第11章矩陣位移法●本章教學的基本要求：掌握用矩陣位移法計算平面桿件結構的原理和方法。包括單元和結點的劃分；單元和結構坐標系中單元剛度矩陣的形成；用單元定位向量形成結構剛度矩陣；形成結構綜合結點荷載列陣；結構剛度方程的形成及其求解；結構各桿內力和支座約束力的計算。掌握矩陣位移法的計算步驟。

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本章教學內容的重點：用先處理法形成結構剛度矩陣和綜合結點荷載列陣。●本章教學內容的難點：用先處理法形成結構剛度矩陣中各步驟的物理意義；單元剛度矩陣和結構剛度矩陣中剛度系數的物理意義和求法；矩陣位移法與位移法之間的聯系與區別。●

本章內容簡介:11.1概述11.2桿件結構的離散化11.3單元坐標系中的單元剛度矩陣11.4結構坐標系中的單元剛度矩陣11.5用先處理法形成結構剛度矩陣11.6結構的綜合結點荷載列陣11.7求解結點位移和單元桿端力11.8矩陣位移法的計算步驟和算例第11章矩陣位移法11.1概述11.1.1結構矩陣分析結構矩陣分析以結構力學的原理為基礎，采用矩陣進行運算，公式緊湊，形式統一，便于計算過程的規格化和程序化，滿足電子計算機進行自動化計算的要求。11.1.2結構矩陣分析的兩類方法力法位移法傳統結構分析方法結構矩陣分析方法矩陣力法（柔度法）矩陣位移法（剛度法）結構矩陣分析有時也稱為桿件結構的有限單元法。11.1.3矩陣位移法的三個基本環節矩陣位移法就是以矩陣形式表達的位移法。1.結構的離散化2.單元分析3.整體分析把結構劃分為有限個較小的單元，各單元只在有限個結點處相連。分析桿單元的桿端內力與桿端位移之間的關系，以矩陣形式表示，建立單元剛度方程。通過考慮各結點的變形協調條件和平衡條件，建立整個結構的剛度方程，以求解原結構的結點位移。11.1概述11.2桿件結構的離散化11.2.1單元與結點的劃分和編號1.單元與結點的劃分

基本要求：保證單元為等截面直桿。此外，應兼顧計算的方便和結構的特殊形式。2.單元與結點的編號

單元號用①、②、③、…表示；結點號用1、2、3、…表示。11.2.2兩種直角坐標系矩陣分析中，為了矢量分析的方便，需要采用兩種直角坐標系，即結構坐標系和單元坐標系。采用右手旋轉直角坐標系，如圖所示。11.2桿件結構的離散化11.2.3單元桿端力和桿端位移的表示方法單元桿端截面的內力和位移分別稱為單元桿端力和桿端位移。平面剛架中的第e個單元，其始端和末端的結點編號分別為i和j。11.2桿件結構的離散化1.單元坐標系中的單元桿端力和桿端位移在單元分析時，各桿端力和桿端位移均應按照一定的次序排列，一般規定先“始端”后“末端”。11.2桿件結構的離散化2.結構坐標系中的單元桿端力和桿端位移桿端線位移與結構坐標系正向一致為正，桿端轉角以順時針方向為正。11.2桿件結構的離散化11.2.4單元坐標轉換為了便于利用單元坐標系中的單元桿端力和桿端位移來建立結構坐標系中的結構剛度方程，有必要建立單元桿端力和桿端位移在兩種坐標系之間的轉換關系。11.2桿件結構的離散化寫成矩陣形式，則有（11-5）（11-6）11.2桿件結構的離散化其中（11-7）稱為平面剛架單元坐標轉換矩陣，它是正交矩陣，因而滿足（11-8）不同坐標系下，單元桿端力轉換關系如下11.2桿件結構的離散化（11-6）（11-9）（11-10）（11-11）單元桿端位移與單元桿端力一樣，同為矢量，故不同坐標系下單元桿端位移的轉換關系與單元桿端力的相同，具體如下11.2桿件結構的離散化11.3單元坐標系中的單元剛度矩陣11.3.1一般單元的單元剛度方程和單元剛度矩陣單元桿端力和桿端位移之間的轉換關系，稱為單元剛度方程。單元剛度矩陣是桿端力與桿端位移之間的轉換矩陣。在單元坐標系中，單元剛度方程可表示為為單元坐標系中的單元剛度矩陣。

式中，在線彈性小變形范圍內，可忽略軸向變形與彎曲變形之間的相互影響，根據桿件的拉壓胡克定律和無荷載作用時的轉角位移方程，可寫出關系式

11.3.1一般單元的單元剛度方程和單元剛度矩陣11.3單元坐標系中的單元剛度矩陣寫成矩陣形式簡寫為稱為單元坐標系中平面剛架一般單元的單元剛度方程。11.3單元坐標系中的單元剛度矩陣其中稱為單元坐標系中平面剛架一般單元的單元剛度矩陣，簡稱單剛。是6×6階的方陣。11.3單元坐標系中的單元剛度矩陣11.3.2單元剛度矩陣的性質1.單剛是單元固有的性質單剛中各元素只與單元的彈性模量E、橫截面面積A、慣性矩I及桿長l等有關，而與外荷載等其他因素無關。

2.單元剛度系數的物理意義單元剛度矩陣中的每個元素稱為單元剛度系數，代表由于單位桿端位移引起的桿端力。1）任一個元素表示第l個桿端位移分量等于1（其余位移分量等于零）時，所引起的第m個桿端力分量的值。

11.3單元坐標系中的單元剛度矩陣11.3.2單元剛度矩陣的性質2）某一列的六個元素，表示當該列對應桿端位移分量等于1（其余位移分量等于零）時，所引起的六個桿端力分量。3）某一行的六個元素，分別表示各個桿端位移分量分別等于1時，所引起的按該行號順序排列的那個桿端力分量的數值。單剛中第五列元素11.3單元坐標系中的單元剛度矩陣3.單元剛度矩陣是對稱矩陣11.3.2單元剛度矩陣的性質單元剛度矩陣中位于主對角線兩邊處于對稱位置上的兩個元素（簡稱副系數或副元）相等。

