其中

n

的系數Gi(Z=0,l,2,…，〃)叫做二項式系數.，式中的0Ia一紛叫做二項展

t

開式的_通項一，用Tk+ι表示，即通項為展開式的第〉+1項:T?+l=?~?.

知識點二二項展開式形式上的特點

⑴項數為〃+1.

(2)各項的次數和都等于二項式的幕指數〃，即。與A的指數的和為〃.

⑶字母”按降嘉.排列,從第一項開始，次數由〃逐項減小1直到零；字

母匕按一升基一排列,從第一項起，次數由零逐項增加1直到〃.

知識點三二項式系數的性質

與首末等距的兩個二項式系數相等

時.二項式系數是遞增的

增減

性與

最大值當”為偶數時,中間一項的二項式

系數最大

當"為奇數忖，中間兩項的：項式

系數相等H最大

二項

式系

數的和

歸納拓展

1.二項式定理中，通項公式Tki是展開式的第女+1項，不是第

攵項.

2.二項式系數與項的系數的區別

二項式系數是指C9,CJ“…，α,它只與各項的項數有關，而與。、。的值

無關；而項的系數是指該項中除變量外的常數部分，它不僅與各項的項數有關,

而且也與。、匕的值有關.

雙基自測

題組一走出誤區

1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(I)C%r%*是二項展開式的第&項.(X)

(2)二項展開式中，系數最大的項為中間一項或中間兩項.(X)

(3)5+。)"的展開式中某一項的二項式系數與4,人無關.(J)

(4)(α—與”的展開式第Z+1項的系數為C44"iTA(×)

(5)(χ-l)"的展開式二項式系數和為一2".(×)

(6)在(1一處9的展開式中系數最大的項是第5項和第6項.(X)

題組二走進教材

2.(選擇性必修3P38T5(2)"L4;卜的展開式的常數項為18564.

［解析］BX—京∣∣8的展開式的通項為Tr+］=Cf8(9x)∣8>{)=(-1)呼6

^3r‰18-y.

由題意得18—y=0,r=12,

二常數項為Ti3=Cls=Cf8=18564.

54

3.(選擇性必修3P38T5(1))(1-2X)(1+3X)的展開式中按X的升基排列的第

3項為一26f.

r

［解析］(If)5、(l+3x)4的展開式的通項分別為Tr+ι=Cξ(-2x),Tk+1=

Cli(3x)k,

又(1—2Λ)5(1+3X)4的展開式中按X升得排列的第3項即展開式中/項，

C§(一2X)0?C4(3Λ)2+Ci(-2x)?CL(3x)+Cs(-2x)2?C2(3x)0=-26√.

題組三走向高考

4.(2021.天津高考)在(2x3+06的展開式中，一的系數是"O.

［解析］(2_?+：)6的展開式的通項為

36rl84

Tr+1=C8(2x)6r.g}=2^α?X^?

令18—4「=6,解得r=3,

所以3的系數是23CA=I60.

5.(2022?新高考I卷)［l-Jα+y)8的展開式中Xy的系數為_^(用數字

作答).

［解析］因為(尤+y)8=(x+y)8-*χ+y)8,所以(l-j(x+y)8的展開式

中含X1y6的項為Ctx2/--28χ2y6,故(1-0(尤+y)8的展開式中χ2y6的系

數為-28.

?互動探究

考點一二項展開式的通項公式的應用——多維探究

角度1求二項展開式中的特定項或特定項的系數

例1(l)(2020?新課標)9+：)6的展開式中常數項是240(用數字作

答).

(2)(2023.浙江杭州期中)在(2/一右｝的展開式中只有第四項的二項式系數

最大，則大的系數為一192.

［解析］(1)展開式的通項為。+I=C8(Λ2)6F停｝=2-C82-3r,令i2-3r=0,

解得r=4,故常數項為2化4=240.

6

(2)由題意知〃=6,二二項展開式的通項為Tr+.(-x-∣)=α2

^r(-ιy√-r,

令3—r=2,即r=1,

故展開式中f的系數為C?25(-l)l=-192.

