磁感應強度

9-1如圖9-1所示，一條無窮長教流20A的直導線在P點被折成120。的鈍角，設d=2cm,求P點的磁感

應強度。

解：P點在OA延長線上，所以。4上的電流在P的磁感應強度為零。

作OB的垂線尸。，NOPQ=30°,OB上電流在尸點的磁感應強度大小

B=-^L=(sin',一sin△)=^(sin-+sin30o)

4πPQ2'4乃dcos3002

4乃XICT7X20(l+∣)=1.73×10^4Wb/m2,方向垂直于紙面向外。

4/rX0.02X

2

9-2半徑為R的圓弧形導線與一直導線組成回路，回路中通有電流/,如圖9-2所示，求弧心。點的磁感應

強度(圖中φ為已知量)。

解：???圓環電流在圓心處的磁場B="

2R

二圓弧ABC在。處的磁場3=必(生二2)方向垂直紙面向里

2R2乃

又直線電流的磁場B=必L(Sine,-sin8),.?.直線AB在。處的磁場

47ra

6，=42[sin^—sin(—2)]=―婚—.2sin￡=史一tg?方向垂直紙面向里

^4πa224；TRCoSg22兀R2

71t°s2^

弧心。處的磁場B=Bi+B,=-(2π-φ+2tg^

'4τrR2

9-3兩根長直導線沿半徑方向引到鐵環上A、JB兩點，并與很遠的電源相連。如圖9-3所示，求環中心的磁

感應強度。

解：設鐵環被4、B兩點分成兩圓弧的弧長分別為I2,電阻分別為品、R2,電流分別為八、八。

由圖知RI與R?并聯，；.?■=&=紅即I/1=八八_/ZX

Ii「α

人在O點的磁感應強度

〃0八Z_Ao∕∣∕∣

￡)1—,1一方向垂直于紙面向外

2R2πR4萬R2

圖9?3

/2在O點的磁感應強度

D_Nohh

_^0/2/2方向垂直于紙面向內

^2R2兀R44R2

即跳、月2大小相等，方向相反。「?月O=A+月2=O

9-4一半徑為R的薄圓盤，其中半徑為/?的陰影部分均勻帶正電，面電荷密度為+。，其余部分均勻帶負電,

面電荷密度為r（見圖94）。設此盤以角速度為。繞其軸線勻速轉動時，圓盤中心。處的磁感應強度

為零，問R和r有什么關系？并求該系統的磁矩。

解：（1）取半徑為/、寬為d/的圓環面元，所帶電量dq=σds=σ-2πr'dr'

產生的電流dl^—dq

2π

.jμ.-①--σ?2CτrrYdr，.,

dz

.dg7τ^o_2πμucoσdr

Zr'_2r'2

圖

廠'<廠的部分產生的磁場9-4

&=∫Q3=j幺絲d/=必也方向水平向右

022

r<r'<R的部分產生的磁場

B=fd3=j維竺d/=維竺（/?一r）方向水平向左

Jj22

由題意Bo=B+-上=()即義絲(2r-R)=0,ΛR=Ir

2

(2)d/的磁距大小dPm=兀/di=ωσπr"dr'

,3,4

∕vr部分Pm+=ωσπ?rdr=—ωσπf^方向水平向右

04

RI

,3,4

尸VkVH部分pm.=ωσπ?rdr=—ωσπ(R-/)方向水平向左

r4

1117

44i44

.?.P,n=pm+-pm-=-ωσπ(2r-/?)=-ωσπ{-R-R)=--ωσπR方向水平向左

44832

9-5氫原子處在正常態（基態）時，它的電子可看作是在半徑為α=0?53X∣08cm的軌道（稱為玻爾軌道）

上作勻速圓周運動，若電子在軌道中心處產生的磁感應強度大小為12.5T,求（D電子運動的速度大

小？（2）該系統的磁矩。（電子的電荷電量e=1.6X10支）。

解：（1）作勻速圓周運動的電子，形成電流的電流強度為∕=H=e?JL

?r2πa

/在軌道中心處產生的磁感應強度B="=叢M

Ia4萬/

4乃?_4χ3.14χ(O.53xlθT°)2χl2?5_22χio6rn-ι

79

NOe4×3.14×10^×1?6×10^I…

一CV_eva_1.6×10^l9×2.2×106×0.53×10-10

(2)Pm=IS=大----πa2=9.33×W24A-2

2πa22m

磁:通量

9-6已知一均勻磁場的磁感應強度8=2T,方向沿X軸正方向，如圖9-6所示，已知α8=cd=40cm,be=

αd=^=30cm,be=cf=30cmo求：（1）通過圖中abed面的磁通量；（2）通過圖中次近面的磁通量;

