2022年中考數學試卷參考答案與試題解析

湖北省荊門市

一、選擇題（本大題共12小題，每小題只有唯一正確答案.每小題3分，共36分）

1.（3分）（湖北荊門）若（）x（-2）=1,則括號內填一個實數應該是（）

A.1B.2C.-2D.-1

22

分析：本題根據倒數的意義：乘積是1的兩個數互為倒數.0沒有倒數，1的倒數還是1.

解答：解：（-1）x（-2）=1,

2

故答案選D.

點評：本題考查的目的是理解倒數的意義，掌握求一個數的倒數的方法，明確：1的倒數是1,0

沒有倒數.

2.（3分）（湖北荊門）下列運算正確的是（）_

A.3''=-3B.百=±3C.(ab2)3=a3b6D.

考點：同底數基的除法；算術平方根；幕的乘方與積的乘方；負整數指數基.

分析：運用負整數指數基的法則運算，開平方的方法，同底數幕的除法以及嘉的乘方計算.

解答：解：A、3^3a,故A選項錯誤；

_3

B、小33±3,故B選項錯誤；

C、（ab2）3=a3b6故C選項正確;

D、a6va2=a4#a3,故D選項錯誤.

故選：C.

點評：此題考查了負整數指數幕的運算，開平方，同底數幕的除法以及哥的乘方等知識，解題要

注意細心.

3.（3分）（湖北荊門）如圖，ABHED,AG平分NBAC,NECF=70。，則NFAG的度數是（）

B.145°C.110°D.35°

考點：平行線的性質.

分析：首先，由平行線的性質得到NBAC=NECF=70。；然后利用鄰補角的定義、角平分線的定義

來求NFAG的度數.

解答:解:如圖，ABHED,NECF=70。，

ZBAC=ZECF=70。，

ZFAB=1800-ZBAC=110°.

又rAG平分NBAC,

ZBAG=lzBAC=35°,

2

ZFAG=NFAB+ZBAG=145°.

故選：B.

點評：本題考查了平行線的性質.根據"兩直線平行，內錯角相等"求得NBAC的度數是解題的難

點.

4.（3分）（湖北荊門）將拋物線y=x2-6x+5向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后，

得到的拋物線解析式是（）

A.y=（x-4）2-6B.y=（x-4）=2C.y=（x-2）2-2D.y=

（x-1）2-3

考點：二次函數圖象與幾何變換.

專題：幾何變換.

分析：先把y=x2-6x+5配成頂點式，得到拋物線的頂點坐標為（3,-4）,再把點（3,-4）向

上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到點的坐標為（4,-2）,然后根據頂點式寫出平

移后的拋物線解析式.

解答：解：y=x2-6x+5=（x-3）2-4,即拋物線的頂點坐標為（3,-4）,

把點（3,-4）向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到點的坐標為（4,-2）,

所以平移后得到的拋物線解析式為y=（x-4）2-2.

故選B.

點評：本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求

平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待

定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式.

5.（3分）（湖北荊門）已知a是一元二次方程x2-x-1=0較大的根,則下面對a的估計正確的是（）

A.0<a<lB.I<a<1.5C.1.5<a<2D.2<a<3

考點：解一元二次方程-公式法；估算無理數的大小.

分析：先求出方程的解，再求出、花的范圍，最后即可得出答案.

解答：解：解方程x2-x-1=0得:X」.泥,

2

??.a是方程x2-x-1=0較大的根，

?0_1+娓

2

〈泥<3,

,-,3<1+V5<4>

衛<11亞V2,

22

故選C.

點評：本題考查了解一元二次方程，估算無理數的大小的應用，題目是一道比較典型的題目，難

度適中.

6.（3分）（湖北荊門）如圖，AB是半圓。的直徑，D,E是半圓上任意兩點，連結AD,DE,AE與

BD相交于點C,要使△ADC與AABD相似，可以添加一個條件.下列添加的條件其中錯誤的是

（）

A.ZACD=ZDABB.AD=DEC.AD2=BD?CDD.

AD?AB=AC?BD

考點：相似三角形的判定；圓周角定理.

分析：由NADC=NADB,根據有兩角對應相等的三角形相似與兩組對應邊的比相等且夾角對應

相等的兩個三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解選擇題中的應用.

