基礎夯實練13對數與對數函數

1.函數J(χ)=y∣IOgos2χ-1的定義域為()

A.&1B.百，1)

C.(-oo,ID.[1,+∞)

2.若函數√(x)=log"X(">0,且“≠l)的反函數的圖象過點(1,3),則與0g28)等于()

A.-1B.1C.2D.3

3.函數_/(x)=log2(|x|—1)的圖象為()

4.按照“碳達峰”“碳中和”的實現路徑，2030年為碳達峰時期，2060年實現碳中和，到2060

年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%,新型動力電池迎來了蓬勃發展的風

口.PeUkert于1898年提出蓄電池的容量C(單位：Ah),放電時間f(單位：h)與放電電流/(單

位：A)之間關系的經驗公式：C=rιt,其中〃為PeUkert常數，為了測算某蓄電池的PeUkert

常數〃，在電池容量不變的條件下，當放電電流/=2OA時，放電時間f=20h;當放電電流

/=3OA時，放電時間f=IOh.則該蓄電池的PeUkert常數〃大約為()

(參考數據：lg2≈O.3O,lg3≈0.48)

“4c5rC

??BGɑ,?D.2

5.已知函數/(x)=k?g2(x+l)—|，H，則不等式危)>0的解集是()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-1,0)D.0

6.(多選)已知函數火X)=IIOg(((X+l)∣(4>l),下列說法正確的是()

A.函數凡r)的圖象恒過定點(0,0)

B.函數在區間(0,+oo)上單調遞減

C.函數,")在區間V，1上的最小值為O

D.若對任意x∈[l,2],式x)≥l恒成立，則實數”的取值范圍是(1,2]

7.(2023?淮北模擬)計算：q)-2+4陶&+k)g先4=.

8.函數月X)=IOg2J?lOg點(2Λ)的最小值為.

9.已知火X)=IOg](χ2-0c+5α).

3

⑴若4=2,求人力的值域;

(2)若兀V)在(1,+8)上單調遞減，求α的取值范圍.

10.(2023?南昌模擬)已知函數火X)=Iog3(>+l)+fcv是偶函數.

⑴求依

⑵解不等式危歸鳴(73'-1)?

11.若非零實數”,b,C滿足2"=3〃=6。=4，貝∣J()

CI,12-2,12

C.a-+bτ=c-D.a-+zb=-c

12.(多選)關于函數式x)=k>g2%+log2(4-x),下列說法正確的是()

A./(X)的最大值為1

B../U)在區間(0,2)上為增函數

C.人X)的圖象關于直線x=2對稱

D?,/(X)的圖象關于點(2,0)對稱

13.已知函數1x)的定義域為R,圖象恒過點(0,1),對任意X”X2GR，XlwX2,都吟二M1，

則不等式川ne-l))<l+ln(e,-1)的解集為()

A.(In2,+∞)B.(—8,In2)

C.(In2,1)D.(0,In2)

∣log2xb0<x<2,

14.(多選)已知函數兀V)=若7U)=α有四個解乃，X2，冗3，冗4且滿足

X2—8x÷13,x≥2,

X1<X2<X3<X4,則下列命題正確的是()

A.0<4<l

B.Xi+ZT2^(3,+∞)

C.X]+x2+x3+x4≡0θ-?

D.[4,+∞)

參考答案

?.A2.B3.A4.B5,B

6.ACD[將(0,0)代入函數y(x)=|k)g“(x+l)|(a>l),成立，故A正確：

當Xe(O,+oo)時，x+1∈(1,+∞),又α>l,所以兀V)=Ilog“(x+1)∣=1Og“(x+1),由復合函

數單調性可知，當x∈(0,+8)時，Xx)=∣logα(x+l)∣=logα(x+l)單調遞增,故B錯誤；

當x∈-小寸，x+1∈2,所以7(x)=∣k>g"(x+l)∣Nlog“1=0,故C正確；

當x∈[l,2]時，4x)=∣lOgaa+l)∣=logα(x+l)Nl恒成立,所以由函數為增函數知Iog“2*,解

得l<α<2,故D正確.]

7.108.-∣

2

9.解⑴當a=2時，於)=Iogl(X-2Λ÷10)，

3

令?=Λ2-2Λ+10=(X-1)2+9,

?,?∕>9,√(Λ)<lθg19=-2,

3

???危)的值域為(-8,-2].

(2)令u(x)=^-ax+5a,

Yy=Iogl〃(x)為減函數，

3

.*.u(x)=x2-ax+5a在(1,+8)上單調遞增，

1

Λ<2≤)

.l+4α>0,

解得一*αW2,

.?.α的取值范圍是(一/2.

10.解(1)?.√(x)是偶函數，

.?.式-x)=∕(x),

即Iog3(9-χ+1)—Ax=log3(9v+1)+Ax對任意XeR恒成立，

9'x+1_

,λv2x

..2fcr=log3(9+1)—Iog3(9+l)=log3^+1?log??=-2χ9

.*.k=-1.

9'+1

(2)由⑴得兀V)=IOg3(9-1)—X=log3(9'+1)—10g33*=10g3卞?=10g3(3"+3一，)，

則不等式次X)KOg3(7?3J1)等價于3'+3^>7?3Λ-1>O,

由73'-l>0,解得x>-log37;

由3Λ+3^Λ>7?3Λ-1,

得6?(3*)2T-l≤0,

得0<3'<∣,

即爛一log32,

綜上，不等式的解集為(一log37,-log32].

11.A[由已知，得2"=3"=6。=%,

得α=log2?,b-?ogik,C=IOg6%

所以I=IOg*2,I=Iog?3,l?log?e,

而2x3=6,所以

12.BC［函數y(x)=log2x+log2(4—x)=k>g2(4χ-χ2)(0<x<4),

當x=2時，4x-x1取到最大值4,

故此時貝X)=Iog2x+log2(4—x)取到最大值log24=2,A錯誤；

7(x)=log2(4x—f)(0<r<4)可以看作是由函數y=k>g2",M=—X2÷4Λ(0<X<4)復合而成，而y

=log2“是定義域上的增函數，

u=-W+4x(0<r<4)在(0,2)上單調遞增，在(2,4)上單調遞減，

故火x)在區間(0,2)上為增函數，在(2,4)上為減函數，故B正確；

因為函數14—x)=log2(4—x)+log2x=y(x),故於)的圖象關于直線尤=2對稱，C正確；

因為人4—幻=Iog2(4—x)+lOgM=/(x)￥—/U),故式x)的圖象不關于點(2,0)對稱，D錯誤.］

13.D［因為但二色>1,不妨設x∣>X2,

Xl—X2

則兀VI)-Xl?X2)—X2，令g(x)=Λx)-?r,

則g(X)在R上單調遞增，

又式O)=1，

則不等式"n(e'-l))<l+ln(ev-l),

等價于川n(e<-l))-ln(ex—1)<1=犬0)—0,

即g(ln(e*-l))<g(O),所以ln(e*-l)<O,

則0<e'-Kl,解得O<x<ln2.]

14.AC[作函數兀V)=

∣log2χbOaV2,

的圖象如圖所示,

X2—8x+13,x>2

TU）=。有四個解，即y=。與y=∕U）的圖象有4個交點汨，%2，制，工4且X1<X2<X344,

可得Q<a<?,故選項A正確；

由圖象可得為f2=1，則;=也，

X?

2

?*?x?+2Λ?=XI+—,

?i

V∣<xι<l,且1VX2<2,對勾