1．3.2球的體積和表面積[目標(biāo)]1.了解球的體積和表面積公式；2.會(huì)用球的體積和表面積公式解決實(shí)際問題．[重點(diǎn)]球的體積公式和表面積公式及應(yīng)用．[難點(diǎn)]球的切、接問題．知識(shí)點(diǎn)球的體積和表面積[填一填]1．球的體積球的半徑為R，那么它的體積V＝eq\f(4,3)πR3.2．球的表面積球的半徑為R，那么它的表面積S＝4πR2.與其他簡單幾何體不同，球面不可展開．[答一答]1．觀察球的體積與表面積公式，思考下面的問題．(1)計(jì)算球的表面積與體積，關(guān)鍵需要確定哪個(gè)量？(2)若兩球的半徑之比為R1R2，那么兩球的表面積之比及體積之比分別是多少？提示：(1)要計(jì)算球的表面積和體積，關(guān)鍵是要確定球的半徑R.(2)eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πR\o\al(2,1),4πR\o\al(2,2))＝eq\f(R\o\al(2,1),R\o\al(2,2))＝(eq\f(R1,R2))2，eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(4,3)πR\o\al(3,1),\f(4,3)πR\o\al(3,2))＝eq\f(R\o\al(3,1),R\o\al(3,2))＝(eq\f(R1,R2))3.2．用一個(gè)平面去截球體，截面是什么平面圖形？試在球的軸截面圖形中，展示截面圖與球體之間的內(nèi)在聯(lián)系．提示：可以想象，用一個(gè)平面去截球體，截面是圓面，在球的軸截面圖中，截面圓與球的軸截面的關(guān)系如下圖所示．若球的半徑為R，截面圓的半徑為r，OO′＝d.在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2.類型一球的體積與表面積的計(jì)算[例1](1)兩個(gè)球的體積之比為827，那么這兩個(gè)球的表面積之比為()A．23 B．49C.eq\r(2)eq\r(3) D.eq\r(8)eq\r(27)(2)兩個(gè)半徑為1的鐵球，熔化成一個(gè)球，則這個(gè)大球的半徑為________．(3)圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm.[解析](1)兩個(gè)球的體積之比為827，根據(jù)體積比等于相似比的立方，表面積之比等于相似比的平方，可知兩球的半徑比為23，從而這兩個(gè)球的表面積之比為49，故選B.(2)兩個(gè)小鐵球的體積為2×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(8π,3)，即大鐵球的體積eq\f(4,3)π×R3＝eq\f(8π,3)，所以半徑為eq\r(3,2).(3)設(shè)球的半徑為r，放入3個(gè)球后，圓柱液面高度變?yōu)?r.則有πr2·6r＝8πr2＋3·eq\f(4,3)πr3，即2r＝8，所以r＝4cm.[答案](1)B(2)eq\r(3,2)(3)4求球的表面積與體積的一個(gè)關(guān)鍵和兩個(gè)結(jié)論,1關(guān)鍵：把握住球的表面積公式S球＝4πR2，球的體積公式是計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵，半徑與球心是確定球的條件.把握住公式，球的體積與表面積計(jì)算的相關(guān)題目也就迎刃而解了.,2兩個(gè)結(jié)論：①兩個(gè)球的表面積之比等于這兩個(gè)球的半徑比的平方；②兩個(gè)球的體積之比等于這兩個(gè)球的半徑比的立方.[變式訓(xùn)練1](1)球的體積是eq\f(32,3)π，則此球的表面積是(B)A．12π B．16πC.eq\f(16,3)π D.eq\f(64,3)π解析：eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，故R＝2，球的表面積為4πR2＝16π.(2)用一平面去截球所得截面的面積為2π，已知球心到該截面的距離為1，則該球的體積是(C)A.eq\r(3)π B．2eq\r(3)πC．4eq\r(3)π D.eq\f(4,3)eq\r(3)π解析：由已知可得截面圓的半徑是eq\r(2)，已知球心到該截面的距離為1，所以球的半徑為eq\r(3)，所以球的體積為：eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π，故選C.類型二與球有關(guān)的組合體問題[例2]某個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示(單位：cm)．(1)求該幾何體的表面積；(2)求該幾何體的體積．[分析]先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)，再根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)求出表面積與體積．[解]該幾何體是一個(gè)組合體，其下方是一個(gè)棱長為2的正方體，上面是一個(gè)半徑為1的半球．(1)該幾何體的表面積為S＝5×22＋(22－π)＋2π＝(24＋π)(cm2)．(2)該幾何體的體積為V＝23＋eq\f(2π,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋\f(2π,3)))(cm3)．解決與球有關(guān)的組合體問題的解題技巧1與球有關(guān)的組合體問題：解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)位置，明確有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并且作出合適的截面圖.2球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通過作它們的軸截面解題.3球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心、切點(diǎn)或接點(diǎn)作出截面圖.[變式訓(xùn)練2]如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是eq\f(28π,3)，則它的表面積是(A)A．17πB．18πC．20πD．28π解析：由三視圖知該幾何體為球去掉了eq\f(1,8)所剩的幾何體(如圖)，設(shè)球的半徑為R，則eq\f(7,8)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(28π,3)，故R＝2，從而它的表面積S＝eq\f(7,8)×4πR2＋eq\f(3,4)×πR2＝17π.故選A.