4.一般單元的單元剛度矩陣是奇異矩陣的行列式之值等于零，不存在逆矩陣。11.3單元坐標系中的單元剛度矩陣5.單元剛度元素值的性質1）主系數恒大于零。2）第二列和第五列各非零元素等值反號。3）第三列和第六列相比，只需將第三行和第六行元素交換。11.3.2單元剛度矩陣的性質如果已知單元結點位移，可惟一求出單元桿端力；反之，則沒有惟一解。無外界約束的一般單元，也稱自由單元。任一自由單元還可以產生任意的剛體位移，故某一組滿足平衡條件的桿端力可以與彈性位移和任意剛體位移組成的多組桿端位移相對應。11.3單元坐標系中的單元剛度矩陣采用上述同樣的方法還可以得出其他各種特殊單元（如一端固定而另一端為鉸支或定向支承或自由的梁單元等）的剛度方程和剛度矩陣。在結構矩陣分析中，我們著眼于計算過程的程序化、標準化和自動化，因而，無論i、j兩端的約束情況如何，都可按一般單元情況處理，即采用一種標準化形式（一般單元）的剛度矩陣。這時，需要把實際鉸支或自由端未知的位移作為求解的未知位移。此外，在采用計算機進行分析時，一般都把桿件的軸向變形影響考慮進來，使程序編制上更為簡單，而且對于大多數情況，這樣得到的結果更為準確。11.3單元坐標系中的單元剛度矩陣（稱為結構坐標系中的單元剛度方程）。可得稱為結構坐標系中的單元剛度矩陣，仍然是對稱矩陣；由于仍為自由單元，故仍然是奇異矩陣。其中元素的值還與結構坐標系到單元坐標系之間的夾角a有關。a以從結構坐標系x軸順時針旋轉到單元坐標系軸方向為正。11.4結構坐標系中的單元剛度矩陣根據前述桿端力和桿端位移的坐標轉換關系，以及單元坐標系中的單剛方程，可得比對平面剛架一般單元的單元剛度矩陣對稱

11.4結構坐標系中的單元剛度矩陣11.5用先處理法形成結構剛度矩陣11.5.1結構的整體分析結構剛度方程可寫作

D為待求的基本未知量（結點位移）列陣；

F為結構的綜合結點荷載列陣（也稱總荷載列陣）；

K為結構剛度矩陣，簡稱總剛，是結構各結點力與結點位移之間的轉換矩陣。1.先處理法所謂先處理法，就是一開始即考慮結構的支承條件，把已知的支座位移排除在基本未知量之外，相應地，結構的綜合結點荷載列陣中也不包括支約束力。因而，所形成的結構剛度方程階數小，不用再修正。先處理法可很方便地處理有鉸結點的結構、各種性質的支承結點結構及忽略軸向變形的結構。11.5用先處理法形成結構剛度矩陣11.5.2先處理法和后處理法在整體分析時，必須考慮和引入支承邊界條件，而這一條件可以在形成整體剛度方程之前或之后處理，因而形成了先處理法和后處理法兩種做法。11.5.2先處理法和后處理法在整體分析時，必須考慮和引入支承邊界條件，而這一條件可以在形成整體剛度方程之前或之后處理，因而形成了先處理法和后處理法兩種做法。2.后處理法所謂后處理法，就是先不考慮支承條件，把已知的支座結點位移和自由結點的位移也一并列入結構的結點位移列陣中，形成不受約束的原始剛度方程；然后，再根據結點的實際支承條件修正原始剛度方程，形成結構剛度方程，以求解結點位移。后處理法的基本未知量數目更多，占用計算機的內存和機時更多。一般用于結點多而支座約束少、考慮軸向變形的結構。11.5用先處理法形成結構剛度矩陣11.5.3結點位移分量的統一編碼—總碼當采用一般單元考慮單元的軸向變形時，結構的每個結點一般有三個位移（u,v,q）。采用先處理法計算，首先應按照結構的結點順序，依次對每個結點的未知位移分量u、v、q統一編碼（又稱為結點未知量編碼）。1）對于取作基本未知量的有效結點未知量，按照結點順序（每個結點又按照u、v、q

的順序），依次連續編碼即1，2，…，n。11.5用先處理法形成結構剛度矩陣2）對于已知的支座結點位移分量（包括為零和非零兩種情況），編“0”號。11.5用先處理法形成結構剛度矩陣3）對于平面剛架內部有鉸結點（全鉸或半鉸結點）的情況，因采用一般單元來分析，桿在鉸端的轉角也是未知量，故應將相互鉸結的桿端編以不同的結點號（即進行雙編號）。11.5用先處理法形成結構剛度矩陣4）對于無效結點未知量（即計算中不需考慮的結點未知量），編“0”號11.5用先處理法形成結構剛度矩陣5）對于忽略軸向變形的剛架，每個剛結點在某一方向上的位移分量不一定都是獨立的。11.5用先處理法形成結構剛度矩陣11.5.4單元定位向量1.定義將單元始末兩端的結點位移分量的統一編碼（即結點未知量編碼）按順序排列所組成的列向量稱為單元定位向量。11.5用先處理法形成結構剛度矩陣2.單元定位向量的作用單元定位向量不但可以用來確定單元剛度矩陣各元素在結構剛度矩陣K中的位置，以及單元桿端位移向量各元素在整個結構的結點位移向量Δ中的位置，而且，可以用來確定單元等效結點荷載（由單元上非結點荷載等效轉換而得到的結點荷載）各元素在結構綜合結點荷載列陣P中的位置。3.單元定位向量的優點借助于單元定位向量，可以很方便地解決計算機自動化計算中所需的信息。11.5用先處理法形成結構剛度矩陣11.5.5按照直接平衡法形成結構剛度方程和結構剛度矩陣圖a)所示在結點荷載作用下的平面剛架，討論結構剛度方程的建立。該剛架有5個結點、8個結點位移未知量，在結點1、結點2（或3）和結點4上作用有結點荷載。結構的結點位移列陣和結點荷載列陣分別為11.5用先處理法形成結構剛度矩陣11.5用先處理法形成結構剛度矩陣圖b)為結構坐標系中單元隔離體和結點隔離體的受力情況。

11.5用先處理法形成結構剛度矩陣根據各結點的平衡條件，可得如下方程11.5用先處理法形成結構剛度矩陣根據變形協調條件，單元桿端位移應等于與之相連的結點的結點位移，由圖a)，可得于是，用結構的結點位移表示的結構坐標系中的單元①至單元③的剛度方程，分別如下列各式所示。11.5用先處理法形成結構剛度矩陣11.5用先處理法形成結構剛度矩陣展開以上三式，就可得到用結構的結點位移表示的單元桿端力。例如

11.5用先處理法形成結構剛度矩陣將上式代入，可得同理，可得11.5用先處理法形成結構剛度矩陣將上兩式匯總寫成矩陣形式，得11.5用先處理法形成結構剛度矩陣上式就是圖a)所示平面剛架的結構剛度方程。與KD=F比較可知，其左邊的8×8階矩陣就是結構剛度矩陣K，即11.5用先處理法形成結構剛度矩陣11.5.6按照直接剛度法形成結構剛度矩陣結構剛度矩陣的元素是由單剛元素按照一定規律組成的，只要確定了單剛元素在結構剛度矩陣中的位置，就可以由各單元的單剛直接集成結構剛度矩陣K。利用單元定位向量確定單剛元素在結構剛度矩陣中的行碼和列碼后，直接將單剛元素送入結構總剛中的對應位置，這種裝配結構總剛的方法，稱為直接剛度法。11.5用先處理法形成結構剛度矩陣1.裝配過程1)計算單元e在結構坐標系中的剛度矩陣Ke，將其定位向量中各分量（始末兩端結點未知量編碼——簡稱“總碼”）及單元自身的結點位移分量編碼——簡稱“局部碼”,分別寫在Ke的上方和右側。2)按照單元定位向量中的非零分量所指定的行碼和列碼，將各單元剛度矩陣中的元素，正確地疊加到結構剛度矩陣K中去，行、列碼相同的元素則相加。這一作法稱為對號入座，同號相加。11.5用先處理法形成結構剛度矩陣例如，上列剛架各單元的定位向量分別為

