高中數學選修二：數列求和的方法【思維導圖】考點一裂項相消【例1】若數列的前項和滿足.(1)求證：數列是等比數列；(2)設，求數列的前項和.【一隅三反】1．設數列滿足：，且（），.（1）求的通項公式：（2）求數列的前項和.2．已知是公差不為零的等差數列，，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和.考點二錯位相減【例2】．已知數列滿足，且（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【一隅三反】1．已知數列是公差的等差數列，其前n項和為，滿足，且，，恰為等比數列的前三項．（1）求數列，的通項公式；（2）設，數列的前n項和為，求證：．2．設數列、都有無窮項，的前項和為，是等比數列，且.（1）求和的通項公式；（2）記，求數列的前項和為.3．已知數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.考點三分組求和【例3】．已知等差數列的前項和為，等比數列的前項和為.若，，.（1）求數列與的通項公式；（2）求數列的前項和.【一隅三反】1．已知數列的前項和，在各項均不相等的等差數列中，，且，，成等比數列，（1）求數列、的通項公式；（2）設，求數列的前項和．2．已知在等比數列中，，且是和的等差中項.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求的前項和.3．已知等比數列的各項均為正數，，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.考點四倒序相加【例4】．已知函數，若，則的最小值為（）A． B． C． D．【一隅三反】1．設函數，利用課本（蘇教版必修）中推導等差數列前項和的方法，求得的值為（）A． B． C． D．2．已知函數，則的值為（）A．4033B．-4033C．8066D．-80663．已知函數，設（），則數列的前2019項和的值為（）A． B． C． D．考點五奇偶并項【例5】．設，數列的前項和為，已知，______.請在①，，成等比數列，②，③，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前項的和.【一隅三反】．1.設是數列的前n項和，已知，⑴求數列的通項公式；⑵設，求數列的前項和．2．已知數列的前項和為．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．考點六絕對值求和【例6】．已知數列的通項公式，則（）A．150 B．162 C．180 D．210【一隅三反】1．已知是首項為32的等比數列，是其前n項和，且，則數列前10項和為()A．58 B．56 C．50 D．45答案解析考點一裂項相消【例1】若數列的前項和滿足.(1)求證：數列是等比數列；(2)設，求數列的前項和.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】證明：當時，，計算得出，當時，根據題意得，，所以，即，即數列是首項為-2，公比為2的等比數列由（1）知，，1則【一隅三反】1．設數列滿足：，且（），.（1）求的通項公式：（2）求數列的前項和.【答案】（1）（）（2）【解析】(1)由()可知數列是等差數列,設公差為,因為,所以,解得,所以的通項公式為:();(2)由(1)知,所以數列的前項和:.2．已知是公差不為零的等差數列，，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和.【答案】（1），（2）【解析】（1）設等差數列的公差為（），因為，且成等比數列，所以，即，解得（舍去）或，所以，（2）由（1）可得，所以考點二錯位相減【例2】．已知數列滿足，且（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）時，有，即，故，又時也適合該式，（2）因為，所以①則②①-②得，.【一隅三反】1．已知數列是公差的等差數列，其前n項和為，滿足，且，，恰為等比數列的前三項．（1）求數列，的通項公式；（2）設，數列的前n項和為，求證：．【答案】（1），；（2）見解析【解析】（1）由題意，，得，由，得，．所以．由，，得公比，所以．（2）因為，所以①得②①-②得．所以．從而．2．設數列、都有無窮項，的前項和為，是等比數列，且.（1）求和的通項公式；（2）記，求數列的前項和為.【答案】（1）；（2）【解析】（1）當時，==4；當時，，且亦滿足此關系，∴的通項為，設的公比為，則，則，∴；（2）由題意，，而，，兩式相減，有，．3．已知數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，而，∴數列是等比數列，公比為1，首項為1，∴，∴；（2）由（1），設，則，兩式相減得，∴，∴．考點三分組求和【例3】．已知等差數列的前項和為，等比數列的前項和為.若，，.（1）求數列與的通項公式；（2）求數列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由,，則，設等差數列的公差為，則，所以，所以設等比數列的公比為由，，解得，所以，（2），數列的前項和【一隅三反】1．已知數列的前項和，在各項均不相等的等差數列中，，且，，成等比數列，（1）求數列、的通項公式；（2）設，求數列的前項和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）設數列的公差為，則，，∵，，成等比數列，∴，即．整理得，解得（舍去）或，∴．當時，，當時，．驗證：當時，滿足上式，∴數列的通項公式為．（2）由（1）得，，∴．2．已知在等比數列中，，且是和的等差中項.