第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年江西省宜春市重點中學高二（上）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線x+3y?1=0的傾斜角為A.π3 B.π6 C.2π3 D.2.已知M(?2,0)，N(2,0)，|PM|?|PN|=4，則動點P的軌跡是(

)A.一條射線 B.雙曲線 C.雙曲線左支 D.雙曲線右支3.長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA.1625 B.45 C.9254.某校有甲、乙等5名同學到4個社區參加志愿服務活動，要求每名同學只能去1個社區，每個社區至少安排1名同學，則甲、乙2人被分配到不同的社區的概率為(

)A.310 B.910 C.255.已知圓C1：x2+y2=1與圓C2A.11 B.?11 C.9 D.?96.已知小郭、小張和小陸三名同學同時獨立地解答一道概率試題，每人均有23的概率解答正確，且三個人解答正確與否相互獨立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，小陸同學解答不正確的概率是(

)A.1320 B.920 C.157.設X～N(μ1,σ12)，A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)8.如圖，小明從街道的E處出發，到F處的老年公寓參加志愿者活動，如果中途共轉向3次，則小明到老年公寓可以選擇的不同的最短路徑的條數是(

)A.8

B.12

C.16

D.24二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知曲線C1：4x2+3y2=48，A.C1的長軸長為4 B.C2的漸近線方程為y=±3x

C.C1與C210.為調研某地空氣質量，連續10天測得該地PM2.5(PM2.5是衡量空氣質量的重要指標，單位：ug/m3)的日均值，依次為36，26，17，23，33，106，42，31A.前4天的極差大于后4天的極差 B.這組數據的眾數為33

C.這組數據的中位數為31或33 D.這組數據的第60百分位數與眾數相同11.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱CC1上的動點(點P不與點C，C1重合)，過點P作平面α分別與棱BC，CDA.A1C⊥平面α

B.存在點P，使得AC1/?/平面α

C.存在點P，使得點A1到平面α的距離為53

D.用過12.已知點P為雙曲線C：x24?y2=1上的任意一點，過點P作漸近線的垂線，垂足分別是EA.PE+PF=455 B.PE?PF=45

C.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.在二項式(x+2)614.從4位男同學，5位女同學中選出3位同學，男女生都要有的選法有______種.15.甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球(球除顏色外，大小質地均相同).先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以A1，A2和A3表示由甲箱中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則P(B)=16.四棱錐P?ABCD各頂點都在球心為O的球面上，且PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PA=AD=2，AB=22，設M，N分別是PD，CD的中點，則平面AMN截球O所得截面的面積為

．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

(1)求直線x+2y?3=0被圓(x?2)2+(y+1)2=4截得的弦長．

18.(本小題12分)

已知某單位招聘程序分兩步：第一步是筆試，筆試合格才能進入第二步面試；面試合格才算通過該單位的招聘.現有A，B，C三位畢業生應聘該單位，假設A，B，C三位畢業生筆試合格的概率分別是13，12，14；面試合格的概率分別是12，13，23．

(1)求A，B兩位畢業生中有且只有一位通過招聘的概率；

(2)記隨機變量X為A，B，19.(本小題12分)

某企業投資兩個新型項目，投資新型項目A的投資額m(單位：十萬元)與純利潤n(單位：萬元)的關系式為n=1.7m?0.5，投資新型項目B的投資額x(單位：十萬元)與純利潤y(單位：萬元)的散點圖如圖所示．

附：回歸直線y?=b?x+a?的斜率和截距的最小二乘估計分別為b=i=1nxiyi?nxy?i=1nxi220.(本小題12分)

已知直線x?y?2=0經過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點F，且與C交于A，B兩點．

(1)求C的方程；

(2)求圓心在x軸上，且過A，B兩點的圓的方程．21.(本小題12分)

如圖，三棱柱ABC?A1B1C1的底面是等邊三角形，AB=AA1=6，∠ABB1=60°，D，E，F分別為BB1，CC1，BC的中點．

(1)在線段AA1上找一點22.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)經過點P(2,1)，離心率為22，

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點P作兩條互相垂直的弦PA，PB分別交橢圓C于A，B，

①證明：直線答案和解析1.【答案】D

【解析】解：∵直線x+3y?1=0的斜率等于?33，設直線x+3y?1=0的傾斜角為θ，

則tanθ=?33，0≤θ<π，解得θ=5π6，

故選D．2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查雙曲線的定義的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．