11.5用先處理法形成結構剛度矩陣按照單元定位向量的指引，分別送入8×8階的結構總剛中“對號入座”，這樣形成的K1、K2和K3矩陣，稱為每個單元對總剛的貢獻矩陣。11.5用先處理法形成結構剛度矩陣顯然，結構總剛K與三個單元貢獻矩陣的關系為K=K1+K2+K3將三個單元貢獻矩陣中相同行、列的各元素“同號相加”，即可最后裝配總剛。11.5用先處理法形成結構剛度矩陣2.直接剛度法的正確性說明總剛K中任一元素kij，表示結點位移列陣D中第j個結點位移分量dj=1（其余結點位移分量均為零）時，所引起的結點荷載列陣F中第i個結點力分量fi之值。

例如，前述例子結構總剛的剛度系數k12，表示當結點位移分量d2=1（其余結點位移分量為零）時，所引起的結點荷載列陣F中第1個結點力分量f1之值，如下圖所示。11.5用先處理法形成結構剛度矩陣2.直接剛度法的正確性說明總剛K中任一元素kij，表示結點位移列陣D中第j個結點位移分量dj=1（其余結點位移分量均為零）時，所引起的結點荷載列陣F中第i個結點力分量fi之值。

例如，前述例子結構總剛的剛度系數k12，表示當結點位移分量d2=1（其余結點位移分量為零）時，所引起的結點荷載列陣F中第1個結點力分量f1之值，如下圖所示。11.5用先處理法形成結構剛度矩陣11.5用先處理法形成結構剛度矩陣12當d2=1時，則應有單元①的d5(1)=1和單元②的d2(1)=1，分別如圖b)、c)所示。再由結點1水平方向的受力（圖d所示）及其平衡條件∑Fx=0，可得k12=k45(1)+k12(1)，與之前推導的結果一致。3.結構剛度矩陣K中的元素的組成規律如果將單元定位向量中有編號i的所有單元稱為未知量di的相關單元，將與未知量di同屬一個單元的其他未知量稱為未知量di的相關未知量，則結構剛度矩陣K具有如下組成規律：

11.5用先處理法形成結構剛度矩陣(1)主對角線元素（簡稱主元）kii

kii由未知量di的相關單元的單剛中的相應主對角線元素疊加而成。

(2)非主對角線元素kij（i≠j）kij有兩種情況：若di和dj是相關未知量，則kij=kji≠0；若di和dj不是相關未知量，則kij=kji=0

。11.5用先處理法形成結構剛度矩陣1)結構剛度矩陣K是一個N×N階的方陣，N為結點的位移未知量數。2)結構剛度矩陣K是一個對稱矩陣，K=K

T。這可由約束力互等定理證明K中對稱于主對角線的元素兩兩相等，即kij=kji。3)結構剛度矩陣K是正定的。即|K|>0，且kii>0。

4)結構剛度矩陣K是一個帶狀矩陣，即非零元素分布在主對角線的附近。因此，在同一單元內的未知量編碼差值應盡量保持最小值。在實際結構分析中所遇到的結構剛度矩陣一般都是大型稀疏矩陣。非零元素很少，往往只占10%左右。11.5.7結構剛度矩陣K的性質11.5用先處理法形成結構剛度矩陣

【例11-1】試形成圖示剛架的結構剛度矩陣。已知EA=4.8×106kN，EI=0.9×105kN·m2。

解：(1)結構離散化

(2)形成結構坐標系中的單剛11.5用先處理法形成結構剛度矩陣11.5用先處理法形成結構剛度矩陣

(3)形成結構剛度矩陣（對號入座，同號相加）11.5用先處理法形成結構剛度矩陣11.6結構的綜合結點荷載列陣11.6.1形成單元的等效結點荷載列陣11.6.2計算結構的綜合結點荷載列陣F

1.形成各單元在結構坐標系中的等效結點荷載列陣1)計算在單元坐標系中的單元固端約束力2)計算在單元坐標系中的單元等效結點荷載將固端約束力反號，得到單元坐標系中的單元等效結點荷載3)計算在結構坐標系中的單元等效結點荷載

即固定結點即放松結點即坐標轉換11.6結構的綜合結點荷載列陣2.“對號入座，同號疊加”形成結構等效結點荷載將各單元在結構坐標系中的等效結點荷載列陣元素，按其單元定位向量的指示，裝入結構等效結點荷載列陣FE中。若不同單元有裝入相同位置的元素，則進行疊加。3.形成結構的綜合結點荷載列陣將結構原本所受的結點荷載所構成的列陣（稱為結構直接結點荷載FJ），與結構等效結點荷載列陣FE疊加，形成結構的綜合結點荷載列陣。F=FJ+FE11.6結構的綜合結點荷載列陣【例11-2】試求圖示結構的綜合結點荷載列陣F。解：(1)計算單元固端約束力，，11.6結構的綜合結點荷載列陣(2)計算單元等效結點荷載

單元①：11.6結構的綜合結點荷載列陣單元②：11.6結構的綜合結點荷載列陣單元③：11.6結構的綜合結點荷載列陣(3)利用單元定位向量形成結構的等效結點荷載列陣FE按單元定位向量，“對號入座，同號相加”

11.6結構的綜合結點荷載列陣(4)形成結構的綜合結點荷載列陣F11.6結構的綜合結點荷載列陣11.7求解結點位移和單元桿端力結構剛度方程（即位移法的基本方程）11.7.1求解結點位移D用先處理法直接形成的結構剛度方程，是一個線性代數方程組，其結構剛度矩陣K為對稱正定矩陣。求解此方程組，即可得到未知結點位移D的惟一確定解。11.7.2求單元桿端位移11.7.3求單元桿端內力應該注意桿端內力符號與傳統結構分析中的差異性11.7求解結點位移和單元桿端力按上兩式求得單元桿端力中，桿端軸力與軸正向同向為正，桿端剪力與軸正向同向為正，桿端彎矩以順時針方向為正。這與本書前面各章節中內力正負號規定不盡相同。注意在繪內力圖時，仍應按原規定的內力正負號進行繪制，即軸力以受拉為正，剪力以繞它端順時針旋轉為正，彎矩不區分正負，而應繪在桿件受拉一側。

11.7求解結點位移和單元桿端力11.8矩陣位移法的計算步驟和算例11.8.1先處理法的計算步驟

1）對結構進行離散化。建立單元坐標系和結構坐標系，并對結點、單元及結點位移分量分別進行編號。2）形成單元坐標系中的單元剛度矩陣。3）形成結構坐標系中的單元剛度矩陣。4）按直接剛度法形成結構剛度矩陣。5）形成結構的綜合結點荷載列陣。6）求解未知結點位移列陣。7）計算桿端內力，繪內力圖。1.平面剛架【例11-3】試用先處理法計算圖示剛架的內力。已知各桿EA=4.8×106kN，EI=0.9×105kN·m2。

