第四講用數學歸納法證明不等式

-數學歸納法

考綱定位重難突破

1.了解數學歸納法的原理.重點：1.數學歸納法的原理.

2.了解數學歸納法的使用范圍.2.數學歸納法的應用.

3.會用數學歸納法證明一些簡單問題.難點：掌握數學歸納法的應用.

01懦前自主梳理@------------------------------------------------------掌握基本知識，注重基礎訓練

授課提示：對應學生用書第37頁

［自主梳理］

一、數學歸納法的概念

一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數處的所有正整數〃都成立時，可以用

以下兩個步驟：

(1)證明當〃=小時命題成立；

(2)假設當〃=?/eN+,且時命題成立，證明〃=4+1時命題也成立.

在完成了這兩個步驟后,,就可以斷定命題對于不小于的所有正整數都成立，這種證

明方法稱為數學歸納法.

二、數學歸納法的步驟

（2）證明：若n=k（kE

（1）證明：n—?i）（n>GN?旦no）時命題

N）時命題成立成立.則n=k1時命

題也成立

奠基假設與遞推

對所有的n（N.九》如）命題成立

［雙基自測］

1—〃“十2

1.用數學歸納法證明：“l+〃+a2+―+〃&i=1——mwi）”，在驗證〃=1時，左

\~a

端的項為（）

A.1B.1+。

C.i+a+a2D.\+a+a2+a3

解析：當〃=1時，左端為1+?+/,故選C.

答案：C

2.用數學歸納法證明12+22H--1~〃2=，（〃+［）（2〃+1）（〃￡^）時從〃=左/￡弗）到〃=

Z+1,左邊應增添的式子為.

解析：當〃=攵時，左邊=12+22-1----FA2,

當n=k+1時左邊=F+22H---FF+（4+1產

???增添的式子為（及+1）2.

答案：（4+1）2

3.數列｛。〃｝中,已知。1=1,當—22（〃eN+）時,an=an-\+2n—l9依次計算。2，。3,

〃4后，猜想。〃的表達式是.

解析：Vtzi=l,???〃2=〃I+2X2—1=4,

03=42+2x3—1=9,44=43+2X4—1=16,

猜想：Cl〃="2.

2

答案：an=n

02懦堂合作探究3--------------------------------------洞悉學習方向，把脈核心問題

授課提示：對應學生用書第37頁

［題型探究］探耍點?究所”

探究一用數學歸納法證明等式

3）（1WK］弓）=嘿.

[例1]證明:當心2,“CN+時,

132+13

［證明］(1)當〃=2時，左邊=1一團=不右邊=方不=不

...當〃=2時，等式成立.

⑵假設〃=碌22,AWN+)時等式成立,即：

(TXTiTYW

當〃=&+i時，(i一貨一目…。一哥—舟司

伙+1)2」

k+1k(k+2)

=W%+1)2

k+2

=2(^+1)

(k+l)+l

=2(A+1).

，當"=A+1時，等式也成立，由⑴⑵知，對任意”，2,"6N+等式成立.

「方法歸納」

I.用數學歸納法證明代數恒等式的關鍵有兩點

一是準確表述"="o時命題的形式，二是準確把握由〃=k到"=k+l時，命題結構的

變化特點.

2.應用數學歸納法時的常見問題

(1)第一步中的臉證，對于有些問題臉證的并不是〃=1,有時需驗證”=2,〃=3.

(2)對〃=%+1時式子的項數以及〃=女與n=k+\的關系的正確分析是應用數學歸納法

成功證明問題的保障.

(3)“假設〃=&時命題成立，利用這一假設證明〃=&+1時命題成立”，這是應用數學

歸納法證明問題的核心環節，對待這一推導過程決不可含糊不清，推導的步驟要完整、嚴謹、

規范.

學以致用le

1.求證：1+77^+11112T----匕」oL[=-^7(〃eN+).

1+21+2+31十2十3十…十〃〃十1

2x1

證明：(1)當〃=1時，左邊=1,右邊=占不=1,

所以左邊=右邊，等式成立.

