2022-2023學年遼寧省朝陽第一高級中學高一(下)期中數學試

卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.下列各角中，與2023。角終邊相同的是()

A.-223oB.2230C.-1470D.147°

2.已知力=(一2,1),方=(3,2)，則。(五+石)=()

A.1B.2C.3D.4

3.在A4BC中，若48=3,BC=4,AC=5,則比.而=()

A.-16B.16C.9D.0

4.已知以原點為頂點，X軸的非負半軸為始邊的角ɑ的終邊經過點P(l,-2),則COS(兀+

α)=()

A.一"B.紅IC.D.∏

5555

5.若COS(B—$=?,則S仇2。=()

?-IB.YC--1D?I

6.已知函數/⑶=ASin(3x+,)(A>0,3>0,Iwl<方的圖象如圖所示，則/(0)=()

A.?B.孕C.√-3D.0

7.已知點。是AABC所在平面內一點，若非零向量而與向量(市矗i+市盤目共線，則()

A.?OAB=?OACB.OA+OB+OC=0

C.?OB?=?OC?D.AO-BC=0

8.已知函數f(x)=，?SinX-COSX的定義域為[α,b],值域為[—1,2],則b—α的取值范圍是

()

A.ζ,π]B.[≡,?]C.生等D.母,爭

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.下列四個式子中，計算正確的是()

A.CoSG+1)=sinlB.sin(ττ÷2)=-sin2

C.=√-3D.sin640cosl90-cos64°sinl9°=?

10.將函數f(x)=COSX的圖象上各點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，再將所得圖象

向左平移金個單位長度得到函數y=g(χ)的圖象，則()

A.g(^)=?B.g(κ)的最小正周期為兀

C.g(x)的圖象關于點6,0)對稱D?g(x)在［0,，上單調遞減

11.已知非零向量蒼，B滿足IZ—4肉=2,則下列結論正確的是()

A.若為，b共線,則I五∣+4∣b∣=2

B.若五1b>則片+16片=4

C.若看+16片=6,則I五+4方|=4

D.a-h≥—?

4

12.己知函數/(X)=e∣x+4∣sinax,若存在實數3使得f(x+t)是奇函數，則cos2α的值可能

為()

A.-1B.0C.?D.空

三'填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知扇形的面積為4,圓心角的弧度數是2,則該扇形的半徑為.

14.己知|初=3,向量方在行上的投影向量為一:五，則五下=.

15.已知函數/(x)=sin(3x+勺(3>0),若/(x+9為偶函數，f。)在區間(以答)內單調,

則ω的最大值為.

16.己知I函∣=6,IOfitI=3.若對Vt6R,恒旬65-t瓦r∣≥I荏I，且點M滿足麗=

l^δE+^OA,N為Oa的中點，貝IJl而I=.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知α,0為銳角，Sinα=」」，CoS(Tr—。)=-%.

(I)求sin2α的值；

(2)求cos(α-6)的值.

18.(本小題12.0分)

已知向量落E滿足五=(C,1),(α-K)?(α+K)=-5>a-b=3√3?

(1)求向量方與石的夾角的大小；

(2)求的值.

19.(本小題12.0分)

已知函數/(x)=-2sinx+Cos2X+α+4,且/(］)=4.

(1)求實數ɑ的值；

(2)若Xev,篇,求函數AX)的值域.

20.(本小題12.0分)

在AABC中，CA=2,AB=3,?BAC=y,。為BC的三等分點(靠近C點).

⑴求荷?麗的值；

(2)若點P滿足而=求麗?正的最小值，并求此時的人

21.(本小題12.0分)

已知函數f(x)=sin(2ωx+^)(ω>0)的最小正周期為兀.

(1)求3的值并求函數f(%)在［―兀,兀］上的單調遞增區間；

(2)設W(X)=f(x-今，已知函數g(x)=202(χ)一3(p(χ)+2α-1在生芻上存在零點，求實

數ɑ的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

己知圓。的半徑為2,圓。與正△4BC的各邊相切，動點Q在圓。上，點P滿足布+而=2而.