解：(1)形成結構剛度矩陣（參見例11-1）11.8.2舉例11.8矩陣位移法的計算步驟和算例12345612345611.8矩陣位移法的計算步驟和算例(2)計算結構的綜合結點荷載列陣（參見例11-2）(3)解結構剛度方程，求結點位移列陣11.8矩陣位移法的計算步驟和算例解得結點位移為11.8矩陣位移法的計算步驟和算例(4)計算各單元桿端力單元①11.8矩陣位移法的計算步驟和算例單元②11.8矩陣位移法的計算步驟和算例單元③11.8矩陣位移法的計算步驟和算例(7)根據上述計算結果作內力圖，如下圖所示。11.8矩陣位移法的計算步驟和算例2.連續梁單元連續梁離散得出的單元（通常忽略軸向變形），只有兩端的彎矩和與轉角存在，其余位移為零，即其單元剛度方程為11.8矩陣位移法的計算步驟和算例故T=I，且其單剛為對于連續梁，各單元坐標軸與結構坐標軸方向一致，無需坐標轉換。不計軸向變形的無結點線位移剛架，也可以使用本類連續梁單元進行計算。11.8矩陣位移法的計算步驟和算例【例11-4】試用先處理法計算圖示連續梁的內力，并作彎矩圖。忽略各桿軸向變形的影響。解：(1)結構坐標系、單元坐標系、結點編號、單元編號及結點位移未知量編碼如圖所示。(2)形成整體坐標系中的單元剛度矩陣。11.8矩陣位移法的計算步驟和算例1211.8矩陣位移法的計算步驟和算例(3)利用單元定位向量形成結構剛度矩陣K

(4)形成結構綜合結點荷載列陣P11.8矩陣位移法的計算步驟和算例再利用單元定位向量形成結構綜合結點荷載列陣(5)形成結構剛度方程，解方程求結點位移11.8矩陣位移法的計算步驟和算例解方程，得結點位移D為(6)利用單元定位向量從結點位移D中取出各單元桿端位移11.8矩陣位移法的計算步驟和算例11.8矩陣位移法的計算步驟和算例M圖(kN.m)(7)作彎矩圖11.8矩陣位移法的計算步驟和算例3.桁架單元對于理想桁架，各桿件只有軸向變形，在單元坐標系中桿端位移僅有軸向位移的存在，而其它位移為零，即其單元剛度方程為單元坐標系中的單剛為11.8矩陣位移法的計算步驟和算例對稱坐標轉換矩陣為結構坐標系中的單剛為11.8矩陣位移法的計算步驟和算例形成平面桁架結構剛度矩陣K的方法與平面剛架相同。對結點位移分量編碼應注意，桁架單元的結點角位移不作為基本未知量。【例11-5】試用先處理法計算圖示桁架的內力。各桿EA相同。

解：(1)結構坐標系、單元坐標系、結點編號、單元編號及結點位移未知量編碼如圖所示。11.8矩陣位移法的計算步驟和算例(2)形成整體坐標系中的單元剛度矩陣單元①和單元③:a=p/2單元①單元③11.8矩陣位移法的計算步驟和算例單元②和單元④:a=0單元②單元④11.8矩陣位移法的計算步驟和算例單元⑤:a=p

/4單元⑥:a=3p

/411.8矩陣位移法的計算步驟和算例(3)利用單元定位向量形成結構剛度矩陣K(4)形成結構的綜合結點荷載列陣P11.8矩陣位移法的計算步驟和算例(5)形成結構剛度方程解方程，得結點位移D為11.8矩陣位移法的計算步驟和算例(6)計算各單元軸力11.8矩陣位移法的計算步驟和算例11.8矩陣位移法的計算步驟和算例FN圖(kN)11.8矩陣位移法的計算步驟和算例第12章結構的動力計算●

本章教學的基本要求：掌握動力分析的基本方法及體系動力自由度數的判別方法；掌握單自由度和兩個自由度體系運動方程的建立方法，及其自由振動和在簡諧荷載作用下強迫振動的計算方法；了解阻尼的作用；了解多自由度體系在一般動力荷載作用下的強迫振動；了解頻率的近似計算方法。●

本章教學內容的重點：動力自由度數的判別方法；單自由度體系運動方程的建立；單自由度及有限自由度（重點是兩個自由度）體系動力特性的計算；單自由度、有限自由度體系在簡諧荷載作用下內力、位移的計算；阻尼對振動的影響。●

本章教學內容的難點：用剛度法和柔度法建立單自由度體系的運動方程；在動力特性和動力反應計算中，剛度系數和柔度系數的計算；單自由度和兩個自由度體系在簡諧荷載作用下動力反應的計算。12.1概述12.2單自由度體系的運動方程12.3單自由度體系的自由振動12.4單自由度體系的強迫振動12.5阻尼對振動的影響12.6多自由度體系的自由振動12.7主振型的正交性12.8多自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動12.9多自由度體系在任意動力荷載作用下的強迫振動12.10*無限自由度體系的自由振動12.11近似法計算自振頻率第12章結構的動力計算●

本章內容簡介:12.1概述12.1.1結構動力計算的任務1.基本任務結構靜力學：主要研究結構在靜力荷載作用下的靜力反應。●靜內力●靜位移（均有唯一性解答）作為結構設計的依據結構動力學：主要研究結構在動力荷載作用下（即強迫振動）的動力反應。●動內力：求最大動內力，進行強度設計，使之滿足強度要求。●動位移:求最大動位移，進行剛度設計,使之保證振動情況能為人體和生產(產品)所允許。●其他(速度和加速度):求最大速度、最大加速度，不超過其允許值，使之保證振動情況能為人體和生產(產品)所允許。12.1概述1.基本任務2.研究動力反應的前提和基礎以上為結構本身的動力特性，與荷載無關。分析結構的自由振動，求出：●自振頻率（2p秒內振動的次數）●自振周期（振動一次所需的時間）●自振型式（阻尼：使振動衰減的因素；阻尼常數：反映阻尼情況的基本參數）●阻尼常數（反映阻尼情況的基本參數；阻尼：使振動衰減的因素）12.1概述

3.土木工程中常見結構振動計算問題

●高層建筑、高聳結構和大跨度橋梁的風振分析

●各類工程結構的抗震設計

●高速行駛的車輛對橋梁結構的振動影響

●動力設備基礎上的振動計算和減振、隔振設計等

●多層廠房中由于動力機器引起的樓面振動計算

4.本課程主要介紹具有線彈性特征的桿件結構，在確定性動力荷載作用下的動力計算方法；對隨機荷載作用（如地震、風振），也將作簡要介紹。

12.1概述12.1.2結構動力計算的特點（三個方面）1.動力荷載的特點

(1)靜力荷載：荷載（大小、方向、作用位置）不隨時間而變化，或隨時間極其緩慢地變化（質點被近似地視為在常力作用下作勻速運動，適用于慣性定律，即牛頓第二定律），以致所引起的結構質量的加速度（）及其慣性力（）可以忽略不計。