(2)假設當〃=k(k》l,&eN+)時等式成立，即1+1十{2+-1十L2十.3+…+1十2十3十…4十2

_2k

~lc+\,

則當“=A+I時'I+7^+1+2+3+…+1+2+3H---F++1+2+3+…+++(%+1)

_2k__________1___________2%2_2(%+Ip_2伏+1)

=ITT+]+2+3+…+k+(k+l)=ITT+(k+l)(k+2)=(A+l)(k+2)=也+1)+1

這就是說，當〃=k+l時，等式也成立.

由(1)(2)可知，對任何xCN+等式都成立.

探究二用數學歸納法證明整除性問題

[例2]用數學歸納法證明(3〃+l)7—1能被9整除(〃GN+).

[證明](1)當〃=1時，原式=(3X1+1)X7-1=27,能被9整除，命題成立.

(2)假設當〃=%(kGN+,時，(34+1)7—1能被9整除，則當"=&+1時,

[3也+1)+斗7*+1-1

=[21(k+l)+7]-lk~\

=[(3k+l)+(18k+27)]-7J

=[(3k+D-71]+9(2k+3)7.

：[(3k+l)-7”—1]才。9(2k+3>7人都能被9整除，

，[(3k+1>7k—1]+9(2k+3>7k能被9整除，

即[3伙+1)+1卜7l1-1能被9整除,

即當〃=A+1時命題成立.

由(1)(2)可知，對任何〃GN+,命題都成立，

即(3〃+1)-7'-1能被9整除(“GN+).

「方法歸納」

1.用數學歸納法證明整除問題的關鍵是利用增項、減項、拆項、并項、因式分解等恒

等變形的方法去湊假設、湊結論，從而利用歸納假設使問題獲證.

2.與〃有關的整除問題一般都用數學歸納法證明，其中關鍵問題是從〃=&+1時的表

達式中分解出”=左時的表達式與一個含除式的因式或幾個含除式的因式.

學以致用le

2.求證：二項式/"一廣I(〃eN+)能被x+y整除.

證明：(1)當n=l時，JC2—/=(x+y)(x—y),

,能被x+y整除.

⑵假設〃=碌=1,且及GN+)時，一一產能被x+y整除,

當n=k+1時，即

:/"一)"與『一y2都能被x+y整除，

.'.+/V-)2)能被x+y整除，

即〃=左+1時，/+2一浮+2能被x+y整除.

由(1)(2)可知，對任意的正整數〃命題均成立.

探究三用數學歸納法證明幾何問題

［例3］平面內有"個圓，任意兩個圓都相交于兩點，任意三個圓不相交于同一點，求

證：這n個圓將平面分成共〃)=〃2—〃+2個部分(〃GN+).

［證明］(1)當〃=1時，一個圓將平面分成兩個部分，且＜1)=1—1+2=2,所以〃=1

時命題成立.

(2)假設"=MkGN+,AN1)時命題成立，即％個圓把平面分成式燈=3一女+2個部分.

則〃=4+1時，在Z+1個圓中任取一個圓0,剩下的％個圓將平面分成人k)個部分，而

圓。與&個圓有2A個交點，這2A個交點將圓。分成2A段弧，每段弧將原平面一分為二，

故得以%+1)=/(%)+2%=9-k+2+2k=(k+l)2—(k+l)+2.

所以當”=左+1時，命題成立.

由(1)(2)可知，對一切"GN+,命題成立，即這幾個圓將平面分成八〃)=”2—〃+2個部

分(“GN+).

「方法歸納」

用數學歸納法證明幾何問題時，一定要清楚從"=%到”=k+l時，新增加的量是多少.一

般地，證明第二步時，常用的方法是加1法，即在原來k的基礎上，再增加一個，當然我們

也可以從k+1個中分出1個來，剩下的4個利用假設.

學以致用le

3.證明凸〃邊形的對角線條數：/(〃)=%(〃一3)(心4).

證明：(1)當〃=4時，負4)=；義4義(4-3)=2.四邊形有兩條對角線，命題成立.

(2)假設當〃=&(心4)時，命題成立，即凸A邊形的對角線的條數加)='("-3)妗4).當

"=k+l時，凸k+1邊形是在左邊形的基礎上增加了一邊，增加了一個頂點A*+i,增加的

對角線條數是頂點4+i與不相鄰頂點連線再加上原k邊形的一邊44,增加的對角線條數

為［(k+1)—3+1］=左一1,

,穴4+1)=3%(%一3)+%—1

=2(您一4一2)==(A:+1)(A—2)

=1(^+l)［(k+l)-3］.

