第十九講矩形、菱形、正方形

命題點1矩形的相關(guān)證明與計算

1.（2022?陜西）在下列條件中，能夠判定ZABC。為矩形的是（）

A.AB=ADB.AC±BDC.AB=ACD.AC=BD

【答案】D

【解答】解：A.丁EIABCO中，AB=AD,

.?.I3ABC。是菱形，故選項A不符合題意；

B.：ElABC。中，AC_L8D,

.?.E1ABC。是菱形，故選項8不符合題意；

C.EIABeD中，AB=AC,不能判定13ABC。是矩形，故選項C不符合題意;

D.■/0ABCDΦ,AC=BD,

ElABC。是矩形，故選項。符合題意；

故選：D.

2.（2022?青海）如圖，矩形ABCT）的對角線相交于點O,過點。的直線交AD,

BC于點E,F,若AB=3,BC=A,則圖中陰影部分的面積為

【答案】6

【解答】解：Y四邊形ABC。是矩形，AB=3,

：.OA=OC,AB=CD=3,AD//BC,

：.ZAEO=ZCFO;

又，:ZAOE=ZCOF,

^?AOE和ACOb中，

'NAEO=NCFO

<OA=OC,

.ZAOE=ZCOF

AAOE^/XCOF,

?"?S^AOE=SΛCOI-I

SBIgJ=SΔAOE+S^BOF+SΔCOD-S?CO∕7+S?BOF÷S?COD=S^BCD?

VS?βCD=-j-BC?CD=y×?×3=6,

?'?S陰影=6.

故答案為6.

3.（2022?吉林）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,Br）相交于點O,點E是

邊AD的中點，點b在對角線AC上，且AF=LAG連接EH若AC=I0,

【解答】解：在矩形ABe。中，AO=OC=Lc,AC=BD=IO,

2

VAf=Lc,

4

.?AF=^AO,

2

.?.點F為A。中點，

又：點E為邊Ao的中點,

.?.Ef為AAOD的中位線，

.?.Eb=LOO=工BO—.

242

故答案為:?.

2

4.（2021?邵陽）如圖，在矩形ABCr）中，DELAC,垂足為點E.若SinNAoE

=A,AO=4,則4?的長為

5------

【答案】3

【解答】W：'：DEVAC,

：.ZADE+ZCAD=9Q0,

VZACD+ZCAD=90o,

/.ZACD=ZADE,

'：矩形ABCD的對邊AB//CD,

"BAC=NACD,

VSinZADE=A,

5

???—B—C-—4,

AC5

55

由勾股定理得，AB=YhC2.BC?=Y52γ2=3,

故答案為：3.

?*?S,行四邊形AGC”=CG?ΛB=3×2√5=6√5.

5.（2022?山西）如圖，在矩形ABC。中，AC是對角線.

（1）實踐與操作：利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，垂足為點。，交邊A。

于點E,交邊BC于點E（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明

字母）.

（2）猜想與證明：試猜想線段AE與C尸的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【解答】解:（1）如圖,

AE/D

B'~~7?------^lC

/

(2)AE=CF,證明如下：

四邊形ABCo是矩形，

：.AD//BC,

，ZEAO=ZFCO,/AEO=NCFO,

?；EF是AC的垂直平分線，

.'.AO=CO,

在和ACOQIL

'NAEO=NCFO

<ZEAO=ZFCO,

AO=CO

Λ?AOE^?COFCAAS),

：.AE=CF.

6.(2022?湖州)如圖，已知在RtZVLBC中,ZC=RtZ,6是AB邊上一點,以

BD為直徑的半圓O與邊AC相切，切點為E,過點0作OFL3C,垂足為F.

(1)求證：OF=EC;

(2)若∕A=30°,80=2,求AO的長.

【解答】(1)證明：連接。E，

?.FC是。。的切線，

：.OELAC,

,NOEC=90°,

'：OFLBC,

,NOFC=90°,

/.ZOFC=ZC=ZOEC=90°,

.?.四邊形OECF是矩形，

：.OF=EC;

（2）解：?'BD=2,

：.OE=1,

VZΛ=30o,OEYAC,

.?AO=2OE=2,

.,.AD=AO-0D=2-1=1.

命題點2菱形的相關(guān)證明與計算

7.（2022?襄陽）如圖，I2A8C。的對角線AC和BO相交于點。，下列說法正確

的是（）

B.若AC=BO,則EIABC。是菱形

C.若04=00,則ElABeD是菱形

D.ACLBD,則ElABCr）是菱形

【答案】D

【解答】解：A、?；四邊形ABCD是平行四邊形，

：.OB=OD,故選項A不符合題意；

3、：四邊形ABC。是平行四邊形，AC=BD,

.?.ElABC。是矩形，故選項B不符合題意；

C???四邊形ABC。是平行四邊形，

.'.θA=oc=^AC,OB=OD=LBD,

22

'：OA=OD,

.?AC=BD,

：.^ABCD是矩形，故選項C不符合題意；

。、Y四邊形ABe。是平行四邊形，ACLBD,

.?.I2A3C。是菱形，故選項。符合題意；

故選：D

8.（2022?蘭州）如圖，菱形ABCZ）的對角線AC與BO相交于點O,E為AO的

中點，連接0E,NABC=60°,BD=4√ξ,則OE=（）

A.4B.2√3C.2D.√3

【答案】C

【解答】解：Y四邊形A3C。是菱形，NABC=60°,

：.B0=D0,NABo=30°,ACLBD,AB=AD,

ΛBO=2√3,

.?.AO=浮B0=2,

0

.,.AB=2AO=4,

為A。的中點，NAOQ=90°,

：.OE=Lo=2,

2

故選：C

9.（2022?河池）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC,8。相交于點0,下列結(jié)

論中錯誤的是()

A.AB=ADB.ACLBDC.AC=BDD.ZDAC=Z

BAC

【答案】C

【解答】解：???四邊形ABC。是菱形，

.'.ZBAC=ZDAC,AB=AD,AClBD,

故A、B、D正確，無法得出AC=8D,

故選：C.