角度2二項展開式中的含參問題

例2(1)(2022.上海黃浦區模擬)若，2+劃5的展開式中的常數項為一

5

-

2則實數α的值為二L.

(2)(2023?福建三明質檢)若(3/-4)("-:)的展開式中??的系數為-80,則

a=-4

⑶(2022?河北衡水中學模擬)已知二項式(2x一左)的展開式中第2項與第3

項的二項式系數之比是25,則的的系數為240.

［解析］(15的展開式中的通項公式為:

a5rxlO-?,

令10—y=0,得r=4,

51

-??得

所以常數項為a--2-

2,

(2)(2x—；下的展開式的通項為Tr+l=CS(2x)5r?(-；)=(-iy?25FC"5-2r,則

3×23×C5+α×24×C?=-80,解得a=-4.

⑶由題意得：Cj&=25,解得〃=6.所以Tr+I=a(2?『｛一七｝=CS26

R(-1)ΓΛ-6-∣∕;令6—∣r=3,解得：r=2.所以％3的系數為Ca26-2(-1)2=240.

角度3二項展開式中系數最大項問題

2■例3已知。+宙"的展開式中前三項的系數成等差數列.

(1)求n的值；

(2)求展開式中系數最大的項.

［解析］(1)由題設，得c9+(xc2=2XTXCI,

即〃2—9〃+8=0,解得"=8,w=l(舍去).

(2)設第r+1項的系數最大，則

8-r-^2(r+1),

即11解得r=2或r=3.

2r^9-r,

7

所以系數最大的項為Γ3=7Λ5,八=7叼.

名帥A撥MINGSHIDIANBO

1.求形如（α+∕5∈N*）的展開式中與特定項相關的量（常數項、參數值、特

定項等）的步驟：

lrr

第一步，利用二項式定理寫出二項展開式的通項公式Tr+?=CW^b,常把

字母和系數分離開來（注意符號不要出錯）；

第二步：根據題目中的相關條件（如常數項要求指數為零，有理項要求指數

為整數）先列出相應方程（組）或不等式（組），解出r;

第三步：把r代入通項公式中，即可求出/用，有時還需要先求“，再求r,

才能求出77+1或者其他量.

2.求展開式中系數最大的項

如求（α+?x）"（α,b∈R）的展開式系數最大的項，一般是采用待定系數法，設

Ak^Ak-I>

展開式各項系數分別為4,A2,…，A"+1,且第女項系數最大，應用1

Ak^Ak+↑

從而解出左來，即得.

〔變式訓練1〕

（1）（角度1）二項式（/—的展開式的常數項是

⑵（角度2）（2022.福州模擬）設〃為正整數，/一5）的展開式中僅有第5項的

二項式系數最大，則展開式中的常數項為（B）

A.-112B.112

C.-60D.60

（3）（角度3）（2x2+j6的展開式中，常數項為60;系數最大的項是2403.

［解析］（I）Tr+I=Cg（/-）8—『?（一=）=（-l）r∕cJy生，由8—4r=0得r=2,

故常數項為73=（-l）2×^2C8=7.

（2）依題意得，〃=8,所以展開式的通項77+I=C既8。（一∣）=Cδχ8-4r（-2）r,

令8-4r=0,解得r=2,所以展開式中的常數項為乃=4(-2>=112.

(3)(2%2+3)的展開式的通項為

α?(2Λ2)6θ=α?26

令12—3人=0,得2=4,所以，展開式中的常數項為CW?22=60;

令以=C6?26Y(Z∈N,?≤6),

[a),^a-ι,fα?26^n≥CΓl?27^,j,

今《n即V

6n15

'[al,^an+ι'(cg?2^?Cg'?2^?

47

解得?.?"∈N,.?."=2,因此，展開式中系數最大的項為C^?24√

=240Λ6.