（3）通過圖中次"面的磁通量。

解：（1）月垂直穿過平面Hcd

Φ,,,l=B-Sllhcd=-BSahcd=-2×0.4×0.3=-0.24Wb

負號表示月線穿入該面

o

(2)B平行于平面befc,:,中"]2=瓦MbefC=BScos90=0

圖9-6

（3）穿入平面Med的磁力線數與穿出“歐/平面的磁力線數相同

???①”一①加=0.24Wb

9-7兩平行長直導線相距d=40cm,每根導線載有等量同向電流/,如圖9-7所示。求：（1）兩導線所在平

面內，與左導線相距X（X在兩導線之間）的一點P處的磁感應強度。（2）若∕=20A,通過圖中斜線所

示面積的磁通量（rι=r3=10cm,∕=25cm）?.

解：建立如圖所示的坐標系

（1）左導線在P點的磁感應強度8=鈕，方向垂直紙面向下

27ZX

右導線在P點的磁感應強度Bz=,方向垂直紙面向下

2τc(d—x)

.?.8=B1+3,="d+—1一）,方向垂直紙面向下

rlπXd-X

（2）在X處取寬為Ck的面元dS=ldx設方向垂直紙面向下，其上磁通量

dφ=β?dS———（—I-------）?Zdx

2πXd-X

+

Γιr2j11

B=J瓦哈[^?(-=-+-!—)√dx=2.2×I0^6Wb

J2πXd-X

ri

安培環路定律

9-8如圖9-8所示的導體圓管，內、外半徑分別為。和從導體內載有電流/,設電流/均勻分布在導體圓

管的橫截面上，求：（1）磁感應強度的分布；（2）通過每米導體圓管S平面內（陰影部分）的磁感應通

量。

解：（1）作半徑為八圓心在軸線上的圓為積分回路，由安培環路定律

*

r<a：jβl?dl=B↑?2πr-0,..A=0

a<r<b:&?2乃r=∕∕Z,=—~~—?^(2-√)

0兀彷-a)r

：.B，=〃。/"一"?,方向與/滿足右手螺旋法則

^2乃r(b--a)

r>b?.Bs，2兀r=μ(J,:.B、=叢'—，方向與/滿足右手螺旋法則

2乃r

(2)取面元dS=ldr=dr

"甘-需"

9-9在半徑為R的無限長圓柱形導體內部挖去一半徑為,?的無限長圓柱體，兩柱體的軸線平行，相距為d,

如圖9-9所示。該導體中通有電流/,且/均勻分布在橫截面上。求：(1)圓柱導體軸線上的磁感應強

度；(2)空心部分軸線上的磁感應強度。

解：填補法。設在半徑為r的空間中通有等量而反向的電流，其電流密度與導體中相同

(1)圓柱導體軸線的磁場由半徑為r的無限長圓柱體中電流產生

r_-IZA)I/

???，瓦?d∕=β?2W=∕∕∕,=∕z?—-―-?π~，_J-

JL100膜K-r)r2M(/?2一產)

(2)空心部分軸線上的磁場由半徑為R的無限長圓柱體中電流產生

fB2d/=β2?2W=χz0∕2='B2=-√2~Ξ7

{萬(&-/)2π(/?--?)

9-10如圖9-10所示，兩無窮大平行平面上都有均勻分布的面電流，面電流密度分別為彳和i2,兩電流密度

方向平行。求：(1)兩面之間的磁感應強度；(2)兩面之外空間的磁感應強度。

解：無窮大板的磁感應強度大小B=",建立如圖所示坐標系

2

(1)兩板之間，/*，Bi=

???B=Bi+B2=^(iι-i2)ex

(2)在右板之外時,看I='叫，艮="?，互=A+月2=+，’2)&

瓦=一「^^'?'?=B?+B2~~~(i?+i2)e

在左板之外時,A=號Xx

9-11如圖9-11所示，一均勻密繞的環形螺線管，匝數M通有電流/,橫截面為矩形，圓環內、外半徑分

別為Rl和R2。求：（1）環形螺線管內外的磁場分布：（2）環形螺線管橫截面的磁通量。

解：（1）磁場分布為以環軸為圓心的一圈圈圓。取一月線為積分回路，方向與月相同。

山安培環路定律，環管內磁場滿足

BdT=B-2πr^juuNI,得8=色”