用排除法做：如果是雙曲線，那么a=2，c=2，與在雙曲線中c>a矛盾，所以把三個關于雙曲線的答案全部排除

【解答】

解：如果是雙曲線，那么|PM|?|PN|=4=2a，

a=2，

而兩個定點M(?2,0)，N(2,0)為雙曲線的焦點，

c=2，

而在雙曲線中c>a，

所以把后三個關于雙曲線的答案全部排除．

故選A．3.【答案】A

【解析】解：連接B1C，則B1C/?/A1D，

∴∠AB1C就是異面直線AB1與A1D所成的角

∵AB=BC=3，AA1=4，則在△AB1C中，AC=32，B1A=5，B1C=5，

∴cos∠AB4.【答案】B

【解析】解：先在5名同學中選出2名同學分配到一個社區，有C52種分配方法，

再將另外3人分配到3個社區且每個社區各1人，則共有C52A44=240種分配方法，

其中甲、乙2人被分配到同一個社區的分法有A44=24種，

∴甲、乙2人被分配到不同的社區的概率為：

P=1?5.【答案】B

【解析】解：圓C1：x2+y2=1的圓心C1(0,0)，半徑r1=1，

圓C2：(x+3)2+(y+4)2=25?m的圓心C2(?3,?4)，半徑r2=25?m(m<25)，

顯然點C26.【答案】C

【解析】解：記“三人中至少有兩人解答正確”為事件A，“小陸同學解答不正確”為事件B，

則P(A)=C32×(23)2×(1?23)+(23)7.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了正態分布的圖象與性質，學習正態分布，一定要緊緊抓住平均數μ和標準差σ這兩個關鍵量，結合正態曲線的圖形特征，歸納正態曲線的性質．