(2)動力荷載(也稱干擾力)：荷載（大小、方向、作用位置）隨時間明顯變化（質點在變力作用下作加速運動），以致所引起的結構質量的加速度（）及其慣性力（）是不可忽略的。12.1概述

2.動力反應的特點動力反應與結構本身的動力特性有關。因此，在計算動力反應之前，必須先分析結構的自由振動，以確定結構的動力特性。

3.動力計算方法的特點一般采用動靜法（亦稱慣性力法），即動力計算轉化為靜力計算根據達朗伯原理(引入附加慣性力，考慮瞬間動平衡）12.1概述動力計算所建立的運動方程為微分方程：1）單自由度體系：一個變量的二階常微分方程2）多自由度體系：多個變量的二階常微分方程組3）無限自由度體系：高階偏微分方程12.1概述對于沖擊、突加等幾種特殊動力荷載，則常可采用沖量法求解。12.1.3動力荷載的分類

1.周期荷載隨時間按周期變化的荷載。(1)簡諧荷載是周期荷載中最簡單和最重要的一種。其隨時間t的變化規律可用正弦函數或余弦函數表示。12.1概述

(2)非簡諧周期荷載

凡有曲柄連桿的機器（如活塞式空氣壓縮機、柴油機、鋸機等）在勻速運轉時都會產生這種荷載。2.沖擊荷載在很短時間內驟然增減的集度很大的荷載。12.1.3動力荷載的分類12.1概述3.突加常量荷載以某一恒值突然施加于結構上并在較長時間內基本保持不變的荷載。12.1.3動力荷載的分類12.1概述在將來任一時刻的數值無法事先確定的荷載。不能用數學式定義，但可采用概率論和數理統計的方法，從統計方面來進行定義。地震、脈沖風壓和波浪所產生的荷載是其典型例子。

4.隨機荷載12.1.3動力荷載的分類12.1概述12.1.4動力計算中體系的自由度

1.動力自由度的定義為了完全確定體系在運動過程中任一時刻質量位置所必需的獨立幾何參數的數目，稱為體系的動力自由度（動力分析的基本未知量是質點的位移）。

2.體系動力自由度的簡化（常用的簡化方法有下列三種）

(1)集中質量法

集中質量法是從物理的角度提供一個減少動力自由度的簡化方法。該方法把連續分布的質量（根據靜力等效原則）集中為幾個質點（質點，無大小、幾何點，但有質量），這樣，就把無限自由度體系，簡化成有限自由度體系。12.1概述a)具有均布質量的簡支梁b)無窮多個集中質量

(1)集中質量法12.1概述12.1概述

(1)集中質量法

(2)廣義坐標法廣義坐標法是從數學的角度提供的一個減少動力自由度的簡化方法。例如，具有分布質量的簡支梁的振動曲線（位移曲線），可近似地用三角級數表示為12.1概述式中，是一組給定的函數，稱作位移函數或形狀函數，與時間無關；是一組待定參數，稱作廣義坐標，隨時間而變化。因此，體系在任一時刻的位置，是由廣義坐標來確定的。注意：這里的形狀函數只要滿足位移邊界條件，所選的函數形式可以是任意的連續函數。（a）也可寫成更一般的形式式中，是從自動滿足位移邊界條件的函數集合中任意選取的n個函數，因此，體系簡化為n個自由度體系。廣義坐標法將應用于后面的振型疊加法和能量法。12.1概述(b)

(3)有限單元法有限單元法可看作是廣義坐標法的一種特殊應用。把體系的離散化和單元的廣義坐標法二者結合起來，就構成了有限單元法的概念。有限單元法其具體作法是：第二，取結點的位移參數和，即y1，θ1和y2，θ2為廣義坐標。第一，將結構離散為有限個單元。12.1概述第三，分別給出與結點的位移參數（均為1時）相應的形狀函數，即、、和，稱作插值函數（它們確定了指定結點位移之間的形狀）。

12.1概述

(3)有限單元法第四，仿照公式(b)，體系的位移曲線可用四個廣義坐標及其相應的四個插值函數表示為可事先給定，讓其滿足邊界條件。這樣，就把無限自由度體系簡化為四個自由度（y1，q1，y2，q2）體系。有限單元法綜合了前面集中質量法和廣義坐標法的某些特點。須強調的是：動力分析中的自由度，一般是變形體體系中質量的動力自由度。而前面第2章幾何組成分析中的自由度，是不考慮桿件彈性變形的體系的自由度。12.1概述

(3)有限單元法3.動力自由度的確定(1)用廣義坐標法或有限元法將無限自由度體系簡化為有限自由度體系時，體系的自由度數等于廣義坐標數或獨立結點位移數。(2)用集中質量法簡化得到的有限自由度體系，在確定體系的自由度數目時，應注意以下兩點：

1)一般受彎結構的軸向變形忽略不計。2)動力自由度數不一定等于集中質量數，也與體系是否超靜定和超靜定次數無關，但往往與計算精度有關。

確定動力自由度的方法：一般可根據定義直接確定；對于比較復雜的體系，則可用限制集中質量運動的方法（即附加支桿的方法）來確定。12.1概述

1)單自由度體系12.1概述

2)多自由度體系12.1概述12.1概述

2)多自由度體系12.2單自由度體系的運動方程描述體系振動時質點動位移的數學表達式，稱為動力體系的運動方程（亦稱振動方程）。單自由度體系的動力分析能反映出振動的基本特性，是多個自由度體系分析的基礎。本章只介紹微幅振動（線性振動）。根據達朗伯原理建立運動方程的方法稱為動靜法（亦稱慣性力法）。具體作法有兩種：剛度法和柔度法。剛度法：將力寫成位移的函數，按平衡條件列出外力（包括假想作用在質量上的慣性力和阻尼力）與結構抗力（彈性恢復力）的動力平衡方程（剛度方程），類似于位移法。柔度法：將位移寫成力的函數，按位移協調條件列出位移方程（柔度方程），類似于力法。12.2單自由度體系的運動方程

1.單自由度體系的振動模型12.2.1按平衡條件建立運動方程——剛度法m12.2單自由度體系的運動方程(1)動力荷載：(2)彈性恢復力：(3)阻尼力：(4)慣性力：2.取質量m為隔離體，其上有四種力作用

m12.2單自由度體系的運動方程

3.建立運動方程根據達朗伯原理，由SFx＝0，得代入，即得m(a)

【說明】為了表述簡明，以下各方程和各圖形中的及除FP(t)外各力均省去自變量(t)。12.2單自由度體系的運動方程【例12-1】試用剛度法建立圖示剛架受動力荷載FP(t)作用的運動方程。解：(1)確定自由度（建模）：結構的質量m分布于剛性橫梁，只能產生水平位移，屬單自由度體系。