2πr

環管外有B?2πr=4即B=O

（2）在橫截面上取一寬度為dr的長條面元，磁通量為

5,δd,cμ0NIAoNIb+QrNONIb、R,

d①,"=8?dS=8dS=t2-----bdr,:.Φ——一——In」

2πrm2πJr2萬&

Λ∣

磁場對電流的作用（安培力）

9-12半徑為R的平面圓形線圈中載有自流1,若線圈置于一個均勻磁場月中，均勻磁場方向與線圈平面

垂直，如圖9-12,則（1）線圈上單位長度的電流元所受磁場力為多少？（2）左半圓受力如何？（3）

整個圓形線圈又如何？

解：（1）任取一電流元Idl,所受磁場力dF=IdIXB

大小dF=IBdl方向指向圓心

（2）由對稱性可知，左半圓受力方向水平向右

2

F左=[dFcosa=∫IB?Rda?cosa=aIBR

π

^2^

（3）右半圓受力水平向左，大小與左半圓相同，所以整個圓形線圈受力為零。

9-13半徑為R的平面圓形線圈中載有自流/,一載流/'的無限長直導線通過圓形線圈的圓心放置，并和圓

形線圈共面（相互絕緣），如圖9-13所示，則圓形線圈左半圓所受磁力如何？整個圓形線圈所受磁力

又如何？

解：（1）如圖在左半圓上任取一電流元/R,受力大小

dF=IBdl=1?—維——Rda="L四_

2πRcosar∑πcosa

由對稱性可知，左半圓受磁場力方向水平向左

π

.*.F左=j"cosα="(2∫da=-μjΓ

2?_￡2

~2

（2）右半圓受磁力方向水平向左，且與尸左相等，.I尸=2/左=〃o〃'

9-14一無限長薄金屬板，寬為4,通有電流4,其旁有一矩形線圈ABC/）,通有電流上，線圈與金屬板共

面，如圖9-14所示。求：（1）人在AB和C。處產生的磁感應強度；（2）薄金屬板對AB和CD邊的作

用力。

解：建立如圖所示坐標系

（1）在金屬板上X處取一寬為dx的面長條，其中E

di=-dx

a

dl在AB處的磁感應強度大小

dB*二小，-方向垂直紙面向下

圖9-14

2π（a+b-x）

金屬板上所有面長條在AB處產生的磁場方向相同

LiIi?dxLiI↑a-?-b、人工士“▼

?*?BAB-?fd1B=-n?--;--?——ciI1n---方向垂直紙面向下

ABLπaoa+b-x2πab

j

同理可得JBs=?nL方向垂直紙面向下

2πah+c

-,7NOhl2[cι+bfμ^l?l∕,cι+b.

(2)Far=FIdl×RAR=a-----In-------Iah=-.........In--------1

AB2τrciUABLTlClb

同理2第?啜手

磁力矩

9-15在垂直于通有電流∕∣的長直導線平面內有一扇形載流線圈HCd,半徑分別為以和&，對長直導線張

角為二,線圈中通有電流b如圖所示。求：（1）線圈各邊所受的力；（2）線圈所受的力矩。

,

解：（1）從和面上電流元方向與B同向..ρhc=ρda=O

在。。上距//為，?處取電流元八由，受力dF=l∕lxB

/4/_L8,.?.dF=∕√∕∕?B=幺W匹dr,方向垂直于紙面向外

2πr

FM=J"=2??hf如=Zf?m旦

2乃Rr2乃Rl

同理Em=幺迎2In心,方向垂直于紙面向內

2兀R

（2）在距//為r處取一寬為dr的面扇形，由扇形面積S=—r2,OC

2

.*.dS-ardr

磁矩為dp,“=l∕s=I"rdr方向垂直于紙面向下

磁力矩大小為dM=dpmB=imdr?幺曲=dr

2πrrLπ

：.V=嗎史f辦=綽絲（R2-吊）方向向右

2TTRlLTl

9-16如圖9-16所示.一矩形載流線圈由20匝相互絕緣的細導線繞成，可繞y軸轉動，線圈中載有電流/=

0.10A,放在磁感應強度B=0.50T的均勻磁場中，月的方向平行于X軸，求維持線圈在圖示位置時的

力矩。

解：矩形截流平面線圈的磁矩大小為Pm=NIS,所受磁力矩大小為

3

M=pm-BsinθNISBsin60°=20×0.1×0.1×0.05×0.5×?γ=4.3×10^(N?m)