類型三球的“切”與“接”問題命題視角1：球的外切問題[例3]若球的外切圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為()A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2C．4πrR D．π(R＋r)2[分析]作出球與圓臺(tái)相切的軸截面．[解析]如圖為球與圓臺(tái)的軸截面，過D作DE⊥BC，設(shè)球的半徑為r1，則在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r，由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr)(舍負(fù))．故球的表面積為S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.[答案]C解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑.球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題；球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心作出截面圖.[變式訓(xùn)練3]一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于(B)A．1B．2C．3D．4解析：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)直三棱柱，底面為直角三角形，高為12，如圖所示，其中AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，則AB＝10.要使該石材加工成的球的半徑最大，只需球與直三棱柱的三個(gè)側(cè)面都相切，則半徑r等于直角三角形ABC的內(nèi)切圓半徑，即r＝eq\f(6＋8－10,2)＝2，故能得到的最大球的半徑為2，故選B.命題視角2：球的內(nèi)接問題[例4]已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球OA.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)[分析]利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離建構(gòu)直角三角形即可求得球O的半徑．[解析]如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\f(5,2)2＋62)＝eq\f(13,2).[答案]C解決幾何體與球相切或相接的策略：,1要注意球心的位置，一般情況下，由于球的對(duì)稱性，球心在幾何體的特殊位置，比如，幾何體的中心或長方體對(duì)角線的中點(diǎn)等.,2解決此類問題的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑，關(guān)鍵是根據(jù)“切點(diǎn)”和“接點(diǎn)”，作出軸截面圖，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來計(jì)算.[變式訓(xùn)練4]正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為6，底面邊長為4，則該球的表面積為(B)A.eq\f(44,3)πB.eq\f(484,9)πC.eq\f(81,4)πD．16π解析：如圖，正四棱錐P-ABCD中，PE為四棱錐的高，根據(jù)球的相關(guān)知識(shí)可知，四棱錐的外接球的球心O必在正四棱錐的高線PE所在的直線上，因?yàn)榈酌孢呴L為4，所以AE＝2eq\r(2)，設(shè)球半徑為R，在Rt△AEO中，AE2＋OE2＝AO2，即(2eq\r(2))2＋(6－R)2＝R2，解得R＝eq\f(11,3)，則S＝4πR2＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)))2＝eq\f(484,9)π，故選B.1．球的體積與其表面積的數(shù)值相等，則球的半徑等于(D)A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．3解析：設(shè)球的半徑為r，則由題意得eq\f(4,3)πr3＝4πr2，解得r＝3.2．一個(gè)正方體的表面積為6，并且正方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則此球的體積為(D)A.eq\f(4π,3) B.eq\f(\r(6)π,8)C.eq\r(6)π D.eq\f(\r(3)π,2)解析：設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為r，則6a2＝6，∴a∵2r＝eq\r(3)a，∴r＝eq\f(\r(3)a,2)＝eq\f(\r(3),2)，∴V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×(eq\f(\r(3),2))3＝eq\f(\r(3)π,2).3．已知一個(gè)多面體的內(nèi)切球的半徑為1，多面體的表面積為18，則此多面體的體積為(C)A．18 B．12C．6 D．12π解析：連接球心與多面體的各個(gè)頂點(diǎn)，把多面體分成了高為1的多個(gè)棱錐．∴S＝S1＋S2＋…＋Sn＝18.∴V＝eq\f(1,3)S×1＝eq\f(1,3)×18＝6.4．湖面上漂著一個(gè)小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個(gè)直徑為6cm，深為1cm的空穴，則該球半徑是5cm，表面積是100πcm2解析：設(shè)球心為O，OC是與冰面垂直的一條球半徑，冰面截球得到的小圓圓心為D，AB為小圓D的一條直徑，設(shè)球的半徑為R，則OD＝R－1，則(R－1)2＋32＝R2，解之得R＝5cm，所以該球表面積為S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．5．軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為2，求球的體積．解：如圖所示，作出軸截面，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以CD＝eq\f(1,2)AC＝2，所以AC＝4，AD＝eq\f(\r(3),2)×4＝2eq\r(3)，因?yàn)镽t△AOE∽R(shí)t△ACD，所以eq\f(OE,AO)＝eq\f(CD,AC).設(shè)OE＝R，則AO＝2eq\r(3)－R，所以eq\f(R,2\r(3)－R)＝eq\f(1,2)，所以R＝eq\f(2\r(3),3).所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1