解答：解：如圖，ZADC=ZADB,

A、???ZACD=ZDAB,

AADC-ABDA,故本選項正確；

B、AD=DE,

ZDAE=ZB,

AADC-△BDA,故本選項正確；

C、AD2=BD?CD,

AD：BD=CD：AD,

△ADC-△BDA,故本選項正確；

D、,.,AD?AB=AC?BD,

/.AD：BD=AC：AB,

但ZADC=NADB不是公共角，故本選項錯誤.

故選D.

點評：此題考查了相似三角形的判定以及圓周角定理.此題難度適中，注意掌握數形結合思想的

應用.

7.（3分）（湖北荊門）如圖，直線y尸x+b與y2=kx-1相交于點P,點P的橫坐標為-1,則關于x

的不等式x+b>kx-1的解集在數軸上表示正確的是（）

考點：一次函數與一元一次不等式；在數軸上表示不等式的解集.

專題：數形結合.

分析：觀察函數圖象得到當x>-1時，函數y=x+b的圖象都在y=kx-1的圖象上方，所以不等

式x+b>kx-1的解集為x>-1,然后根據用數軸表示不等式解集的方法對各選項進行判斷.

解答：解：當x>-l時，x+b>kx-1,即不等式x+b>kx-1的解集為x>-1.

故選A.

點評：本題考查了一次函數與一元一次不等式：從函數的角度看，就是尋求使一次函數y=ax+b

的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸

上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合.也考查了在數軸上表示不等式的解集.

8.（3分）（湖北荊門）如圖，電路圖上有四個開關A、B、C、D和一個小燈泡，閉合開關D或同時

閉合開關A、B、C都可使小燈泡發光，則任意閉合其中兩個開關，小燈泡發光的概率是（）

0

A.3C-4D-6

2

考點：列表法與樹狀圖法.

分析：首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與小燈泡發光的情況，再

利用概率公式即可求得答案.

解答：解：畫樹狀圖得：

CD

/N/1\/N

BcDAcDABDABC

???共有12種等可能的結果，現任意閉合其中兩個開關，則小燈泡發光的有6種情況，

二小燈泡發光的概率為：@=工

122

故選A.

點評：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列

出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用

到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

9.（3分）（湖北荊門）如圖，在4x4的正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，左上角陰影部

分是一個以格點為頂點的正方形（簡稱格點正方形）.若再作一個格點正方形，并涂上陰影，使這兩

個格點正方形無重疊面積，且組成的圖形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，則這個格點正方形的

作法共有（）

A.2種B.3種C.4種D.5種

考點：利用旋轉設計圖案；利用軸對稱設計圖案.

分析：利用軸對稱圖形的性質以及中心對稱圖形的性質分析得出符合題意的圖形即可.

解答：解；如圖所示：組成的圖形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，

則這個格點正方形的作法共有4種.

故選：C.

點評：此題主要考查了利用軸對稱以及旋轉設計圖案，正確把握相關定義是解題關鍵.

10.（3分）（湖北荊門）已知點P（1-2a,a-2）關于原點的對稱點在第一象限內，且a為整數，則

關于x的分式方程型二2的解是（）

x-a

A.5B.1C.3D.不能確定

考點：解分式方程；關于原點對稱的點的坐標.

專題：計算題.

分析：根據P關于原點對稱點在第一象限，得到P橫縱坐標都小于0,求出a的范圍，確定出a

的值，代入方程計算即可求出解.

解答：解：1?點P（1-2a,a-2）關于原點的對稱點在第一象限內，且a為整數，

fl-2a<0

??4，

a-2<0

解得：A<a<2>即a=l,

2

當a=l時，所求方程化為以L=2,

x-1

去分母得：x+l=2x-2,

解得：x=3,

經檢驗x=3是分式方程的解，

則方程的解為3.

故選C

點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"轉化思想"，把分式方程轉化為整式方

程求解.解分式方程一定注意要驗根.

11.（3分）（湖北荊門）如圖，在第1個AAiBC中，NB=30。，AiB=CB：在邊A|B上任取一點D,

延長CAi到A2,使AIA2=AID,得到第2個AA1A2D；在邊A2D上任取一點E,延長A1A2到A3,

使A2A3=A2E,得到第3個4A2A3E,...按此做法繼續下去，則第n個三角形中以An為頂點的內角

度數是（）

A.（工）％75。B.（工）皿?65。C.（1）nl.75°D.（1）

2222

n?85°

考點：等腰三角形的性質.