考點二二項式系數的性質與各項系數的和——師生共研

??■■例4(l)(2023?江蘇南通海安質檢)在(1一君6的二項展開式中，奇數項

的系數之和為(D)

A.-365B.-364

C.364D.365

(2)(2022.河北邯鄲模擬)在Q+D的展開式中，各項系數和與二項式系數和

之比為64,則Λ3的系數為(C)

A.15B.45

C.135D.405

(3)(2022?河南許昌階段性測試)設(3-2x)5=αo+αι(x+l)+α2(x+l)2+α3(x+

l)3+α4(x+l)4+α5(x+l)5,則。5=一32一.

[解析]⑴]1一君6的展開式通項為7λ+∣=c{—君A=C2)*?L專，因此,

展開式中所有奇數項的系數和為Cg+CW?(—2)2+CR-2)4+Cg?(—2)6=365.故選

D.

brr

(2)由題意*=64,?=6,Tr+1=C^x"'^^=3CU6—y,令6—y=3,r=

2,32Cg=135,選C.

z

(3)令x+?=y,貝!]x=y~l9由題意知(5—2y)5=αo+αιy+α2y2+α3y3+Q∣y4

十公爐，又(5-2y)5展開式的通項Tr+∣=C555F(-2y)r,令r=5得益=(-2)5d?5°

=-32.

［引申］在本例⑶中

(1)。1+〃3+。5=「8282；

(2)∣βo∣+∣6Zi∣+1(72∣+∣Q3∣+∣Q4∣+?a5?=16807；

(3)(αo+02+a4)2—(0+B+α5>=21，；

(4)。1+2s+3。3+4。4+5。5=-810；

(5)y-∣f+∣τ-∣Z÷∣i=-10901.

［解析］令γ=0得ao=55=3125.記/(y)=(5-2y)5.

則f,(?)=-10(5—2y)、αo+αι+。2+。3+。4+。5=,/(1)=35=243,

ao-a↑+④一“3+3-。5=|-1)=75=16807,

.?,Λ1)-Λ-1)-

..a?十。3十々5=?=-8282；

|聞+∣αι∣+∣α2∣+∣Q3∣+∣O4∣+?a5?

=m~a?+。2一圓+的一。5=16807；

(。()+。2+。4)2-(ɑ?+〃3+。5)2=215；

a?+Iai+3^3+4^4+5a5—∕,(I)=-810；

y-fl+f∣-fz+fl=一(—0—αo=-10901.

名帥A撥MINGSHIDIANBO

賦值法的應用

(1)形如(Or+。尸、(ax1+bx+cyn(a.b、CeR)的式子求其展開式的各項系數

之和，常用賦值法，只需令x=l即可.

(2)對形如(以+勿)〃(0,力∈R)的式子求其展開式各項系數之和，只需令元=y

=1即可.

t1

(3)若"r)=αo+αιx+α2χ2H-----?-aftχ,則.危:)展開式中各項系數之和為/U),

奇數項系數之和為ao+a2+a4-?—=")+?~”,

偶數項系數之和為01+43+05+…―()

2fi1

*又，(x)=a?+24ιr+3?3XH-----\~nanχ,

所以αι+2故+3。3+…+〃斯=/'(1).

〔變式訓練2〕

(1)(2023?安徽AlO聯盟開學摸底)已知GTU+1)"5∈N*,m∈R)的展開式只有

第5項的二項式系數最大，設OnX+l)"=αo+αιx+α2Λ2TFα,M若αι=8,則

42+α3+…+t?=(C)

A.63B.64

C.247D.255

(2)(2022.湖南婁底期末)已知心+1”的展開式中各項的二項式系數之和為

32,且各項系數和為243,則展開式中/的系數為(C)

A.20B.30

C.40D.50

［解析］(1)由題意得，/1=8,αι=Cgm=8,.?."z=l,.?.(x+l)8=αo+αιχ+

42f+…+as/,令％=］,得4o+αι+α2+43+…+48=28=256,令X=0,得αo

=1,,42+413+…+d"=247.故選C.