(2)確定位移參數：設剛梁在任一時刻的位移為y，向右為正。12.2單自由度體系的運動方程設剛架的阻尼系數為c。(3)繪隔離體受力圖：取出隔離體。圖中給出了慣性力、阻尼力和彈性恢復力。各力均設沿坐標正向為正。(4)列運動方程：按動靜法列動力平衡方程，可得12.2單自由度體系的運動方程式中代入整理，可得運動方程mm12.2單自由度體系的運動方程，，，式中，剛度系數

k又稱為樓層剛度，系指上下樓面發生單位相對位移（D＝1）時，樓層中各柱剪力之和，如圖所示。m12.2單自由度體系的運動方程【例12-2】試用剛度法建立圖示靜定梁的運動方程。解：本例為單自由度體系。取a為坐標。在某一時刻t，體系位移圖和受力如圖所示12.2單自由度體系的運動方程由SMA＝0，得整理后，得運動方程12.2單自由度體系的運動方程12.2單自由度體系的運動方程【討論】關于剛度法的三種寫法1)隔離體平衡法。切取質量為隔離體，列寫運動方程。當結構作用于質量的彈性恢復力FS容易求得時，宜用此法（以質量為對象）。2)整體平衡法。考慮結構整體平衡，列寫運動方程。當無重剛桿上有集中質量時，宜用此法（以結構為對象）。3)附加約束法。其概念與靜力計算中的位移法相似。12.2單自由度體系的運動方程首先，在質量上沿動力自由度方向添加附加支桿；然后，在質量上沿動力自由度正向標示相關的力；最后，動力平衡位置，體系附加約束中豎向反力F1應等于零。12.2單自由度體系的運動方程12.2.2按位移協調條件建立運動方程――柔度法質量m所產生的水平位移，可視為由動力荷載FP(t)、慣性力FI和阻尼力FC共同作用在懸臂柱頂端所產生的。根據疊加原理，得mm12.2單自由度體系的運動方程式中，d11為柔度系數。表示在體系的質量上沿動力自由度方向施加單位力時，引起該質量沿該方向所產生的靜位移。將阻尼力和慣性力代入上式，即得因為單自由度體系中1/d11＝k11（k11和d11互為倒數)，故有(b)12.2單自由度體系的運動方程【注意】當不是直接作用在質量及其運動方向上時，則式中右邊第三項d11FP(t)應改為d1PFP(t)。其中，d1P表示作用時，引起質量沿動力自由度方向所產生的位移。相應地，前式右邊項FP(t)應改為稱等效動力荷載。同時，它與由于FP(t)作用而在質點處添加的附加約束上所產生的支反力大小相等。12.2單自由度體系的運動方程

【例12-3】試用柔度法建立圖示靜定剛架受動力荷載作用的運動方程。解：本題為單自由度體系的振動。取質量m水平方向的位移y為坐標。運動方程為12.2單自由度體系的運動方程繪出、圖如圖所示。由圖乘法得得運動方程圖圖，12.2單自由度體系的運動方程也可寫作為等效動力荷載，即式中，12.2單自由度體系的運動方程12.2.4建立運動方程小結

1)判斷動力自由度數目，標出質量未知位移正向。

2)沿所設位移正向加慣性力、阻尼力和彈性恢復力，并冠以負號。

3)根據是求柔度系數方便還是求剛度系數方便，確定是寫柔度方程還是寫剛度方程。

一般情況下，對于靜定結構，求柔度系數更為方便；而對于超靜定結構，則求剛度系數更為方便。

12.2單自由度體系的運動方程12.3單自由度體系的自由振動

12.3.1自由振動1.自由振動

2.強迫振動體系質點在外部干擾力作用下的振動，稱為強迫振動。由于外界的干擾，質點m離開靜力平衡位置，而當干擾力消失后，由于彈性恢復力的作用，質點將在靜平衡位置附近作往返運動。這種在運動過程中不受干擾力的作用，而由初位移y0或初速度v0（即）或者兩者共同作用下所引起的振動，稱為自由振動或固有振動。12.3.2運動方程的建立及求解根據式并令得體系無阻尼自由振動方程為可得令，，12.3單自由度體系的自由振動

這是一個二階常系數齊次線性微分方程。其特征方程為故通解為當t＝0時，（初位移），可求出，而（初速度），可求出。故有12.3單自由度體系的自由振動

為將位移方程寫成更簡單的單項形式，引入符號a和a。使之滿足即(簡諧振動)

于是可得第一部分：單獨由y0引起，質點按規律振動；第二部分：單獨由v0引起，質點按規律振動。，12.3單自由度體系的自由振動

可得由，12.3單自由度體系的自由振動

進一步說明w、a和a的物理意義（考查一個模擬的勻速圓周運動）質點做自由振動時其位移隨時間變化的規律（圖b），與圖a中質點做勻速圓周運動時其豎標的改變規律相同。12.3單自由度體系的自由振動

w、a和α的物理意義為：w

——自振頻率或圓頻率;a——振幅（自由振動時最大的幅度），ymax；a

——初始相位角，標志著t＝0時質點的位置。12.3單自由度體系的自由振動

12.3.3自由振動中位移、速度、加速度和慣性力的變化規律由位移，可得由速度，可得由加速度，可得由慣性力，可得(a)(b)(c)(d)12.3單自由度體系的自由振動

【注二】慣性力，即永遠與位移方向一致，在數值上與位移成比例，其比例系數。【注一】由式(c)可知，最大加速度的絕對值等于振幅a與頻率的平方ω2的乘積，將式(a)與式(c)對照，可見，即加速度與位移成比例，比例系數為ω2，但方向相反（負號），表示加速度永遠指向平衡位置。(c)(a)12.3.3自由振動中位移、速度、加速度和慣性力的變化規律12.3單自由度體系的自由振動

12.3.4自振周期與自振頻率1.自振周期

所以，自振周期因表示體系振動一次所需要的時間，其單位為s（秒）。12.3單自由度體系的自由振動

2.工程頻率表示體系每秒振動的次數，其單位為s-1（1/秒）或Hz（赫茲）。一般建筑工程用鋼為7～8次/s，鋼筋混凝土為4次/s，屬低頻；一般機器為高頻。3.自振頻率

表示體系在2π秒內振動的次數，因此也稱圓頻率。其單位為rad/s（弧度數/秒），也常簡寫為s-1。w是體系固有的非常重要的動力特性。在強迫振動中，當體系的自頻ω與強迫干擾力的擾頻θ很接近時（0.75≤θ/w

≤1.25區段），將會產生共振。為避免共振，就必須使w與θ

遠離。，12.3單自由度體系的自由振動

4.T和w的一些重要性質(1)T和w只與結構的m和k11有關，而與外界的干擾因素無關。干擾力的大小只能影響振幅a的大小。(3)結構的T、w是結構動力性能的很重要的數量標志。兩個外表相似的結構，如果T、w相差很大，則動力性能相差很大；反之，兩個外表看來并不相同的結構，如果其T、w相近，則在動力荷載作用下其動力性能基本一致。工程實踐中常發現這樣的現象。(2)質量越大，則T越大，w越小；剛度越大，則T越小，w越大。要改變T、w，只有從改變結構的質量或剛度（改變截面、改變結構形式和材料）著手。12.3單自由度體系的自由振動

5.T、w的計算公式小結(1)自振周期式中，g為重力加速度；W=mg為質點的重力；Dst=Wk11，表示將重力W=mg施加于振動方向所產生的靜位移。12.3單自由度體系的自由振動