專題：規律型.

分析：先根據等腰三角形的性質求出NBA（C的度數,再根據三角形外角的性質及等腰三角形的性

質分別求出NDA2A1,NEA3A2及NFA4A3的度數，找出規律即可得出第n個三角形中以An為頂點

的內角度數.

解答：解：?.?在△CBAi中，ZB=30",AiB=CB,

.八人-ZB?

??NBAIL------------------/□O,

2

.*AIA2=AID?NBA]C是△A1A2D的外角,

ZDA2AI=1ZBAIC=1X75"；

22

同理可得，

ZEA3A2=（1）2x75°,ZFA4A3=（1）3x75°,

22

???第n個三角形中以An為頂點的內角度數是（[）n'x75\

2

故選：C.

點評：本題考查的是等腰三角形的性質及三角形外角的性質，根據題意得出NDA2A1，NEA3A2

及NFA4A3的度數，找出規律是解答此題的關鍵.

12.（3分）（湖北荊門）如圖，已知圓柱底面的周長為4dm,圓柱高為2dm,在圓柱的側面上，過點

A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為（）

4^/^dmB.2j^dmC.D.4-75d111

考點：平面展開-最短路徑問題.

分析：要求絲線的長，需將圓柱的側面展開，進而根據"兩點之間線段最短”得出結果，在求線段

長時，根據勾股定理計算即可.

解答：解：如圖，把圓柱的側面展開，得到矩形，則則這圈金屬絲的周長最小為2AC的長度.

,圓柱底面的周長為4dm,圓柱高為2dm,

/.AB=2dm,BC=BC'=2dm,

AC2=22+22=4+4=8,

這圈金屬絲的周長最小為2AC=4j^cm.

故選A.

點評：本題考查了平面展開-最短路徑問題，圓柱的側面展開圖是一個矩形，此矩形的長等于圓

柱底面周長，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側面展開成矩形，"化曲面為平面”，用勾股定理

解決.

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

mn2

13.（3分）（湖北荊門）若-2x-y與3x4y2m+n是同類項，則m-3n的立方根是2

考點：立方根；合并同類項；解二元一次方程組.

分析：根據同類項的定義可以得到m,n的值，繼而求出m-3n的立方根.

解答：解：若-2x~ny2與3x4y2m+n是同類項，

Jin-n=4

\2nH-n=2

解方程得：1

[n=-2

m-3n=2-3x（-2）=8.

8的立方根是2.

故答案為2.

點評：本題考查了同類項的概念以及立方根的求法，解體的關鍵是根據定義求出對應m、n的值.

14.（3分）（湖北荊門）如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點0為位似中心，相似比

為1：血，點A的坐標為（0,1）,則點E的坐標是（V?,.

考點：位似變換；坐標與圖形性質.

分析：由題意可得OA：OD=1：V2＞又由點A的坐標為（1,0）,即可求得OD的長，又由正方

形的性質，即可求得E點的坐標._

解答：解：,正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1：后，

OA：OD=1：我，

,點A的坐標為（1,0）,

即OA=1,

,--0口=夜，

四邊形ODEF是正方形，

DE=OD=V2-

??.E點的坐標為：（加，圾）.

故答案為：（&，乃）.

點評：此題考查了位似變換的性質與正方形的性質.此題比較簡單，注意理解位似變換與相似比

的定義是解此題的關鍵.

15.（3分）（湖北荊門）我們知道，無限循環小數都可以轉化為分數.例如：將o.g轉化為分數時，

可設0.春，則x=0.3+」-x,解得xJ,即o.）上仿此方法，將o.成分數是—圖

103,399

考點：一元一次方程的應用.

分析：設x=0.￡，貝I」x=0.4545…①，根據等式性質得：100x=45.4545…②，再由②-①得方程

100x-x=45,解方程即可.

解答：解：設x=o.45,貝Ux=0.4545…①，

根據等式性質得：100x=45.4545...②，

由②-①得：100x-x=45.4545...-0.4545...,

即：100x-x=45，

解方程得：x=9^.

99

故答案為名.

99

點評：此題主要考查了一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，看懂例題的解題方法.

16.（3分）（湖北荊門）如圖，在。ABCD中，以點A為圓心，AB的長為半徑的圓恰好與CD相切于

點C,交AD于點E,延長BA與OA相交于點F.若前的長為三，則圖中陰影部分的面積為—

考點：切線的性質；平行四邊形的性質；弧長的計算；扇形面積的計算.