故〃=4+1時，命題也成立.

由(1)(2)可知，對任何〃￡N+,〃24,命題成立.

［易錯警示］防錯誤?謀策略

運用數學歸納法證題的常見錯誤

［典例］設----卜3〃L］(〃eN+)，則式〃+1)—A”)等于()

A，B

A,3〃+20,3”+3〃+1

11111

C?3〃+l+3〃+2D，石+3〃+1+3〃+2

［解析］因為1------h而匕，所以#"+l)=l+T+g_|------^^匕+++

3〃+13n+2'

所以負〃+1)—/(")=界看+世

［答案］D

［規律探究］(1)認清待證命題的結構特征、分清項數與〃之間的關系是用數學歸納法的

基本條件，常見錯誤有：①沒有認清〃o是什么；②不會確定〃=〃。時的具體情形；③誤認為

1〃)中就一定有〃項；④誤認為4〃+1)的最后一項就是由式〃)變到式〃+1)時增加的項.

(2)證明〃=A+1時命題成立的過程中必須用上歸納假設，即把〃=及時的命題作為必備

的已知條件，只有用上這個條件并推出"+1時的命題成立才正確；如果推證〃=4+1時命

題成立的過程中沒用上歸納假設，即使符合數學歸納法證題格式也不是數學歸納法.

03課后鞏固提升⑤------------------------------------------------------檢測學習效果，體驗成功快樂

［隨堂訓練］對應學生用書第39頁

1.在應用數學歸納法證明凸〃邊形的對角線為%(〃-3)條時，第一步檢驗第一個值wo

等于()

A.0B.1

C.2D.3

解析：因為凸〃邊形邊數最小時為三角開九所以〃23.

?*.〃o=3.

答案：D

2.用數學歸納法證明時，設式%)=1X4+2X7+…+k(3k+l)=如:+1)2,則分+1)=

解析:式&+l)=lX4+2X7+…+k(3A+l)+(k+l>(3Z+4)=(A+l)(A+2)2.

答案:也+1)(無+2)2

3.用數學歸納法證明34"+2+52"+i(〃WN+)能被14整除時,當〃=4+1時,對于3k1)

+2+52儼1)+1應變形為.

解析：當〃=上時，34n+2+52n+l=34A+2+5*12*+l

...當〃=%+1時，34n+2+52n+1=34(*+0+2+52(t+1)+1

=34(34*+2+52i+1)-34-52t+l+52-52i+l

=81(34*+2+52*+1)-56-52A+,.

至此即可以用上歸納假設推出81(3軟+2+52W1)是14的倍數，又可以把56SWI看成14

的452rl倍的倍數.

答案：81-(34i+2+52/:+l)-56-52*+l

二用數學歸納法證明不等式舉例

考綱定位重難突破

1.會用數學歸納法證明簡單的不等式.重點：1.會用數學歸納法證明簡單的不等式.

2.會用數學歸納法證明貝努利不等式.2.會用數學歸納法證明貝努利不等式.

3.了解貝努利不等式的應用條件.難點：貝努利不等式的應用.

01謠前自主梳理您掌握基本知識，注重基礎訓練

授課提示：對應學生用書第40頁

［自主梳理］

一、本節的有關結論

1.〃2<2"(〃GN+,心5).

2.|sin〈用sinO|(〃WN+).

3.貝努利不等式

如果x是實數，且X>-1,x￥0,"為大于1的自然數，那么有(l+x)”>l+nx.

當a是實數，并且滿足a>l或者a<0時，有(1+x)“N1+?(x>—1).

當a是實數，并且0<a<l時，有(l+x)MWl+ar(x>—l).

4.如果"(”為正整數)個正數a”42，…，4"的乘積G“2…4"=1，那么它們的和〃1+42

H------

二、用數學歸納法證明不等式

在用數學歸納法證明不等式時,我們常會用到證明不等式的其他比較重要的一個方法是

比較法.

[雙基自測]

1.用數學歸納法證明：W1+1+!H---",I]<"(〃eN+,〃>1)"時，由"=%(?>1)不等

式成立，推證〃=%+1時，左邊應增加的項數是()

A.2*-'B.2*-1

C.2kD.2*+1

解析：〃=&時，左邊為l+T+g^-----卜2上]:〃=人+1時，左邊為1+/+；^-------卜j

+*+…+聲七+號=7,故增加了2匹|一1-2"+1=2”項，選C?