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設等比數列的公比為，則，則，，由于是和的等差中項，即，即，解得.因此，數列的通項公式為；（2），.3．已知等比數列的各項均為正數，，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】（1）設公比為由題意可知，整理得，解得（舍），，即則（2）考點四倒序相加【例4】．已知函數，若，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知：令又于是有因此所以當且僅當時取等號本題正確選項：【一隅三反】1．設函數，利用課本（蘇教版必修）中推導等差數列前項和的方法，求得的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，設，則，兩式相加得，因此，.故選：B.2．已知函數，則的值為（）A．4033 B．-4033C．8066 D．-8066【答案】D【解析】，所以原式.3．已知函數，設（），則數列的前2019項和的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以所以因為所以，所以則數列的前2018項和則所以所以又故選：考點五奇偶并項【例5】．設，數列的前項和為，已知，______.請在①，，成等比數列，②，③，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前項的和.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】選①，（1）由得：，∴數列是以為首項，2為公差的等差數列.由，，成等比數列得，解得.∴.（2），.選②，（1）由得，∴數列是以為首項，2為公差的等差數列.由得，解得，∴.（2），∴.選③，（1）同理，由得，∴數列是以為首項，2為公差的等差數列，由得，解得，∴.（2），∴.【一隅三反】．1.設是數列的前n項和，已知，⑴求數列的通項公式；⑵設，求數列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】（1）因為，所以當時，兩式相減得，所以當時，，，則所以數列為首項為，公比為的等比數列，故（2）由（1）可得所以故當為奇數時，當為偶數時，綜上2．已知數列的前項和為．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）當時，.因為，所以，所以.因為，所以.兩式相減，得，即又因為，所以.所以數列是以為首項，為公比的等比數列.所以.（2）由（1）可知故當為偶數時，當為奇數時，所以考點六絕對值求和【例6】．已知數列的通項公式，則（）A．150 B．162 C．180 D．210【答案】B【解析】由對勾函數的性質可知：當時，數列為遞減；當時，數列為遞增．所以====162【一隅三反】1．已知是首項為32的等比數列，是其前n項和，且，則數列前10項和為()A．58 B．56 C．50 D．45【答案】A【解析】是首項為32的等比數列,是其前n項和,且,所以公比不為1，,,,,,數列前10項和為,故選：A《數列求和的方法》專題訓練【題組一裂項相消】1．數列的通項公式，若前n項的和為11，則n=________.2．已知數列，都是等差數列，，，設，則數列的前2018項和為（）A． B． C． D．3．已知等差數列中，，.（1）求數列的通項公式；（2）記數列的前項和為，證明：.4．已知公差不為0的等差數列中，且，，成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前n項和為，求使的n的最大值.5．設數列滿足.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和．6．已知等比數列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項（1）求數列{an}通項公式；（2）求數列{}的前n項和Tn.7．已知數列的前項和為，且．（1）證明：數列為等比數列；（2）若，求數列的前項和．8．記是正項數列的前項和，是和的等比中項.（1）求數列的通項公式；（2）記，求數列的前項和.9．數列滿足，．（1）證明：數列是等差數列；（2）求數列的前項和，并證明：．10．設為首項不為零等差數列的前n項和，已知，.（1）求數列的通項公式；（2）設為數列的前n項和，求的最大值.【題組二錯位相減】1．在數列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)設bn＝.證明：數列{bn}是等差數列；(2)求數列{an}的前n項和．2．設等差數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）設數列滿足，求數列的前項和.3．設等差數列的公差為，前項和為，且滿足，.等比數列滿足，.（1）求數列和的通項公式；（2）設，求數列的前項和.4．已知等比數列中，，是和的等差中項．(1)求數列的通項公式；(2)記，求數列的前項和.5．設數列的前項和為，，且對任意正整數，點都在直線上.（1）求的通項公式；（2）若，求的前項和.6．設是公比不為1的等比數列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數列的前項和．7．已知等比數列的前n項和是，且是與的等差中項．（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前n項和．8．數列的前項和為滿足，且，，成等差數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前和.【題組三分組求和】1．已知數列滿足，且.（1）證明：是等比數列；（2）求的前項和.2．