10.(2022?自貢)如圖，菱形ABCO對角線交點與坐標原點。重合，點A(-

2,5),則點C的坐標是()

c

A.(5,-2)B.(2,-5)C.(2,5)D.(-2,-5)

【答案】B

【解答】解：Y四邊形ABC。是菱形，

OA=OC,即點A與點C關(guān)于原點對稱，

Y點A(-2,5),

.?.點C的坐標是(2,-5).

故選:B.

11.(2022?樂山)已知菱形ABCo的兩條對角線AC、8。的長分別是8C〃和6cm.則

菱形的面積為cm2.

【答案】24

【解答】解：???菱形ABCO的兩條對角線AC、BD的長分別是8cm和6cm,

.?.菱形的面積是西?=24(cm2),

2

故答案為：24.

12.(2022?大連)如圖，四邊形ABCO是菱形，點E,JF分別在AB,AD±.,AE

=AF.求證：CE=CF.

【解答】證明：如圖，連接AC,

四邊形ABC。是菱形，

.'.ZEAC=ZFAC,

在AACE和aAC尸中，

'AE=AF

<ZEAC=ZFAC.

,AC=AC

ΛΛACE^AACF(SAS)

JCE=CF.

13.(2022?西寧)如圖，四邊形A8C。是菱形，AEJ于點E,LC。于點F.

(1)求證：AABE-ADF;

(2)若AE=4,CF=2,求菱形的邊長.

【解答】(1)證明：Y四邊形ABCo是菱形,

：.AB=BC=CD=AD,ZB=ZD,

,：AELBC,AFYCD,

：.ZAEB=ZAFD,

AABE??ΛDF中,

,ZAEB=ZAFD

,ZB=ZD，

1AB=AD

.,.AAB/XADF(ΛAS);

(2)解：設(shè)菱形的邊長為無，

'：AB=CD=x,CF=2,

DF=X-2,

AABE^∕?ADF,

.'.BE=DF=X-2,

在Rt?ΛBE中，根據(jù)勾股定理得,

AE2+BE2=AB2,

即42+(X-2)2=Λ2,

解得X=5,

???菱形的邊長是5.

14.(2022?廣元)如圖，在四邊形ABCO中，AB//CD,AC平分ND48,AB=

2CD,E為AB中點，連結(jié)CE.

(1)求證：四邊形AECO為菱形；

(2)若No=I20°,DC=2,求aABC的面積.

【解答】(1)證明：YE為AS中點,

：.AB=IAE=IBE,

?'AB=2CD,

：.CD=AE,

又,：AE〃CD,

：.四邊形AECD是平行四邊形，

「AC平分ND43,

ZDAC=ZEAC,

?,AB∕∕CD,

.'.ZDCA=ZCAB,

：.ADCA=ΛDAC,

IAD=CD,

.?.平行四邊形AEC。是菱形；

(2):四邊形AECO是菱形，NO=120°,

ΛAD=CD=CE=AE=2,ZD=120°=ZAEC,

：.AE=CE=BE,NCEB=60°,

ΛZCΛE=30o=ZACE,ACEB是等邊三角形，

：*BE=BC=EC=2,ZB=60o,

：.ZACB=90o,

ΛΛC=√3BC=2√3,

/.SΛΛBC=A×AC×BC=I×2×2√3=2√3.

22

命題點3正方形的相關(guān)證明與計算

15.(2022?雅安)如圖，E,尸是正方形ABC。的對角線8。上的兩點，且BE=

DF.

(1)求證：Z?A3E絲△COE；

(2)?AB=3√2>BE=2,求四邊形AEC/的面積.

【解答】(1)證明：?.?四邊形ABC。為正方形,

.?CD=AB,ZABE=ZCDF=45o,

又YBE=DF,

：.ΛABE^ΛCDF(SAS).

(2)解：連接AC,交BD于點0,

：四邊形ABCQ是正方形，

：.AC-LBD,AO=CO,DO=BO,

又YDF=BE,

：.OE=OF,AO=CO,

.?.四邊形AECE是平行四邊形，

,CACLEF,

???四邊形AEcF是菱形，

VΛB=3√2.

.?AC=BD=6,

9CBE=DF=I,

二四邊形AEeE的面積=LC?EF=?1X6X2=6.

22

16.(2022?貴陽)如圖，在正方形ABC。中，E為A。上一點，連接BE,BE的

垂直平分線交AB于點M,交CO于點N,垂足為0,點尸在OC上，且Mb

//AD.

(1)求證：AABE咨LFMN；

(2)若AB=8,AE=6,求ON的長.

【解答】解：(1)?.?四邊形ABC。為正方形，

：.AB=AD,AB//CD,NA=No=90°,

又?：MFHAD,

，四邊形AMF。為矩形，

：.NMFD=NMFN=90°,

：.AD=MF,

：.AB=MF,

:BE的垂直平分線交AB于點M,交Co于點M垂足為0,

：./MFN=NBAE=90°,NFMN+NBMO=NBM0+NMBO=90°,

ZFMN=ZMBO,

在aABE和aFMN中，

rZA=ZMFN

<AB=MF

ZABO=ZFMN

ΛAABE^∕?FMN(ASA)；

(2)'：ZMOB=ZA=90o,NABE是公共角，

：.XBOMsXBAE,

：.0M：AE=BO:BA,

?'AB=S,AE=6,

ΛBE=√AB2+AE2=10,

/.OMt