第一章薄板的小撓度彎曲問題及其經典解法板殼理論概念及假設薄板彎曲微分方程內力及應力邊界條件簡支矩形薄板的雙級數解法矩形薄板的單級數解法變厚度矩形薄板文克勒地基上的基礎板薄板的溫度應力板殼理論§1.1概念及假設板：兩個平行平面和垂直于這兩個平行面的柱面所圍成的物體。板殼理論§1.1概念中面：平分厚度的平面厚度：兩個板面之間的距離稱為板的厚度。薄板：板的厚度t遠小于中面的最小尺寸b，這個板稱為薄板，否則稱為厚板。板殼理論一般載荷分解為縱向載荷：作用在薄板中面內的載荷。橫向載荷：垂直于中面的載荷。

縱向載荷：沿薄板厚度均勻分布。平面應力問題失穩時橫向載荷：使薄板彎曲，薄板彎曲問題。彈性曲面：當薄板彎曲時，中面所彎成的曲面，稱為薄板的彈性曲面。撓度：中面內各點在橫向的位移。概念板殼理論薄板小撓度彎曲理論的假設（1）垂直于中面方向的正應變忽略不計中面的任一根法線上，薄板全厚度內的所有各點都具有相同的位移，也就是撓度。物理方程：平衡方程板殼理論薄板小撓度彎曲理論的假設（2）橫向剪應變忽略不計平衡方程中面法線變形后不伸縮，保持為一條直線，并且仍然垂直于變形后的中面（彈性曲面）板殼理論薄板小撓度彎曲理論的假設（2）

是次要的，遠小于其他三個應力分量。薄板小撓度彎曲問題中的物理方程：板殼理論薄板小撓度彎曲理論的假設（3）薄板中面內的各點都沒有平行于中面的位移幾何方程中面上任意部分，彎曲變形后在xy平面的投影保持不變。板殼理論基本未知量：薄板彎曲的撓度w(x,y)

思考：w為什么與z沒有關系所有物理量都用w表示。由假設（2）得由假設（3）得§1.2薄板彎曲的基本方程板殼理論板內任意點的面內位移（滿足假設（3）嗎？）由幾何方程得應變分量：§1.2薄板彎曲的基本方程板殼理論由于是小撓度，所以彈性曲面的曲率和扭率用w表示為：應變分量用曲率和扭率表示為：為板的廣義應變。§1.2薄板彎曲的基本方程板殼理論由物理方程得應力分量為：幾何方程由于w與z沒有關系，所以三個應力分量都與z成正比。§1.2薄板彎曲的基本方程板殼理論由平衡方程：

把應力分量用w表示的表達式帶入上式得：§1.2薄板彎曲的基本方程板殼理論橫向剪應力用w表示為：

對z積分得：§1.2薄板彎曲的基本方程板殼理論由板上、下面橫向剪應力的邊界條件：

得：代入到第三個平衡方程，得§1.2薄板彎曲的基本方程板殼理論積分得：

由板下面的邊界條件：得：§1.2薄板彎曲的基本方程板殼理論薄板的上面有邊界條件：

把的表達式帶入上式有：或：為抗彎剛度§1.2薄板彎曲的基本方程板殼理論從薄板內取出一個微塊，長、寬和高分別為dx,dy和t§1.3薄板的內力和應力在垂直于x軸的橫截面上，作用有應力分量板殼理論

和與z成正比，所以他們在整個厚度上的合力等于零，即：每單位長度上，應力分量合成為彎矩§1.3薄板的內力和應力板殼理論每單位長度上，應力分量合成為扭矩：§1.3薄板的內力和應力板殼理論橫向剪應力分量只能合成為橫向剪力，每單位長度上，應力分量合成為扭矩：§1.3薄板的內力和應力板殼理論在垂直于y軸的橫截面上，每單位長度上，應力分量、和合成為彎矩、扭矩和橫向剪力：§1.3薄板的內力和應力板殼理論§1.3薄板的內力和應力板殼理論板內所有內力的表達式為：§1.3薄板的內力和應力板殼理論利用曲率和扭率，彎矩和扭矩的表達式為：所有內力都是定義在單位長度上的，所以量綱為：

彎矩和扭矩：N剪力：N/m§1.3薄板的內力和應力板殼理論各應力分量與薄板內力及橫向載荷的關系：§1.3薄板的內力和應力板殼理論由平衡條件得薄板彎曲基本微分方程：§1.3薄板的內力和應力板殼理論由平衡條件得薄板彎曲基本微分方程：§1.3薄板的內力和應力板殼理論OA是夾緊邊，OC是簡支邊，AB和BC是自由邊§1.4邊界條件板殼理論一個邊上有三個邊界條件，需要等效為兩個§1.4邊界條件板殼理論從AB邊取出微段EF=dx，受到扭矩Mxydx