(2)自振頻率(3)工程頻率12.3單自由度體系的自由振動

【例12-4】試求圖示等截面梁的自振周期T和自振頻率w。已知E＝206GPa＝206×109N/m2，I＝245cm4=245×10-8m4。解：采用柔度法。12.3單自由度體系的自由振動b)圖a)原結構，【例12-5】試求圖示結構的w。各桿EI＝C。

圖解：12.3單自由度體系的自由振動

【例12-6】試求圖示結構的自振頻率w。

圖解：采用柔度法，12.3單自由度體系的自由振動

【例12-7】求圖示結構的自振周期T。12.3單自由度體系的自由振動

解：采用剛度法。12.3單自由度體系的自由振動

【例12-8】試求圖示結構的自振頻率w。已知彈簧剛度系數，梁的彎曲剛度為EI。解：本題是靜定結構，通常用柔度法計算比較方便。d

11=d

1+d

212.3單自由度體系的自由振動

kk【例12-9】試求圖示結構的自振周期T。解：，12.3單自由度體系的自由振動

12.3單自由度體系的自由振動

12.3.5多質點（包括均質剛性桿）的單自由度體系關于直接平衡法：根據達朗伯原理，引入附加慣性力，考慮瞬間動平衡，建立運動方程，并與單自由度體系的微分方程作比較，即可確定w的表達式。其關鍵是適當選擇質量獨立位移參數（坐標）。這類體系各質點仍是平動，而質量桿一般有轉動及平動，因此，不能再簡單地用單質點平動公式和表示。w的計算可以有以下幾種途徑：1）直接平衡法；2）等效質量法；3）旋轉振動公式法等。12.3單自由度體系的自由振動

【例12-10】試求圖示梁的自振頻率w。解：在例12-2中，按動靜法已建立了運動方程改寫為12.3單自由度體系的自由振動

【例12-11】求圖示梁的自振頻率w。解：由∑MA＝0，列動力平衡方程，得，12.3單自由度體系的自由振動

解:

【例12-12】求圖示靜定梁的自振頻率w。12.3單自由度體系的自由振動

取CB梁段為隔離體圖(d)，由∑MB

＝0，列動力平衡方程亦即(a)12.3單自由度體系的自由振動

已知，代入式(a)，整理后,得動力平衡方程(a)對比，得12.3單自由度體系的自由振動

12.4單自由度體系的強迫振動結構在動力荷載（也稱干擾力）作用下的振動稱為強迫振動或受迫振動。本節研究無阻尼的強迫振動。在公式中，若不考慮阻尼，則得單自由度體系強迫振動的微分方程為或寫成若FP(t)不是直接作用在質點上時，則可將其化為直接作用在質點上的等效動力荷載FE(t)。12.4單自由度體系的強迫振動等效動力荷載的幅值式中，F為動力荷載的幅值，D1P為F作用下在質點振動方向產生的位移。12.4單自由度體系的強迫振動12.4.1簡諧荷載作用下的動力反應(本節重點)q

為簡諧荷載的頻率（擾頻）F為荷載的最大值（動力荷載幅值）1.求解(1)齊次解12.4單自由度體系的強迫振動(2)特解y*設特解為于是有代入得由此得12.4單自由度體系的強迫振動令yst——動力荷載幅值F產生的位移（最大“靜”位移）

Dst——實際靜荷載（如自重W）產生的位移（靜位移）12.4單自由度體系的強迫振動于是有故特解即12.4單自由度體系的強迫振動(3)通解系數C1和C2由初始條件確定：故通解為

亦即，則得設，，12.4單自由度體系的強迫振動1)前兩項為自由振動部分，與初始條件y0和v0有關。【討論】2)第三項與y0和v0無關，是隨干擾力的出現而伴隨產生的，仍屬自由振動（按自頻w振動），稱為伴生自由振動。3)第四項為純強迫振動（無阻尼），按擾頻θ

振動。在工程中有實際意義的是平穩階段（第四項）的y，即式中，yd,max稱最大動位移（即A），為強迫振動的振幅，是控制設計的重要依據。12.4單自由度體系的強迫振動則強迫振動的振幅

所以有b

的物理意義是：表示動位移yd,max的最大值(亦即振幅A)是最大“靜”位移yst的多少倍，故稱動力系數。對于單自由度體系，當在簡諧荷載作用下，且干擾力作用于質點上時，結構中內力與質點位移成比例。所以動力系數β

既是位移的動力系數，又是內力的動力系數。令動力系數12.4單自由度體系的強迫振動2.討論（關于振幅算式的分析）強迫振動的振幅其中，動力系數(1)→0，β

→1：這說明機器轉動很慢（θ

?ω）時，干擾力接近于靜力。一般當<1/5時，可當作靜力計算（例如，當＝1/5時，β＝1.04）。位移反應譜12.4單自由度體系的強迫振動(2)→∞，

β→0：以軸為漸近線。這說明機器轉動非常快時（β

?ω，高頻荷載作用于質體），質體基本上處于靜止狀態，即相當于沒有干擾力作用（自重除外）。(3)0<<1，β

為正，且β

>1，又β

隨的增大而增大。與同號，即質點位移與干擾力的方向每時每刻都相同（同相位）。位移反應譜12.4單自由度體系的強迫振動(4)>1，b

為負，其絕對值隨的增大而減小。y與異號，即質點位移與干擾力的方向相反（相位相差p）。位移反應譜12.4單自由度體系的強迫振動(5)→1，β→∞（無阻尼）：→∞（振幅隨時間而逐漸增大），體系發生共振。此時有：即慣性力與彈性力平衡，而沒有什么力去與實際存在的外力FP(t)平衡，因此無論振幅多大，再維持動力平衡均不可能。當θ=ω時位移反應譜12.4單自由度體系的強迫振動防止共振的措施：一是調整機器的轉速θ；二是改變體系的自振頻率w（改變w的思路，不外就是改變k11，即改變截面形式、結構形式，或是改變m）。但“共振”也是可以利用的，如利用q

＝w時，結構振幅突出大的這一特點，不斷改變機器（激振器）轉速θ，可以測定結構的w。位移反應譜12.4單自由度體系的強迫振動

3.計算步驟（單自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動）

(1)求自振頻率

(2)求干擾力頻率式中，n為電動機轉速n（r/min）。（1/s）

(3)求動力系數（注意正負號）12.4單自由度體系的強迫振動(4)求動位移幅值?動（即A）

1)先求最大“靜”位移3.計算步驟

2)再求動位移幅值(5)求最大位移Dmax=D動+D靜=yd,max+Dst=|A|+Dst(6)求最大內力

Mmax＝M動＋M靜＝Md,max＋Mst12.4單自由度體系的強迫振動【方法一】動力系數法（僅當FP(t)直接作用在質點上時）：將|β

|F作為靜力作用在體系上，按靜力法計算(圖a)。a)動力系數法12.4單自由度體系的強迫振動【方法二】幅值法：由達朗伯原理，把位移達到最大值時，所有力的幅值加上去。注意F的施加方向，即1)當β