⑴求同2+而2+近2的值；

(2)若存在X,ye(0,+∞),使得而=X兩+y而，求x+y的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因為2023°-223。=5X360。，所以角2023。與角223。的終邊相同;

因為2023。一(一223。)=2246不是360。的整數倍，所以它們的終邊不同；

因為2023。一(一147。)=2170。不是360。的整數倍，所以它們的終邊不同；

因為2023。-147°=1876。不是360。的整數倍，所以它們的終邊不同.

故選:B.

根據終邊相同的角相差360。的整數倍可得結果.

本題主要考查了終邊相同角的定義，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：因為方=(—2,1),b=(3,2),

所以為?(Z+B)=(-2,1)-(1,3)=-2+3=1.

故選：A.

根據平面向量數量積的坐標運算可求出結果.

本題考查向量數量積的坐標運算，屬基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：由AB=3,BC=4,AC=5,

貝∣*B2+DC2=4￠2,所以4B1BC,

所以能■AC=BC■(AB+BC)=BC-AB+BC2=^BC2=16-

故選:B.

根據題意得到4B1BC,再根據數量積和向量的加法法則即可求解.

本題主要考查平面向量的數量積運算，屬于中檔題.

4.【答案】C

【解析】解：因為以原點為頂點，X軸的非負半軸為始邊的角α的終邊經過點P(l,-2),

1√~5

所以c。Sa=/2=可，

J/+(-2)2

貝IJCoS(Tr+α)=-cosa=—?-

故選：C.

由已知利用任意角的三角函數的定義可求CoSa的值，進而利用誘導公式化簡所求即可求解.

本題主要考查任意角的三角函數的定義以及誘導公式在三角函數化簡求值中的應用，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：因為COS(O-力=2,

所以COSG-9)=?->

所以sin20=COS(>2。)=cos[2(≡-0)]=2cos2ζ-θ)-1=2×∣-1=-∣.

故選：C.

根據誘導公式和二倍角的余弦公式可求出結果.

本題主要考查了誘導公式及二倍角公式的應用，屬于基礎題.

6.【答案】B

【解析】解：由圖象知，函數的最小正周期7=4停一(一割=4兀，

即3=翥=g,4=，？，由五點對應法則代入印,、「?)知，

√-3sin(∣×?+φ)=√-^3,E∣J∣×^-+φ=^+2kπ,keZ,因為IWl<],解得9=看,

所以f(x)=√^^3sin(jx+ξ),!fl∣J∕(0)=?.

故選:B.

根據三角函數的圖象，利用最值、周期、特殊點確定4、3、0的值，即可得出結論.

本題主要考查了三角函數的圖象和性質，屬于基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：???—+」)?麗=g就+”“=-|宿+質I=0,

Cjj

ι∣4B∣cosB?AC?cosC?AB?COSB?AC?COSC

BC1(溫ZSB+∣?sP'

又而與^?AS?cosB卡湛2sC)共線'

則同1阮，即方?瓦f=o.

故48C均無法判斷，。正確.

故選：D.

由題意得(市總+τ?J).布=°，可得布?品=0,即可得出答案.

?AB?cosB?AC?cosC

本題考查平面向量的基本定理，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解:f(x)=y∕~3sinx-cosx=2sin(%-^),

由一l≤f(%)≤2,得一≤sin(%-*)≤1,

解得2∕cτr-?≤%-2≤2∕C7Γ+M(∕C∈Z),

即2∕c7τ≤X≤2/OT+與(keZ),

所以(b—cOmax=2kττ+?—2kτt=?(fc∈Z),

2kπ+^--2kπ2π

S-a)min=2=算∕c6Z)，

所以b-α的取值范圍是有,爭.

故選：D.

化簡函數/(無)，根據一1≤f(x)≤2求X的取值范圍，由此求得b-a的最大、最小值.