答案：C

2.對于正整數〃，下列說法不正確的是()

A.3221+2〃B.0.9"，1一0.1〃

C.0.9,,<1-0.1?D.0.1n^l-0.9n

解析：由貝努利不等式

?.?(l+x)"21+”x,(〃GN+,x2-l),

.?.當x=2時，(1+2)"》1+2",

故A正確.

當刀=一0.1時，(l-0.1)rt>l-0.ln,B正確，C不正確.

答案：C

3.用數學歸納法證明不等式"二<l+g+gH--F*<〃+1(〃WN+,〃>1),當"=2時，

要證明的式子是.

2+211]

解析：當〃=2時，六一<1+]+]+干：2+1.

答案:2<1+1+|+!<3

4.用數學歸納法證明3"》/(〃》3,?GN),第一步應驗證______時，3"》/成立.

解析：第一步應臉證〃=3時，成立.

答案：〃=3

02懦堂合作探究硬------------------------------------------洞悉學習方向，把脈核心問題

授課提示：對應學生用書第40頁

［題型探究］探要點?究所然

探究一貝努利不等式

［例1］求證：(1+1)。+￡)(1+￡)…(1+^7)*2"+1.

［證明］由貝努利不等式(l+x)”>l+，H"GN+,X>-1且x#0),得(1+壯7)>1+

2X2k~\'其中"=2"*=2『產N+)，即±左一廣雄廣,

則1+1>A1+豪情,1+?情,…，1+十>"\/1^("。+),

將上述各式兩邊分別相乘得：

(1+1)(1+()(1+5…(1+嵩)>V§Xyjl%Ayjx-X

二(1+1)(1+；)(1+g)…(1+U1)*2〃+1("WN+).

「方法歸納」

在數學研究中，經常用貝努利不等式把二項式的乘方(1+x)"縮小為簡單的1+nx的形

式，這在數值估計和放縮法證明不等式中有重要應用.例如：當x是實數，且Q-l,xWO

時，有貝努利不等式不難得到不等式(1一日)">1一母:對一切不小于2的正整數〃成立.

學以致用le

1.證明：(1+1)(1+?(1+%(1+5日>羽幣(可考慮用貝努利不等式〃=3的特

例).

證明：利用貝努利不等式(l+x)〃>l+〃M〃￡N+,〃22,x>-l,x/0)的一個特例

得】+號3攵+1

1+2+33左一2此,處〃=3,x=亞刁“分別取

1,2,…，〃時，所得〃個不等式左右兩邊相乘，得:

47

--3〃+1

14

3〃—2,

得證.

4A7,

探究二用數學歸納法證明不等式

［例2］用數學歸納法證明：++*+…+*<2（〃CN+）.

［證明］不妨把命題----1--3<2,強化為----F-3^2—

證明：（1）當〃=1時，不等式顯然成立.

（2）假設當〃=%伙21）時不等式成立，

即=+*+…+*2—￡

則當“3+1時,…+*+/鏟2—"+尋"

1I1___1

*有一1十（％+］）2+申=一碌+1產

所以一（+舟17<一式7

所以2一十+/了<2—

則當〃=k+1時，不等式也成立.

由（1）、（2）可知，所有正整數不等式都成立.

又2—32,所以----FA<2（"GN+）成立.

「方法歸納」

利用數學歸納法證明數列型不等式的關鍵是由“=k到”=%+1的變形.為滿足題目的

要求，常常要采用“湊”的手段，一是湊出假設的形式，便于用假設；二是湊出結論的形式,

再證明.

學以致用|肝

1110

2.求證：當且“GN時，'.:+'.'H----

?+1n+2in10

1111199

證明：（1）當〃=2時，不等式的左邊=Q+w+彳+/=而>而，

所以，不等式成立.

119

（2）假設當時，不等式成立，即后711---

當n=k+\時，

左邊=--—+—-—H---k—+―--+―—+——-——

?k+2k+3十34十3Z+13左+2十3(攵+1)

=(^TT+H^+r^+，，，+^)+3^+l+3^+2+3(^+l)-I+T>To+3^+l+3Jl+2+

11

3(k+V)~k+i'

,1111

出于3攵+1>3伏+1)，3攵+2>3/+1)，

口此左邊>10+3^+1+32+2+3伏+1)-%+1

91111_9

>10十3伙+1)十3(hH)十3(hH)―&+1—10-

所以，當”=k+l時，不等式也成立.