直接利用正態分布曲線的特征，結合概率，直接判斷即可．

【解答】

解：正態分布密度曲線圖象關于x=μ對稱，所以μ1<μ2，從圖中容易得到P(X≤t)≥P(Y≤t)．

故選：8.【答案】D

【解析】解：根據題意，中途共三次轉向可以分為兩類，由此分2種情況討論：

①，右上右(即第一次向右轉，第二次向上轉，第三次向右轉)，此時有3×4=12種方法，

②，上右上，此時共有4×3=12種方法．

則共有12+12=24種最短路徑．

故選：D．

根據題意，按路線的不同分2種情況討論，由加法原理計算可得答案．

本題考查排列組合的應用，涉及分類計數原理的應用，屬于基礎題．9.【答案】BD

【解析】解：曲線C1：4x2+3y2=48整理得x212+y216=1，

則曲線C1是焦點在y軸上的橢圓，其中a12=16,b12=12，

所以c12=a12?b12=4，離心率為e1=c1a1=24=12，

故曲線C1的長軸長2a1=8，故A錯誤；10.【答案】ABD

【解析】解：對于A，前4天的極差36?17=19，后4天的極差42?30=12，所以前4天的極差大于后4天的極差，故A正確；

對于B，數據33出現2次，出現的次數最多，所以眾數為33，故B正確；

對于C，數據從小到大排列為17，23，26，30，31，33，33，36，42，106，所以這組數據的中位數為31+332=32，故C錯誤；

對于D，這組數據的第60百分位數10×0.6=6是第6個數和第7個數的平均數33+332=33與眾數33相同，故D正確．

故選：ABD．11.【答案】ACD

【解析】解：連接AD1，D1P，AM.DB．

易得AD1//PM，CC1//PM，C1D//PN，DB//MN．

對于A，可得正方體中A1C⊥面DBC1，即可得A1C⊥平面α，故A正確．

對于B，可得面C1DB//面PMN，故AC??1不可能平行面PMN.故錯．

對于C，∵A1C⊥平面α，且A1C=3>53，所以存在點P，使得點A1到平面α的距離為53，故正確．

對于D，用過P，12.【答案】BCD

【解析】解：設P(m,n)，則m2?4n2=4，

雙曲線C：x24?y2=1的漸近線方程為x?2y=0和x+2y=0，

則|PE|=|m?2n|5，|PF|=|m+2n|5，|PE|+|PF|不為常數，

|PE|?|PF|=|m2?4n2|5=45，故A錯誤，B正確；

由四邊形OEPF的對角互補，可得cos∠EPF=?cos∠EOF，

由漸近線的斜率分別為±1213.【答案】60

【解析】解：(x+2)6的展開式的通項為Tr+1=C6r(x)6?r2r=2rC6rx3?14.【答案】70

【解析】解：從4位男同學，5位女同學中選出3位同學，全是男生的選法有C43=4種，全是女生的選法有C53=10種，

所以男女生都要有的選法有C93?4?10=7015.【答案】922【解析】解：根據題意，A1事件發生且B事件發生的概率為12×511=522，

A2事件發生且B事件發生的概率為15×411=455，

A3事件發生且B16.【答案】3π

【解析】【分析】本題主要考查了棱錐的體積公式，考查了球的結構特征，及空間幾何體的截面問題，屬于中檔題．

先求出球O的直徑，再利用等體積法求出點D到平面AMN的距離，進而求出截面圓的半徑，即可求解．【解答】

解：由題設知球心O為PC中點，

所以球O的直徑2R=22+22+(22)2=4，

所以R=2，

所以球O的體積V=43πR3=323π，

設球心O到平面AMN的距離為d，截面圓的半徑為r，

由題意可知，球心O到平面AMN的距離等于點D到平面AMN的距離，

在三棱錐D?AMN中，由等體積法得VD?AMN=VN?AMD17.【答案】解：(1)易知圓(x?2)2+(y+1)2=4的圓心為(2,?1)，半徑r=2，

則圓心到直線x+2y?3=0的距離為d=|?3|5，則弦長l=2r2?d2=2555；

(2)易知y軸與圓(x?1)2+(y?2)2=1相切，即x=0符合題意，

當切線斜率存在時可設切線方程為y=kx【解析】(1)利用弦長公式計算即可；

(2)利用直線與圓的位置關系計算即可．

本題主要考查直線與圓的位置關系，考查轉化能力，屬于中檔題．18.【答案】解：(1)記“A，B兩位畢業生中有且只有一位通過招聘”為事件M．

A通過招聘的概率為13×12=16，B通過招聘的概率為12×13=16，

∴P(M)=16×56+56×16=518．

即A，B兩位畢業生有且只有一位通過招聘的概率為518．

(2)隨機變量X可能的取值為0，1，2，3．

C通過招聘的概率為14×23=16，

X0123P12575151數學期望E(X)=3×16【解析】(1)由獨立事件乘法公式，對立、互斥事件概率的關系即可得解．

(2)由題意可得X～B(3,16)19.【答案】解：(1)由散點圖可知，x取1，2，3，4，5時，y的值分別為2，3，5，7，8，

所以x?=1+2+3+4+55=3，y?=2+3+5+7+85=5，

b=1×2+2×3+3×5+4×7+5×8?5×3×512+22+32+42+52?5×32=1.6．

則a=5?1.6×3=0.2．

故y關于x的線性回歸方程為y=1.6x+0.2．

(2)因為投資新型項目A的投資額m(單位：十萬元)與純利潤n(單位：萬元)的關系式為n=1.7m?0.5，

所以若投資A項目，則該企業所得純利潤為1.7×Q10?0.5=(0.17Q?0.5)【解析】(1)由散點圖得到x，y的數據，計算出x?，y?代入公式即可求解．

(2)分別求出投資A，B項目所得純利潤的估計值，用作差法即可得出答案．20.【答案】解：(1)依題意，拋物線C的焦點F(p2,0)在直線x?y?2=0上，

則p2?2=0，解得p=4，

所以C的方程為y2=8x．

(2)由(1)知，拋物線C的準線方程為x=?2，

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中點為M(x0,y0)，

由x?y?2=0y2=8x，消去y得x2?12x+4=0，

則x1+x2=12，有x0=x1+x22=6，y【解析】(1)求出拋物線的焦點坐標，代入直線方程即可求解作答．

(2)根據給定條件，求出線段AB的中垂線方程，再求出圓心坐標及半徑作答．

本題考查拋物線與圓的標準方程的求解，考查直線與圓錐曲線的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．21.【答案】(1)證明：取DE中點M，AA1的中點G，

連接FM，FG，A1M，如圖，

在三棱柱ABC?A1B1C1中，易得MF/?/A1G且MF=A1G，

所以四邊形FMA1G為平行四邊形，則MA1//FG，