(2)因為卜+目”的展開式中各項的二項式系數之和為32,則2〃=32,解得〃

=5,所以二項式為卜十和因為卜十分展開式各項系數和為243,令尤=1,代

入可得(l+α)5=243=35,解得α=2,所以二項式展開式的通項為「+1=?(/)5一

O2，?嚴一，所以當展開式為/時，即/F=/,解得通，則展開式的

系數為22?C?=4×10=40.故選C.

考點三二項式定理的應用——多維探究

角度1整除問題

??例5(l)(2022?陜西西安中學模擬)設α∈Z,且0Wα<13,若5120I2+Ω

能被13整除，則α=(D)

A.OB.1

C.11D.12

(2)(2022?安徽省安慶一中模擬)9ClO+92品+…+9∣°C∣8除以11所得的余數

為(A)

A.OB.1

C.2D.-1

2OI22OI22OII

［解析］⑴由于51=52-1,(52-1)=C‰∣252-C1O∣252H-------

C28li52l+1,

又由于13整除52,所以只需13整除l+α,0Wα<13,α∈Z,所以a=12,

故選D.

(2)9℃?o+9Clo+92C?oHF9l0C18-1=(1+9)l0-1=IO10-1=(11-1)10-

1=11l(,—Clo?H9+C??lI8--------C?o-11+1—1=11l0-C∣o?l19+Cτo?lI8---------

Cbll,顯然所得余數為0,故選A.

［引申］若將本例(2)中“11”改為“8”，則余數為7.

［解析］由題意原式=IOK)—1=(8+2)∣°—I=8i°+C∣o89?2+…+C%80+

2IO-1=(8IO+C1O89?2+-+C!O8?29+8?27-8)+7,余數為7.

角度2近似計算

2■例61.028的近似值是1.172.(精確到小數點后三位)

［解析］1.028=(1+0.02)8QCG+C??0.O2+CG?O.O22+C3?O.O23Q1.172.

角度3證明不等式

??■例7求證：∕ι∈N且〃23時，

［證明］“23時，2,,=(l+l)tt=l+∕ι+C^+???+n+1^2+2?,

2"一∣2"+1.

名帥A撥MINGSHIDIANBO

1.整除問題的解題思路

利用二項式定理找出某兩個數(或式)之間的倍數關系，是解決有關整除問題

和余數問題的基本思路，關鍵是要合理地構造二項式，并將它展開進行分析判

斷.解題時要注意二項展開式的逆用.

2.求近似值的基本方法

利用二項式定理進行近似計算：當〃不很大，R比較小時，(l+x)^l+∕7x.

3.由于(α+b)”的展開式共有〃+1項，故可以通過對某些項的取舍來放縮，

從而達到證明不等式的目的.

〔變式訓練3〕

(1)(角度1)(2023?江西聯考)1-90Clo+902c%-9()3CTOH----F9O∣°d8除以88

的余數是(C)

A.-1B.-87

C.1D.87

⑵(角度2)0.9986的近似值為0.988.(精確到0.001)

［解析］(1)1—90ClO+9θ2c+o-9()3CioHF9OIOC18=(1-9O)lo=89lo=(88

IOIO9

+1)=C?O88+C1O88+-+C?O88+C18=88?+l(k為正整數),所以可知余數

為1.

(2)0.9986=(1-0.002)6=1—CAO.002+Cδ0.0022—C^0.0023+C?0.0024—Cl

0.0025+Cto.0026≈1-C?0.002+Cg0.0022=0.98806≈0.988.

多項式展開式中特定項、系數問題

一、幾個多項式積的展開式中特定項(系數)、參數問題

???例8(1)(2023?江蘇揚州期中)(x-2).卜「一劃6的展開式中光的系數為

(A)

A.-280B.-40

C.40D.280

(2)(2023.廣東六校聯考)若口+力儂一》的展開式中各項系數的和為2,則

該展開式的常數項為40.