本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了運算求解能力，是中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解：對于4：cos(≡+l)=-sinl,故4錯誤；

對于B：sin(π+2)=-sin2,故B正確；

對于C：tan85°~tan25°an(850-25o)=tan60o=y∕~3,故C正確；

l÷tan85tan25=t、7

對于。：Sin64。CoSl9。-COS64。Sinl9。=sin(64o-19o)=sin45o=?，故癡正確.

故選：BCD.

利用誘導公式判斷4、B,利用差角公式判斷C、D.

本題主要考查了和差角公式及誘導公式的應用，屬于基礎題.

10.【答案】BD

【解析】解：將函數/(X)=c。SX的圖象上各點的橫坐標縮小為原來的右縱坐標不變得到y=cos2x,

將y=COS2x向左平移起個單位長度得到y=cos2(x+?)=cos(2x+看)，

即g(x)=∞s(2x+,

所以照)=cos(2X看+》=COSl=0,故A錯誤；

g(x)的最小正周期7=:=兀，故8正確；

g(ξ)=cos(2XΞ+Ξ)=cos?=所以函數不關于《,0)對稱，故C錯誤；

由％∈[0,≡],貝⑵+含有等，因為y=COSX在生等上單調遞減，

所以g(x)在[0,：]上單調遞減，故。正確.

故選：BD.

根據三角函數的變換規則求出g(x)的解析式，根據余弦函數的性質一一判斷即可.

本題考查了三角函數的圖像變換，考查三角函數的性質，是中檔題.

11.【答案】BD

【解析】解：對于4,由4=I4一4方『=五2一8五彳+16方2,4=(∣α∣+4∣fa∣)2=∣α∣2+8∣α∣?

∣h∣+16∣K∣2,

所以當日,石同向時，-Sab=-8∣α∣?∣K∣-此時間+4∣E∣≠2,故選項A錯誤；

對于B,若五J.石，則日不=0，∣α-46∣=2>兩邊平方得為？_8己?B+16產=方？+16,=4，

故選項B正確；

對于C,由I五一49∣2+I方+4]|2=2(S2+16,)=12,則|丘+4]=8,即I方+4石I=2√^2>

故選項C錯誤;

2??

對于D,由4=|1一43|2=五2一8五不+163≥8∣α∣-∣K∣-8α?K≥-16α?fa>得Z?b≥一下

故選項。正確.

故選：BD.

當五，石同向時即可判斷力；根據胃，石，有五不=0，再對I方-4石|=2兩邊平方即可判斷B；根據

?a-4b?2+?a+4b?2=2(α2+16?2)=12>求解即可判斷C：對14一4石|=2兩邊平方，再結

合基本不等式，絕對值不等式即可判斷D.

本題考查平面向量的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】AB

【解析】解:根據題意,函數f(x)=eW據譏αx,

由/(X+t)是奇函數可得的/"(X+t)=-/(-X+t),

x+t+4

所以e∣x+"4∣si∏α(x+t)=e∣∣sin(αx+at)

-x+t+4x+t+4

=—e∣∣sinα(-%+t)=e∣^∣sin(ax—at),

即e∣x+t+4∣sin(ax+at)=e∣-z+t+4∣sin(ax-at),

所以t+4=0,at=kπ,k€Z,

所以t=-4,a=-塔,ke.Z,

cos2a=cos(-?)=eos(?),

故當々=1時，cos2a=COSl=θ,

當k=2時，cos2a=cosπ=—1,

當k=3時，cos2a=eos?=0,

當k=4時,cos2a=cos2π=1,

根據周期性可知COS2Q的可能取值為0、1、-1.

故選：AB.

根據題意可得/(%+t)=—/(—%+亡)，即e∣"+*+4∣sin(a%+at)=el^x+t+4lsin(a%—aC),所以t=—4、

a=—”，k∈Z,討論即可得解.

4

本題考查三角函數的性質和奇函數的定義，屬于中檔題.