已知數列是公差不為0的等差數列，首項，且成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)設數列滿足，求數列的前項和3．已知數列是公差不為零的等差數列，且成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）若數列的前項和..【題組四倒序相加】1．設，()A．4 B．5 C．6 D．10.2．()，則數列的通項公式是___________.3．設，利用課本中推導等差數列前n項和的公式的方法，可求得_________．4．，利用課本中推導等差數列前項和的公式的方法，可求得______．5．設，則__________．【題組五奇偶并項】1．已知數列為等比數列，，是和的等差中項.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.2．已知數列的前項和滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）設，，求數列的前項和.3．已知等比數列的前n項和為，，且，，成等差數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.4．在數列中，已知，，.（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前50項和.5．已知為數列的前項和，且，，，.（1）求數列的通項公式；（2）若對，，求數列的前項和.【題組六絕對值求和】1．已知數列的前n項和為.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和.2．記數列的前項和為，已知.（1）求數列的通項公式；（2）記數列的前項和為，求3．設數列前項和為，且滿足．（1）證明為等比數列，并求數列的通項公式；（2）在（1）的條件下，設，求數列的前項和．4．已知數列的前項和為，且，數列為等差數列，.（1）求，的通項公式；（2）記，求數列的前項和.答案解析【題組一裂項相消】1．數列的通項公式，若前n項的和為11，則n=________.【答案】143.【解析】因為，所以，所以因此，2．已知數列，都是等差數列，，，設，則數列的前2018項和為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設數列，的公差分別為，，則由已知得，，所以，，所以，，所以，所以數列的前2018項和為,故選D.3．已知等差數列中，，.（1）求數列的通項公式；（2）記數列的前項和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設數列的公差為，由題意得，解得，，故數列的通項公式為.（2）由（1）知，所以，所以，所以.4．已知公差不為0的等差數列中，且，，成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前n項和為，求使的n的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為，，成等比數列，所以，因為數列是等差數列，且，所以，即，解得或（舍去）所以（2）因為，，所以，所以，解得，所以當時，n的最大值為.5．設數列滿足.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和．【答案】(1)；(2).【解析】（1）數列滿足時,∴∴當時,,上式也成立∴（2）∴數列的前n項和6．已知等比數列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項（1）求數列{an}通項公式；（2）求數列{}的前n項和Tn.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由是的等差中項得，所以，解得.由得，因為，所以.所以（2）記則所以。7．已知數列的前項和為，且．（1）證明：數列為等比數列；（2）若，求數列的前項和．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）當時，，則．當時，因為，所以，則，即．從而，即，因為，所以，所以數列是以1為首項，3為公比的等比數列．（2）由（1）可得，即．因為，所以，則，故．8．記是正項數列的前項和，是和的等比中項.（1）求數列的通項公式；（2）記，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為是和的等比中項，所以①，當時，②，由①②得：，化簡得，即或者（舍去），故，數列為等差數列，因為，解得，所以數列是首項為、公差為的等差數列，通項公式：.（2）∵，∴.9．數列滿足，．（1）證明：數列是等差數列；（2）求數列的前項和，并證明：．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析.【解析】（1）證明：∵，∴，化簡得，即，故數列是以1為首項，2為公差的等差數列．（2）由（1）知，所以，．因此．10．設為首項不為零等差數列的前n項和，已知，.（1）求數列的通項公式；（2）設為數列的前n項和，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設的公差為d，則由題知解得(舍去)或，∴.（2）∵，∴.∴當且僅當，即時，等號成立，即當時，取得最大值.【題組二錯位相減】1．在數列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)設bn＝.證明：數列{bn}是等差數列；(2)求數列{an}的前n項和．【答案】（1）見解析（2）Sn＝(n－1)·2n＋1.