分析：求圖中陰影部分的面積，就要從圖中分析陰影部分的面積是由哪幾部分組成的.很顯然圖

中陰影部分的面積=△ACD的面積-扇形ACE的面積，然后按各圖形的面積公式計算即可.

解答：解：連接AC,

DC是OA的切線，

??.AC±CD,

又AB=AC=CD,

??.△ACD是等腰直角三角形，

ZCAD=45°,

又「四邊形ABCD是平行四邊形，

/.ADIIBC,

??.ZCAD=ZACB=45°,

又二AB二AC,

??.ZACB=ZB=45°,

ZCAD=45°,

??.ZCAD=45°,

V面的長為工，

2

?冗兀

?，—~-4--5-----r-，

2180

解得：尸2,

S陰彩=SAACD-SACD=-X2X2-45Tx2_2L.

23602

故答案為：2-H.

2

點評：本題主要考查了扇形的面積計算方法，不規則圖形的面積通常轉化為規則圖形的面積的和

差.

17.（3分）（湖北荊門）如圖，己知點A是雙曲線y=2在第一象限的分支上的一個動點，連結A0并

X

延長交另一分支于點B,以AB為邊作等邊△ABC,點C在第四象限.隨著點A的運動，點C的位

置也不斷變化，但點C始終在雙曲線y=X（k<0）上運動，則k的值是-6.

考點：反比例函數圖象上點的坐標特征；等邊三角形的性質；相似三角形的判定與性質；特殊角

的三角函數值.

專題：動點型._

分析：連接0C,易證AO±OC,OC=V3OA.由NAOC=90。想到構造K型相似，過點A作AE±y

軸，垂足為E,過點C作CF_Ly軸，垂足為F,可證△AEO-△OFC.從而得到OF=J^AE,FC=?EO..

設點A坐標為（a,b）則ab=2,可得FC?OF=6.設點C坐標為（x,y）,從而有FC?OF=-xy=-6,

即k=xy=-6.

解答：解：??,雙曲線y=2關于原點對稱，

X

???點A與點B關于原點對稱.

??,OA=OB.

連接0C,如圖所示.

???△ABC是等邊三角形，OA=OB,

/.OC±AB.ZBAC=60°.

tanZOAC=￡?.

_OA

OC=V3OA.

過點A作AE_Ly軸，垂足為E,

過點C作CFJLy軸，垂足為F,

AEXOE,CF±OF,OC±OA,

ZAEO=ZFOC,ZAOE=90°-ZFOC=ZOCF.

.△AEC）s&OFC.

.AE^E0=A0

"OFFCOC'

???OC=V3OA,

OF=V3AE,FC=A/3EO.

設點A坐標為（a,b）,

?.?點A在第一象限，

AE=a,OE=b.

OF=A/^AE=FC=V^EO=V^b.

?.?點A在雙曲線y=2上，

X

ab=2.

FC?OF=V3b-73a=3ab=6

設點C坐標為（x,y）,

???點C在第四象限，

FC=x,OF=-y.

FC*OF=x>（-y）=-xy

=6.

xy=-6.

?.?點C在雙曲線y=k上，

X

/.k=xy=-6.

故答案為：-6.

點評：本題考查了等邊三角形的性質、反比例函數的性質、相似三角形的判定與性質、點與坐標

之間的關系、特殊角的三角函數值等知識，有一定的難度.由NAOC=90。聯想到構造K型相似是解

答本題的關鍵.

三、解答題（本大題共7題，共69分）__

18.（8分）（湖北荊門）⑴計算:技x成-4x嘏（1-亞°；

222

（2）先化簡，再求值：（一5f+^）,其中a,b滿足訂訂+lb-?|=0.

a2-2ab+b2b-aa2-ab

考點：二次根式的混合運算；非負數的性質：絕對值；非負數的性質：算術平方根；分式的化簡

求值；零指數事.