［解析］(1)［「一君6展開式第r+l項r+［=Cg(S)6-{-D=C就3一a一

2)%-：=(28(—2)中1,

r=3,x?C^(-2)3=-160x;

r=2,-2C*(—2)2X=-120x,

.?.χ的系數為一280,選A.

(2)由，+目①》一：下的展開式中的各項系數的和為2,

令X=1,得(α+l)05=2,得α=l.

???C34=J,

(2無一§5的通項7；+I=CS(2x)51一:}=(—l)r?25FCSf,r=0,l,2,3,4,5.

，Q+j(2x—：下的展開式中的通項有(一1)r?25FC5f6-2r和(一1V0).?ν-

令4-2r=0,得r=2,則展開式中的常數項為(一l)2?23?Cg=8O;

令6-2r=0,得r=3,則展開式中的常數項為(一1)30.(^=-40,

所以該展開式的常數項為80-40=40.

名帥A披MINGSHIDIANBO

對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據因式連乘的規

律，結合組合思想求解，但要注意適當地運用分類方法，以免重復或遺漏.

二'幾個多項式和的展開式中特定項(系數)、參數問題

A例9(1)(2022?河南南陽期末)已知(l+x)+2(l+x)2+3(l+x)3+…+

Io(I+x)∣°=αo+Qix+α2Λ2+…+αιαxj°,則。7=(C)

A.9CtB.yC?i

C.yC^∣D.10G∣

(2)(2023?北京四中開學考)設多項式(X+l)5÷(χ-l)l0=ai()LXl0+a9Λ9÷???÷aι%

+ao,則a<)~-10>ao+z+at+as+ax+aio=528.

［解析］(1)解法一：依題意a7=7Xa+8XC<+9XC3+lOXClo

=7×C9+8×C?+9×CH10×C?

,,9X810X9X8

=7+8×8+9×-^?卜IOX

3X2X1

=7+64+324+1200=1595=9C%.故選C.

解法二:記5n=(l+x)+2(l+x)2+-??+10(l+x)l0,

(l+x)[l-(l+x)叫

則S,-(1+X)5M=10(l+x)n,

J1-(1+x)

(l+x)-(l+x)“：10(l+x)”

?δπ~√十一%一'

/.a7=-C?i+IOCh=-∣C5ι+IOCh=yC?i.故選C.

(2)因為(X+l)5+(χ-I)∣°=α∣αr∣°+α9χ9+…+”ιχ+αo,所以“9是展開式中%9

K)

的系數，設(x—1)的展開式的通項為77+I=Cfa?°丁(一1)。

所以當r=l時，tZ9=C∣o(-1)1=—10.

令X=I得αo+αι+α2+α3+…+αιo=25,

令X=-I得優一----Fa∣o=2l°.

2I0+25

0o+α2+α4+…+α∣o=2=29+24=528.

名帥A披MINGSHIDIANBO

對于幾個多項式和的展開式中的特定項(系數)參數問題，只需依據二項展開

式的通項，從每一項中分別得到特定的項再求和.或將和式化簡后轉化為二項展

開式問題處理.

三'三項展開式中特定項(系數)問題

??例10(2022.安徽合肥質檢)在，-4+，5的展開式中，f的系數為:

960.

［解析］解法一：(化為二項展開式問題)

(L4+》=(3科，

77+1=CfO(5嚴-｛一君r=(—2)?0?一,，

令5—r=2,r=3,所求系數為(-2>CA=-960.

解法二：Q—4+》=(X十號-45展開式的通項為77+1=(-4)<?+￡卜；

5

而d，?展開式的通項為rs+i=4&Gfx-L2S.

7;+ι=(—4)"CSe/χ5-L2s,

由s=0,r=3或s=r=l可求得X2的系數為(一4>?4°Cgd+(-4>4<%ɑ=

-960.

解法三：(利用多項式乘法對括號中選取情況討論)

①5個括號中的2個選x,3個選(一4),這樣得到的『的系數為C^?d(-4)3

=-640；

②5個括號中3個選國1個選點1個選一4,這樣