作用，將這個扭矩等效為一個力偶。兩個力為Mxy，分別作用到E點和F點。取相鄰微段FG=dx，扭矩變換為一個力偶，力為F點合成為向下的合力，在整個邊界AB上總的剪力在A，B兩點有未抵消的集中力

AB邊的邊界條件變為：§1.4邊界條件板殼理論同樣BC邊的邊界條件可以寫為：其中等效剪力在B，C兩點作用有集中力：B點總的集中力為：兩個自由邊的交點：或Ｂ點邊界條件一個自由邊和其它邊的交點§1.4邊界條件板殼理論薄板彎曲的基本微分方程：四邊簡支邊界條件假設撓度w為如下雙三角級數：滿足作用邊界條件，求w

求A

§1.5簡支邊矩形薄板的雙級數解法板殼理論將撓度的表達式代入薄板彎曲的基本微分方程，得：微分方程代數方程右邊分布載荷q展為與左邊同樣的三角級數：如何求Cmn，利用三角級數的正交性，得

§1.5簡支邊矩形薄板的雙級數解法板殼理論如果q為均布載荷q

0，上式變為m,n只能取奇數，得

§1.5簡支邊矩形薄板的雙級數解法板殼理論代入撓度表達式得：在任意位置（ξ,η）受集中載荷P時，等效為分布載荷

§1.5簡支邊矩形薄板的雙級數解法板殼理論所以A成為代入撓度表達式：

§1.5簡支邊矩形薄板的雙級數解法板殼理論雙級數解法的優點：無論載荷情況如何，計算簡單雙級數解法的缺點只適用于四邊簡支的矩形薄板簡支邊不能受力矩載荷，也不能有已知的位移雙級數解答收斂速度慢，計算內力時需要很多項，才能達到要求精度。

§1.5簡支邊矩形薄板的雙級數解法板殼理論兩個對邊簡支的矩形薄板，采用單級數解法是任意邊把撓度w表示為單三角級數形式：滿足x=0,a邊的簡支邊界條件，代入薄板彎曲微分方程偏微分方程常微分方程§1.6矩形薄板的單級數解法板殼理論把右邊展為單級數：代入（c）得：這個常微分方程的解可以為：§1.6矩形薄板的單級數解法板殼理論針對受均布載荷q0作用的矩形板，特解為：撓度w關于x軸對稱，所以，撓度表達式變為：假設另外兩對邊也是簡支，則得到關于Am和Bm的聯立代數方程：§1.6矩形薄板的單級數解法板殼理論或者：其中，求得AmBm為：或者最后得撓度表達式為：§1.6矩形薄板的單級數解法板殼理論單級數解法的優點：級數收斂速度快，計算輛少可以求解某一邊上受彎矩載荷的情況也可以求某一邊已知位移的情況。

§1.6矩形薄板的單級數解法板殼理論薄板彎矩和扭矩與撓度w的關系：假設：薄板厚度變化比較平緩，中面仍然是平面，上式仍然成立，但彎曲剛度D是x和y的函數§1.7變厚度矩形薄板板殼理論由薄板平衡方程：得到：§1.7變厚度矩形薄板板殼理論進一步改寫為：薄板厚度的不同變化規律，上面微分方程的系數取不同的函數形式，要求我們采用不同的方法求解。考察厚度沿某一方向線性變化的情況§1.7變厚度矩形薄板板殼理論考察厚度沿y方向線性變化的情況y=b/2處厚度為t0，相應的彎曲剛度為任意點厚度表示為§1.7變厚度矩形薄板板殼理論彎曲剛度為：撓度w可以寫成把公式（d,e）代入薄板微分方程，得到關于λ的方程，在-1到1之間，λ取任意數值方程都成立，所以λ的所有各次冪的系數都應當等于零。得到如下常微分方程。§1.7變厚度矩形薄板板殼理論最后求出各個wn，代入即得到變厚度矩形薄板的解。§1.7變厚度矩形薄板板殼理論整個薄板放在彈性地基上，薄板承受橫向載荷而發生撓度時，彈性地基對薄板作用一定的分布反力，即彈性抗力。文克勒地基是最簡單的彈性地基。地基對薄板的分布反力可以表示為：薄板彎曲的基本微分方程變為。對于四邊簡支的矩形薄板，仍然可以用雙三角級數法求解對于具有兩個簡支邊的矩形薄板，仍然可以用單三角級數法求解求解過程變得復雜，得到結果與k有關。§1.8文克勒地基上的基礎板板殼理論當薄板