專題：計算題._

分析：(1)根據二次根式的乘法法則和零指數器的意義得到原式=荷衛-4x^x]=2^-

亞，然后合并即可；

(2)先把分子和分母因式分解和除法運算化為乘法運算，再計算括號內的運算，然后約分得到原式

=且再根據非負數的性質得到a+l=O,b-y/3=Q,解得a=-l,b=V3.然后把a和b的值代入計算

b

即可._

解答：解：(1)原式工-4x*xl

=2加-近

=V2；

⑵原式=[(a+b)(a-*

(a-b)2afb2

=(a+b_a(af)

a-ba-b/

ba(a-b)

二一V.----------

a-bb2

—_—a,

b_

??1V^+i+ib-V3i=o.

a+l=O,b-V3=0-

解得a=-1,b=V3，

當a=-1,b=?時，原式=--—

M3

點評：本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的

乘除運算，然后合并同類二次根式.也考查了零指數‘幕、非負數的性質和分式的化簡求值.

19.(9分)(湖北荊門)如圖①，正方形ABCD的邊AB,AD分別在等腰直角△AEF的腰AE,AF

上，點C在AAEF內，則有DF=BE(不必證明).將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉一定角度a

(0°<a<90°)后，連結BE,DF.請在圖②中用實線補全圖形，這時DF=BE還成立嗎？請說明理

由.

國①國②

考點：全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；正方形的性質.

分析：根據旋轉角求出NFAD=NEAB,然后利用“邊角邊"證明△ABE和△ADF全等，根據全等

三角形對應邊相等可得BE=DF.

解答：解：DF=BE還成立；

理由：???正方形ABCD繞點A逆時針旋轉一定角度a,

ZFAD=ZEAB,

在4ADF與工ABE中

'AF二AE

<NFAD=NEAB

AD=AB

:&ADF^△ABE（SAS）

DF=BE.

點評：本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性

質，熟記各性質求出三角形全等是解題的關鍵.

20.（10分）（湖北荊門）釣魚島自古以來就是中國的領土.如圖，我國甲、乙兩艘海監執法船某天在

釣魚島附近海域巡航，某一時刻這兩艘船分別位于釣魚島正西方向的A處和正東方向的B處，這時

兩船同時接到立即趕往C處海域巡查的任務，并測得C處位于A處北偏東59。方向、位于B處北偏

西44。方向.若甲、乙兩船分別沿AC,BC方向航行，其平均速度分別是20海里/小時，18海里/小

時，試估算哪艘船先趕到C處.

（參考數據：cos59°=0.52,sin參。=0.72）

釣魚島

考點：解直角三角形的應用-方向角問題.

分析：作CDJ_AB于點D,由題意得：NACD=59。，NDCB=44。，設CD的長為a海里，分別在

RSACD中，和在RSBCD中，用a表示出AC和BC,然后除以速度即可求得時間，比較即可確

定答案

解答：解：如圖，作CD_LAB于點D,

由題意得：ZACD=59。，ZDCB=44",

設CD的長為a海里，

在RtAACD中，—=cosZACD,

AC

AC=——迎—1.92a；

cos/ACD0.52

在RtABCD中，—=cosZBCD,

BC

BC=———=^--1.39a；

cos/BCD0.72

V其平均速度分別是20海里/小時，18海里/小時，

二1.92a+20=0.096a.1.39a+18=0.077a,

,/a>0,

0.096a>0.077a,

乙先到達.

點評：本題考查了解直角三角形的應用，解決本題的關鍵在于設出未知數a,使得運算更加方便,

難度中等.

21.（10分）（湖北荊門）我市某中學七、八年級各選派10名選手參加學校舉辦的"愛我荊門"知識競

賽，計分采用10分制，選手得分均為整數，成績達到6分或6分以上為合格，達到9分或10分為

優秀.這次競賽后，七、八年級兩支代表隊選手成績分布的條形統計圖和成績統計分析表如下，其

中七年級代表隊得6分、10分的選手人數分別為a,b.

隊別平均分中位數方差合格率優秀率

七年級6.7m3.4190%n

八年級7.17.51.6980%10%

（1）請依據圖表中的數據，求a,b的值；

（2）直接寫出表中的m,n的值；

（3）有人說七年級的合格率、優秀率均高于八年級，所以七年級隊成績比八年級隊好，但也有人說

八年級隊成績比七年級隊好.請你給出兩條支持八年級隊成績好的理由.

考點：條形統計圖；統計表；加權平均數；中位數；方差.

專題：計算題.

分析：（1）根據題中數據求出a與b的值即可；

（2）根據（1）a與b的值，確定出m與n的值即可；

（3）從方差，平均分角度考慮，給出兩條支持八年級隊成績好的理由即可.