13.【答案】2

【解析】解：依題意知扇形的面積為S=4,圓心角a=2,設半徑為r,

由S=gr2α,得4=gx2r2,解得「=2.

故答案為：2.

根據扇形的面積公式列式可求出結果.

本題考查了扇形的面積公式應用問題，是基礎題.

14.【答案】一6

【解析】解：設向量方茫的夾角為。，

???向量方在2方向上的投影向量為-|日，

∣ay∣bI?cos0-=-∣α,即嚕史=一|,

??a?b=?a??bICOSe=3×(-2)=-6?

故答案為：—6.

設向量日花的夾角為。，根據投影向量的概念，再結合數量積的概念，即可得出答案.

本題考查平面向量數量積的性質和運算，考查運算能力，屬于基礎題.

15.【答案】4

【解析】解：由函數/(x)=sin(ωx+∣)(ω>0),函數f(X+》為偶函數，則+今=f(-x+今,

故直線X=稱為函數/(x)圖像的一條對稱軸，

所以+?=m+k兀，kEZ>則3=1+3∕C,/c∈Z.

?OZ

兀

T7九

兀π

即

又

一>

>一4

---T-r--=-<ω-<

2123ω4

4,

又3=l+3k,/C∈Z,所以3max=%故3的取大值為4.

由題意，利用正弦函數的單調性以及它的圖象的對稱性，求得3的最大值.

本題主要考查正弦函數的單調性以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題.

16.【答案】yΓ~3

【解析】解：因為IuIT笳I=JU/_2t而?而+好癥2=

J?0A?2-2tOA?OE+t2?OE?2

=√36-2tOΛ?OF+9t2>

?AE?=?OE-OA?=JOA2-2OA-OE+OE2=J?OA?2-2OA-OE+?OE?2

=√36-2OA-OE+9>

因為對VteR,恒有I瓦？-t灰I≥I南

所以√36-2t列?瓦f+9t2≥√36-2就屈+9對VtθR恒成立，

即(一2t+2)0A0E+9t2-9≥0對VteR恒成立，

即弼-2t函?瓦r+2成?布-9≥0對VteR恒成立，

所以4=(-2OA-OE)2-4X9(20/i?OE-9)≤0-

即(。4?OE-9)2≤0，所以。/?OE=9,

12

又MN=ON-OM=楙04—60E+[04)6--3-OF

2

所以I而I=?^δA-1OEI=J（那一I函2=JΣOAQE+IOE=

J^?0A?2-IOA-OE+1?0E?2=yΓ3.

故答案為：√3.

根據數量積的運算律得到J36-2t蘇?屈+9t2≥J36-2次?屈+9對Vt∈R恒成立，即可

得到9t2-2tr?δ?+251?瓦f-9≥0對VteR恒成立，根據4WO求出市?笳，再根據麗=

^OA-,曲及數量積的運算計算可得.

O?

本題主要考查了向量的數量積運算，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)因為Sina=修，α為銳角,

ffi^λcosa=一，

所以sin2α=2sinacosa=2×X等=

(2)因為CoS(Tr—S)=-cosβ=-?`

又0為銳角，

所以CoSS=?,sin/?=?/1—cos2j5=

所以cos(α一夕)=cosacosβ+sinasinβ=WX1+X

?JLU?JLUJLU

【解析】(1)由已知先求出cosα,然后結合二倍角公式可求；

(2)由誘導公式先求出cos。，進而可求sin0,再由兩角差的余弦公式即可求解.

本題主要考查了同角基本關系，和差角公式在三角化簡求值中的應用，屬于基礎題.

18.【答案】解：(1)由五=(C,1)得|刈=2,

由位-E)?位+W=-5W∣α∣2-]b?2=-5,得力I=3.