為正時，F沿質點位移方向一致施加(圖c)。2)當β

為負時，F沿質點位移方向反向施加(圖b)。

b)幅值法(β為負)c)幅值法(β為正)FF12.4單自由度體系的強迫振動【例12-13】對于圖示體系，已知下列各值：m=123kg，F=49N(離心力)，n=1200r/min(發電機轉速)，E=2.06×1011N/m2，I=78cm4。求梁中最大動位移A(?動)和梁中最大動內力Md,max(M動)。解:(1)求自振頻率ω(2)求干擾頻率θFsinqt12.4單自由度體系的強迫振動(3)求動力系數b(4)求最大動位移A負號表示最大動位移與FP(t)方向相反。12.4單自由度體系的強迫振動(5)求最大動內力Md,max：采用動力系數法，在B點施加|b|F，繪彎矩圖，如圖所示，圖中Md,max＝16.33N·m。16.33N.mb)Md,max圖12.4單自由度體系的強迫振動【例12-14】對于圖示體系，已知：梁上的機器總重W＝30kN，機器轉速n＝350r/min，離心力幅值F=5kN，忽略梁的自重，EI＝2.0×104kN·m，試作動力彎矩幅值圖Md,max（即M動）和總彎矩M圖。解:結構為單自由度體系，采用動力系數法求解。(1)求柔度系數δ11b)圖(m)12.4單自由度體系的強迫振動(2)求自振頻率w(3)求干擾頻率q(4)求動力系數b12.4單自由度體系的強迫振動(5)作動力彎矩幅值Md,max圖

將作用于梁上D點，作Md,max圖(6)作總彎矩圖M將作用于梁上D點，作M圖。c)動力彎矩幅值Md,max圖（kN·m)d)總彎矩M圖（kN·m）DD12.4單自由度體系的強迫振動【例12-15】圖示結構，在柱頂有馬達，試求馬達轉動時的最大水平位移和柱端彎矩。已知馬達和結構重量集中于柱頂。W＝20kN，馬達水平離心力的幅值F＝250N，馬達轉速n=550r/min，柱的線剛度i=EI/h=5.88×106N·m。解：(1)求自振頻率w12.4單自由度體系的強迫振動(2)求干擾頻率θ(3)求動力系數β(4)求沿水平方向的?max負號表示Dmax與FP(t)的方向相反。12.4單自由度體系的強迫振動(5)求柱端彎矩（分別采用兩種解法）【解法一】讓二柱頂C和D點均水平移動?＝A，按兩端固定端產生順時針方向側移?＝A，繪柱彎矩圖，如圖所示，即各柱端彎矩均為【解法二】采用“動力系數法”，將向右施加于左柱頂C點，再用“剪力分配法”計算，其彎矩圖如圖c所示，即各柱端彎矩均為c)解法二M圖b)解法一M圖12.4單自由度體系的強迫振動

【例12-16】干擾力作用于等截面懸臂桿的中點，求質點穩態振幅。解：【解法一】附加支桿，將該支反力反向（即等效干擾力，亦稱等效動力荷載）作用于質點。(1)計算附加支桿內的反力幅值（力法）12.4單自由度體系的強迫振動

(2)計算作用于質點上的情況12.4單自由度體系的強迫振動【解法二】直接建立運動方程求解。施加慣性力，列柔度方程。位移y相當于作用于質點的等效力產生的位移。在質量所在的B點12.4單自由度體系的強迫振動或具體計算如下：，圖圖12.4單自由度體系的強迫振動【解法三】利用幅值方程求解。在簡諧振動中，慣性力與位移變化規律相同，即同時達到最大值，可列幅值方程.由此，得

不難化為12.4單自由度體系的強迫振動

【小結】情況1：干擾力直接作用在質點上12.4單自由度體系的強迫振動情況2：干擾力不作用在質點上12.4單自由度體系的強迫振動解：【例12-17】圖示跨中帶有一質量m的無重簡支梁，動力荷載作用在距梁端l/4處，若，試求在荷載作用下，質量m的最大動位移A。FE=0.6875F圖圖，a)b)c)d)12.4單自由度體系的強迫振動FE=0.6875F或12.4單自由度體系的強迫振動【例12-18】試列出圖示結構體系的運動方程，并繪出結構彎矩幅值圖。已知：。解:(1)質點的等效力

，，，12.4單自由度體系的強迫振動

(3)按幅值法作彎矩幅值圖，如圖所示。

(2)求慣性力幅值12.4單自由度體系的強迫振動【例12-19】圖示簡支梁跨中有一集中質量m，EI為常量，跨度為l，不計梁的質量。梁右端作用干擾力偶。試作彎矩幅值圖并求梁右端角位移的幅值。設靜力平衡時梁軸線為水平直線。已知。解：(1)求最大動位移

，，，12.4單自由度體系的強迫振動

(2)求慣性力幅值

(3)求內力幅值

(4)求12.4單自由度體系的強迫振動12.4.2一般動力荷載（任意干擾力作用）1.瞬時沖量的動力反應設體系在t＝0時處于靜止狀態。在質點上施加瞬時沖量。這將使體系產生初速度，但初位移仍為0，即y0＝0（可以證明，y0系二階微量，可略去不計）。將y0和v0代入上式就是t=0時作用瞬時沖量S所引起的動力反應。即得12.4單自由度體系的強迫振動如果瞬時沖量S從t=t開始作用，則式中的位移反應時間t，應改成(t-t

)，即上式應改為12.4單自由度體系的強迫振動2.任意動力荷載的動力反應（總效應）由式得到（對于t>t）

整個加載過程可看作一系列瞬時沖量所組成。在時，作用，在微分段內產生的微分沖量為12.4單自由度體系的強迫振動總反應為此式稱為杜哈梅(J.M.C.Duhamel)積分（卷積）。這是初始處于靜止狀態的單自由度體系在任意動力荷載作用下的位移公式。如果(在O點)初始位移y0和初始速度v0不為0，則總位移應為(自由振動)

(伴生自由振動＋純強迫振動) 12.4單自由度體系的強迫振動【說明1】這里為什么用dt而不用dt？(自由振動)

(伴生自由振動＋純強迫振動)

我們是在考察加在不同時刻t的一系列瞬時沖量對同一時刻t的位移的影響。這里位移發生的時刻t被暫時地固定起來（是指定的常數），而瞬時沖量施加的時刻t表示時間的流動坐標，是變量。因此，變量的微分為dt

，而非dt。12.4單自由度體系的強迫振動(自由振動)

(伴生自由振動＋純強迫振動)

【說明2】在杜哈梅積分中，能否把伴生自由振動分離出來？對于簡諧荷載，可以證明，能將杜哈梅積分分解為以下兩項之和，即(伴生自由振動)

(純強迫振動)其中12.4單自由度體系的強迫振動12.4.3幾種特殊荷載作用下的動力反應

1.突加長期荷載當t>0時12.4單自由度體系的強迫振動所以仍系周期運動，但不是簡諧運動。t>0時，質點圍繞其靜平衡位置（新的基線）作簡諧運動，即突加荷載所引起的最大動位移A比相應的最大靜位移增