解答：解：（1）根據題意得：a=5,b=l；

（2）七年級成績為3,6,6,6,6,6,7,8,9,10,中位數為6,即m=6；

優秀率為1±1=」=20%,即n=20%；

105

（3）八年級平均分高于七年級，方差小于七年級，成績比較穩定，

故八年級隊比七年級隊成績好.

點評：此題考查了條形統計圖，扇形統計圖，以及中位數，平均數，以及方差，弄清題意是解本

題的關鍵.

22.（10分）（湖北荊門）我國中東部地區霧霾天氣趨于嚴重，環境治理已刻不容緩.我市某電器商場

根據民眾健康需要，代理銷售某種家用空氣凈化器，其進價是200元/臺.經過市場銷售后發現：在

一個月內，當售價是400元/臺時，可售出200臺，且售價每降低10元，就可多售出50臺.若供貨

商規定這種空氣凈化器售價不能低于300元/臺，代理銷售商每月要完成不低于450臺的銷售任務.

（1）試確定月銷售量y（臺）與售價x（元/臺）之間的函數關系式；

（2）求售價x的范圍；

（3）當售價x（元/臺）定為多少時，商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w（元）最大？最

大利潤是多少？

考點：二次函數的應用.

分析：（1）根據題中條件銷售價每降低10元，月銷售量就可多售出50千克，即可列出函數關系

式；

（2）根據供貨商規定這種空氣凈化器售價不能低于300元/臺，代理銷售商每月要完成不低于450

臺的銷售即可求出x的取值.

（3）用x表示y,然后再用x來表示出w,根據函數關系式，即可求出最大w；

解答：解：（1）根據題中條件銷售價每降低10元，月銷售量就可多售出50千克，

則月銷售量y（臺）與售價x（元/臺）之間的函數關系式；y=-5x+2200.

（2）供貨商規定這種空氣凈化器售價不能低于300元/臺，代理銷售商每月要完成不低于450臺，

則3004x4350.

（3）W=（x-200）（-5x+2200）,

整理得：W=-5（x-320）2+72022.

即當x=320時，最大值為72022.

點評：本題主要考查對于一次函數的應用和掌握，而且還應用到將函數變形求函數極值的知識.

23.（10分）（湖北荊門）已知：函數y=ax2-（3a+l）x+2a+l（a為常數）.

（1）若該函數圖象與坐標軸只有兩個交點，求a的值；

（2）若該函數圖象是開口向上的拋物線，與x軸相交于點A（xi，0）,B（X2,0）兩點，與y軸相

交于點C,且X2-xi=2.

①求拋物線的解析式；

②作點A關于y軸的對稱點D,連結BC,DC,求sinNDCB的值.

考點：二次函數綜合題.

分析：（1）根據a取值的不同，有三種情形，需要分類討論，避免漏解.

（2）①函數與x軸相交于點A（X”0）,B（X2，0）兩點，則xi，X2，滿足y=0時，方程的根與

系數關系.因為X2-XI=2,則可平方，用xi+x2,xix2表示，則得關于a的方程，可求，并得拋物線

解析式.

②已知解析式則可得A,B,C,D坐標，求sinNDCB,須作垂線構造直角三角形，結論易得.

解答：解：（1）函數y=ax2-（3a+l）x+2a+l（a為常數），

若a=0,則y=-x+l,與坐標軸有兩個交點（0,1）,（1,0）；

若axO且圖象過原點時，2a+l=0,a=-X有兩個交點（0,0）,（1,0）；

2

若axO且圖象與x軸只有一個交點時，令y=0有：

△=(3a+l)2-4a(2a+l)=0,解得a=-1,有兩個交點(0,-1),(1,0).

綜上得：a=0或-工或-1時，函數圖象與坐標軸有兩個交點.

2

(2)①?.■函數與x軸相交于點ACxi,0),B(X2.0)兩點，

「.xi,X2為ax?-(3a+l)x為a+l=0的兩個根,

/.xi+x2=3a+l,x]X2=2a+l,

aa

X2-xi=2,

4=(X2-xi)2=(X1+X2)2-4X]X2=("+1.)2-4?烏也，

aa

解得a=-▲(函數開口向上，a>0,舍去)，或a=l,

3

y=x2-4x+3.