設向量五與石的夾角為。，

由方?方=得141-?b?cosθ=3/3，

4B3∕-3?Γ~3

倚COSne=云y=—>

因為e∈[0,7T],所以8=茅

即向量方與方的夾角的大小為也

(2)∣√3α-K∣=J(√3α-h)2=J3∣α∣2-2√^3α?K+∣K|2

=√3×4-2√^×3√^+9=C?

【解析】(1)根據平面向量的夾角公式可求出結果；

(2)根據Iq為一Bl=J(√^3a-b)2=J3|碼2一2√3蒼小+歸|2可求出結果.

本題考查向量數量積的運算，向量數量積的定義與性質，化歸轉化思想，屬中檔題.

19.【答案】解：(1)因為/(今=4,所以一2s譏?+cos2,+a+4=4,

所以-2+0+a=0,得a=2.

(2)由(I)知，/(x)=-2sinx+cos2%÷6=-sin2x—2sinx÷7=-(sinx+I)2+8,

設t=siτι%,因為％∈[―普],所以e∈[-^,1],

設g(￡)=-(t+1)2+8，t∈[―?,1],

11

+8-31-

2-5()znɑ4-4

當t=1時，g(t')min=g⑴=4.

所以函數/(%)的值域為[4,.

【解析】(1)由/(<=4可解得結果；

(2)換元為二次函數可求出結果.

本題主要考查三角函數最值的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意可知，CD=1CBI(AB-AC),

所以彳b=而+方=就+g荏一；%?=:而+,幅

在△4BC中，CA=2,AB=3,Z.BAC=y,

所以近?BC=(?+1AC)-(AC-AB)-b?B?2+l?AC?2-??AC

?????

=-∣×9+∣×4-∣×3×2×cosy=∣.

(2)由題意可知，^PC=λ^AC,

因為而=PC+CB=PC+AB-AC=AB+(<λ-l)AC>

又因為C4=2,AB=3,NBAC=箏

所以而PC=[Λδ+(λ-1)ΛC]?λAC=λAB-AC+λ(λ-1)?AC\2

=λ∣?F∣∣^C∣cosy+λ(λ-1)∣^C∣2

=-3λ+4λ(Λ—1)=4?—7Λ—4(λ——)^——,

故兩?同的最小值一,，此時；I=[

【解析】(1)將而?瓦f化為希和配表示，利用松和配的長度和夾角計算可得結果；

(2)用血、就表示麗.京，求出而?無關于;I的函數解析式，根據二次函數知識可求出結果.

本題主要考查平面向量的數量積運算，考查轉化能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)依題意可得芋=兀，得3=1,

所以f(%)=sin(2x÷≡),

令2kιτ-?≤2x+≤2kπ+](∕c∈Z),得kττ-≤x≤fcτr+"(fc∈Z),

(x?kπ-^≤x≤fcπ+ξ,fc∈Z}∩[-τr,π]={x?-π<x<-朗或一g≤x≤看或與≤x≤π},

所以函數/?(x)=sin(2x+[)在[一兀,捫上的單調遞增區間為[一兀,一強，[一杭],佟,兀].

(2)W(X)=((X-》=sin[2(x-^)+≡]=sin(2x-》

g(x)—2sin2(2x—?)—3sin(2x—^)+2α—1,

由函數9(%)在。幣上存在零點，得2Q=-2sm2(2x-?+3sm(2%-^)+1在。幣上有解，

。乙?DQ乙

令t=sin(2x一》由x∈*J‰-∣∈[0,y],貝∣Jt∈[0,1],

則y=-2t2+3t+1=-2(t-^)2+y∈[l,y]>

所以l≤2α≤],解得:≤α≤^,

oZlo

故α的取值范圍為旅,總

【解析】(1)根據周期公式求出3,根據正弦函數的單調遞增區間可求出結果；

(2)轉化為2α=-2sin2(2x+3sin(2x-勺+1在弓,芻上有解，換元令t=sin(2x-?,te

?。。乙?

[0,1],求出關于t的二次函數y=-2t2+3t+1的值域即得2α的取值范圍.

本題主要考查正弦函數的單調性，考