【解析】(1)證明：∵an＋1＝2an＋2n，∴bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.∴數列{bn}是首項為1，公差為1的等差數列．(2)解：由(1)知，bn＝n，∴＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①∴2Sn＝1×21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②①-②得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n∴Sn＝(n－1)2n＋1.2．設等差數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）設數列滿足，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的公差為，由，得，解得，因此；（2）由題意知：，所以，則，兩式相減得，因此，.3．設等差數列的公差為，前項和為，且滿足，.等比數列滿足，.（1）求數列和的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1），解得，從而.，兩式相除得，，所以.（2）.,,相減得：,從而.4．已知等比數列中，，是和的等差中項．(1)求數列的通項公式；(2)記，求數列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】(1)設數列的公比為，由題意知：，∴，即.∴，即.(2)，∴.①.②①－②得∴.5．設數列的前項和為，，且對任意正整數，點都在直線上.（1）求的通項公式；（2）若，求的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由點在直線上，有，當時，，兩式相減得，即，，又當時，而，解得，滿足，即是首項，公比的等比數列，∴的通項公式為.（2）由（1）知，，則，.兩式相減得所以.6．設是公比不為1的等比數列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設的公比為，為的等差中項，，；（2）設的前項和為，，，①，②①②得，，.7．已知等比數列的前n項和是，且是與的等差中項．（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前n項和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）等比數列的公比設為q，，即，是與的等差中項，可得，所以，整理求得，則；（2）由（1）可求得，，∴.①，②①－②得，所以，8．數列的前項和為滿足，且，，成等差數列.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，而當時，，∴，()，故()是公比為3的等比數列.故，，由，，成等差數列，∴，即，有，∴（2）∵，有，∴，，上述兩式相減，得，即有.【題組三分組求和】1．已知數列滿足，且.（1）證明：是等比數列；（2）求的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由題易知，且，所以是等比數列.（2）由（1）可知是以為首項，2為公比的等比數列，所以，所以.所以.2．已知數列是公差不為0的等差數列，首項，且成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)設數列滿足，求數列的前項和【答案】（1）；（2）【解析】(1)設數列{an}的公差為d，由已知得，a＝a1a4，即(1＋d)2＝1＋3d，解得d＝0或d＝1.又d≠0，∴d＝1，可得an＝n.(2)由(1)得bn＝n＋2n，∴Tn＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝＋2n＋1－2.3．已知數列是公差不為零的等差數列，且成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）若數列的前項和..【答案】（1）；（2）【解析】設等差數列的公差為，則，，因為成等比數列，所以，即，整理為：（舍）或，所以；（2）由（1）可知，數列是以4為公比，4為首項的等比數列，前項和為，數列是以2為首項，2為公差的等差數列，前項和為.所以數列的前項和為【題組四倒序相加】1．設，()A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B【解析】由于，故原式.2．()，則數列的通項公式是___________.【答案】【解析】，，兩式相加可得，，所以.故答案為：3．設，利用課本中推導等差數列前n項和的公式的方法，可求得_________．【答案】【解析】，，因此，所以.故答案為：.4．，利用課本中推導等差數列前項和的公式的方法，可求得______．【答案】2020【解析】由題意可知，令S=則S=兩式相加得，．故填：5．設，則__________．【答案】1008【解析】∵函數，∴，∴，故答案為1008.【題組五奇偶并項】1．已知數列為等比數列，，是和的等差中項.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.【答案】(1)，；(2).【解析】（1）設數列的公比為，因為，所以，，因為是和的等差中項，所以.即，化簡得，因為公比，所以，因為，所以所以，；（2）當為偶數時，前項和；當為奇數時，前項和；則.2．已知數列的前項和滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）設，，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】當時