②?函數y=x2-4x+3與x軸相交于點A(xi，0),B(X2,0)兩點，與y軸相交于點C,且xi<

X2>

A(1,0),B(3,0),C(0,3),

?「D為A關于y軸的對稱點，

AD(-1,0).

根據題意畫圖，

如圖1,過點D作DEJ_CB于E,

???OC=3,OB=3,OC±OB,

OCB為等腰直角三角形，

ZCBO=45",

△EDB為等腰直角三角形，

設DE=x,貝I」EB=x,

?1,DB=4,

/.X2+X2=42,

x=2&,即DE=2后.

在RSCOD中，

DO=1,CO=3,

■1-CD寸DoZ+co—ZiR

sinzDCB=^=^l^.

CD5

點評：本題考查了二次函數圖象交點性質、韋達定理、特殊三角形及三角函數等知識，題目考法

新穎，但內容常規基礎，是一道非常值得考生練習的題目.

24.（12分）（湖北荊門）如圖①，已知：在矩形ABCD的邊AD上有一點O,0A=?,以O為圓心,

0A長為半徑作圓，交AD于M,恰好與BD相切于H,過H作弦HPIIAB,弦HP=3.若點E是

CD邊上一動點（點E與C,D不重合），過E作直線EFIIBD交BC于F,再把ACEF沿著動直線

EF對折，點C的對應點為G.設CE=x,AEFG與矩形ABCD重疊部分的面積為S.

（1）求證：四邊形ABHP是菱形；

（2）問AEFG的直角頂點G能落在00上嗎？若能，求出此時x的值；若不能，請說明理由；

（3）求S與x之間的函數關系式，并直接寫出FG與00相切時，S的值.

圖①圖②（備用圖）

考點：圓的綜合題；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性質；垂徑定理；切線的性質；

切線長定理；軸對稱的性質；特殊角的三角函數值.

專題：壓軸題.

分析：（1）連接0H,可以求出NHOD=60。，ZHDO=30°,從而可以求出AB=3,由HPIIAB,

HP=3可證到四邊形ABHP是平行四邊形，再根據切線長定理可得BA=BH,即可證到四邊形ABHP

是菱形.

（2）當點G落到AD上時，可以證到點G與點M重合，可求出x=2.

（3）當（ExC時，如圖①，S=SAEGF，只需求出FG,就可得到S與x之間的函數關系式；當2<x43

時，如圖④，S=SAGEF-SASGR，只需求出SG、RG,就可得到S與x之間的函數關系式.當FG

與。0相切時，如圖⑤，易得FK=AB=3,KQ=AQ-AK=2-再由FK=J5KQ即可求出

x,從而求出S.

解答：解：（1）證明：連接0H,如圖①所示.

圖①

1.■四邊形ABCD是矩形，

ZADC=ZBAD=90°,BC=AD,AB=CD.

???HPIIAB,

ZANH+ZBAD=180".

ZANH=90°.

HN=PN」HP=衛.

22

???OH=OA=V3>

sinzHON=I?k^.

OH2

ZHON=60°

---BD與。。相切于點H,

OH±BD.

ZHDO=30°.

OD=2V3.

AD=3而

BC=3V3-

???ZBAD=90°,ZBDA=30".

tanzBDA=-^=AB=V3

AE3733

AB=3.

???HP=3,

AB=HP.

ABIIHP,

A四邊形ABHP是平行四邊形.

???ZBAD=90°,AM是。O的直徑,

?1.BA與。O相切于點A.

???BD與。O相切于點H,

BA=BH.

???平行四邊形ABHP是菱形.

（2）△EFG的直角頂點G能落在。O上.

如圖②所示，點G落到AD上.

EFIIBD,

ZFEC=ZCDB.

ZCDB=90°-30°=60°,

??.ZCEF=60°.

由折疊可得：ZGEF=ZCEF=60°.

??.ZGED=60°.

CE=x,

/.GE=CE=x.ED=DC-CE=3-x.

COSZGED&=三三上

GEx2

x=2.

/.GE=2,ED=1.

GD=V3._____

OG=AD-AO-GD=3?-M-存?.

OG=OM.

.?.點G與點M重合.

此時△EFG的直角頂點G落在。0上，對應的x的值為2.

當小EFG的直角頂點G落在00上時，對應的x的值為2.

(3)①如圖①,

在RtAEGF中9

tanZFEG=—=—=^3-

_GEx

FG=V3X-

S」GE?FG=L??X=?2.