由(1),(2)知，不等式對大于1的正整數都成立.

探究三歸納、猜想、證明

［例3］設/〃)X)(〃GN+),對任意自然數小和“2總有火〃|+"2)=式〃1次〃2)，又42)=4.

(1)求丸1),式3)的值;

(2)猜想共〃)的表達式，并證明你的猜想.

［解析］(1)由于對任意自然數"1和〃2,

總有人小+〃2)=/5|)7(〃2).

取用=〃2=1,得犬2)=/(1)次1),即/(1)=4.

?.加>0("—+),

；W)=2.

取〃i=l,“2=2,得-3)=23.

(2)由<1)=21,/(2)=4=22,式3)=23,

猜想人〃)=2".

證明：①當〃=1時11)=2成立；

②假設〃=%時，加t)=24成立.

.&+1)=般川)=2{2=2口

這就是說當〃=A+1時，猜想也成立.

由①②知猜想正確，即犬〃)=2".

「方法歸納」

利用數學歸納法解決探索型不等式的思路

觀察——歸納——猜想——證明.即先通過觀察部分項的特點.進行歸納，判斷并猜想

出一般結論，然后用數學歸納法進行證明.

學以致用le

3.在數列｛斯｝,｛兒｝中，ai=2,"=4,且a,?bn,an+i成等差數列，b,?an+\,b,,+\

成等比數列(〃eN+).

(1)求。2，a3,04及厲,b3,b4,由此猜測｛斯｝,｛d｝的通項公式，并證明你的結論;

(2)證明：!,+-H----1-1，<-j5.

a\-rb\+歷an-rbn12

解析：(1)由條件得24=斯+斯+i,—+|=8瓦+1,

由此可得42=6,岳=9,6/3=12,/?3=16,4/4=20,d=25.

2

猜測an=n(n+1),bn=(n+1).

用數學歸納法證明：

①當n=\時，由上可得結論成立.

②假設當〃=左時，結論成立，

即以=4攵+1),加=(左+1)2,那么當〃=攵+1時，

以'+1=2勿一以=2(k+1)2—3t+1)=(攵+1)(&+2),

bk+、=^'=(k+2)\

Uk

所以當n=k+\時，結論也成立.

由①②，可知斯=〃(〃+1),歷?=(九+1)2對一切正整數都成立.

(2)證明：=7<-j5.

a\~vb\o12

時，由⑴知〃〃+/?”=(〃+1)(2〃+1)>2(〃+1)機

故舟;+★+…+房春3壺+壺+…+信司

=+-5

62V2^+7Hn-

綜上，原不等式成立.

［規范解答］練現他?得滿分

用數學歸納法證明探索性問題

［典例］(本題滿分12分)若不等式看+圭+擊+…十一吟對一切正整數〃都

成立，求正整數4的最大值，并證明你的結論.

【解析】取"=1時，|,|-］+i+2+3X1+1=24,令正〉丞，而“GN+,所以a的最大

值為25............................................................................

3分

用數學歸納法證明：工+義+工+…+<^7焉.

n+1n+2n+33n+124

①當n=l時，已證結論正確..........................................5分

②假設當n=k(k2l且MN+)時，

1,1,1,,125<八

k+\+k+2+k+3~^h3^+l>24)...................................677

則當n=k+\時'有仇+i)+i+伏+］)+2+…+3A+l+3A+2+3A+3+3(A+l)+l

3k+2+3k+4~3(k+\)_

分

因為7+2+3Z+4=9F：i8k；8>3(A+l)'所以3&+2+3A+4-3(A+1)>°'所以

伙+1)+1+也+1)+2+…+3伙+1)+1>24'即"="+1時'結論也成

立.....................10分

由①②可知，對一切〃eN+,^--T7+-j77+-3~7H----卜蜷,故

n+1n+2n+33丁〃十二124a的最大值

為25........................................................................12分

［規律探究］(1)探索性問題的關鍵是通過具體情形進行分析歸納，總結出符合題