方向沿y負向

.?-維持線圈在圖示位置所需力矩M外=4.3×10'3ΛN?m）

圖9-16

9-17一半徑為R的帶電薄圓盤，電荷面密度為b,放在均勻磁場月中，月的方向與盤面平行，如圖9-17

所示。若圓盤繞其軸線以角速度。轉動，試求：（1）圓盤的磁矩；（2）場作用于圓盤的磁力矩。

解：（1）取半徑為r,寬為力?的圓環，電量dq=σ-2πrdr

轉動形成電流dl=-dq=ωσrdr

2π

其磁距clP=πr'dl=πωσf'dr

m圖9-17

d

Pm=JPm=~,方向沿軸線向上

y

（2）Pm所受磁力矩大小dM=?dpm×B?=dpm-B=πωσBrdr方向垂直紙面向里

R1

34

M-?dM=∫πωσBrdr=—πωσRB方向垂直紙面向里

04

磁場對運動電荷的作用

9-18兩個正的點電荷外相距為d,并排平行運動，速度為V。求它們之間的相互作用力，這個力是斥力還

是吸引力？

解：如圖所示，上電荷q在下電荷q處產生的磁感應強度為B=區方向垂直紙面向里

4〃d

下電荷受磁力大小Fn,=qvB=幽。方向指向上電荷q,即相互吸引

4M

下電荷受電場力大小FF=」方向背向上電荷q,即相互排斥

4πε0d-

絲=—5--y=4>b相互排斥。

FB￡。NOvV

9/9一電子的動能為IOeV,在垂直于均勻磁場的平面內作圓周運動。巳知磁場B=LOG,電子電荷為-e

=1.6×1019C,質量m=9.1Xl（P∣kg°求：（1）電子的軌道半徑R；（2）電子的回旋周期T：（3）沿磁

場方向觀察，電子是順時針方向還是逆時針方向回旋？

.?.v=(W

5/、12

解：(1)*.,Ek=，

m

mv(2EM%(2xlθxl.6xlθ"9χ9.iχi0-3∣)%

軌道半徑=10.67cm

eB1.6×10^l9×l×10^4

⑵?,_2τrR_2ττm_2×3.14×9.1×10-31

=3.6×iθ^7s

veB1.6×10'l9×l×10-4

(3)VF1=-ev×B,二順時針回旋

9-20一塊樣品如圖9-19所示，已知它的橫截面積為S,寬為w,厚為4,載有電流/,外磁場月垂直于電

流（圖中A垂直于紙面向外）。設單位體積中有〃個載流子，每個載流子的電荷為q,平均定向速率為

Vo（1）證明：樣品中存在一個大小為E=話的電場，并指出巨的方向：（2）上、下兩邊a、b的電勢

差U,哪邊電勢高？（3）霍耳常數定義為R"=]9，證明：RH=—o（注意討論q為正和負的情

nq

況）

解：（1）在平衡時，運動電荷受洛侖茲力和霍爾電場的作用

⑥R/

洛侖茲力FL=QV×B方向豎直向上

即a邊積累正電荷，b邊積累負電荷

所以霍爾電場由a邊指向b邊b

圖9-20

,,

.?qv×B+qEH,..Ew=-v×B,大小EH=

b一〃__

⑵U,,b=J“?di=J(7xB)?dl=vBda邊電勢高

由霍爾常數定義EH=RH半即RH弓=VB

??

vSvS1

得證。

■"R"=7=何=?'

磁力的功

9-21題9-15中，若線圈在磁力作用下轉到平衡位置，求磁場所做的功。

解：開始時磁通量為：必=8SeOSe=；BS,平衡位置時：H=BS

：.A=/A0=/(力-必)=；儂=；X0.1X0.5X0.1X0.05=1.25×1O^4J

9-22半徑R=O.Im的半圓形閉合線圈，載有電流∕=10A,放在B=0.5T的均勻磁場中，磁場方向與線圈面

平行，如圖9-22所示。求：（1）線圈所受磁力矩的大小和方向（以直徑為轉軸）；（2）若線圈受磁力

矩的作用轉到線圈平面與磁場垂直的位置，則磁力矩作功

_-1一16一

,,1

解：(1).?M=pιn×Bfpm=ISh=I?-πR-n,..M=-IπRii×B

大小M=/J2β=?x3.14×10×(0.1)2×0.5=7.85×10-2N?m

方向豎直向上

圖9-2