上海市長寧、嘉定區(qū)2024屆高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程是（）．A． B． C． D．2．設(shè)，，則的值為（）A． B．C． D．3．已知集合,則（）A． B． C． D．4．已知函，，則的最小值為（）A． B．1 C．0 D．5．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A． B． C． D．6．已知拋物線C：，過焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為（）A．1 B．C．2 D．37．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的值為（）A．0 B．1 C． D．8．已知，，由程序框圖輸出的為（）A．1 B．0 C． D．9．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10．已知是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是（）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則11．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度12．是拋物線上一點(diǎn)，是圓關(guān)于直線的對稱圓上的一點(diǎn)，則最小值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在直角三角形中，為直角，，點(diǎn)在線段上，且，若，則的正切值為_____.14．平面區(qū)域的外接圓的方程是____________.15．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到一個(gè)偶函數(shù)圖象，則________．16．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是直線：上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)．已知以為直徑的圓被直線所截得的弦長為，則點(diǎn)的坐標(biāo)__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）若對任意存在和使成立，求實(shí)數(shù)的最小值.18．（12分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線，．（1）求曲線、的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀；（2）若曲線、交于、兩點(diǎn)，求兩交點(diǎn)間的距離．19．（12分）已知函數(shù).（1）若，且，求證：；（2）若時(shí)，恒有，求的最大值.20．（12分）某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地，擬將它分割成面積相等的三個(gè)區(qū)域，用來種植三種花卉.方案是：先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分（點(diǎn)D，E分別在邊，上）；再取的中點(diǎn)M，建造直道（如圖）.設(shè)，，（單位：百米）.（1）分別求，關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）試確定點(diǎn)D的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值.21．（12分）己知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）若函數(shù)，求證：函數(shù)存在極小值.22．（10分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，求證：線段的中垂線恒過定點(diǎn).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】過圓外一點(diǎn)，引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程為，故選．2、D【解析】

利用倍角公式求得的值，利用誘導(dǎo)公式求得的值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值，進(jìn)而求得的值，最后利用正切差角公式求得結(jié)果.【詳解】，，，，，，，，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有誘導(dǎo)公式，正切倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，正切差角公式，屬于基礎(chǔ)題目.3、B【解析】

計(jì)算，再計(jì)算交集得到答案【詳解】,表示偶數(shù)，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、B【解析】

，利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知，又，，故當(dāng)，即時(shí)，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值，涉及到二倍角公式的應(yīng)用，是一道中檔題.5、A【解析】

首先求得時(shí)，的取值范圍.然后求得時(shí)，的單調(diào)性和零點(diǎn)，令，根據(jù)“時(shí)，的取值范圍”得到，利用零點(diǎn)存在性定理，求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí)，.”，所以令，得，因?yàn)椋院瘮?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查符合函數(shù)零點(diǎn)，考查零點(diǎn)存在性定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.6、B【解析】

設(shè)直線的方程為代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理可得,,由可知所以可得代入化簡求得參數(shù),即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，（，）.易知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)為，則直線l的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得，所以，.因?yàn)椋裕茫裕矗?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力，屬于中檔題.7、A【解析】

根據(jù)輸入的值大小關(guān)系，代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入，，因?yàn)椋杂沙绦蚩驁D知，輸出的值為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)式大小比較，條件程序框圖的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】試題分析：，，所以，所以由程序框圖輸出的為.故選D．考點(diǎn)：1、程序框圖；2、定積分．9、D【解析】

與中間值1比較，可用換底公式化為同底數(shù)對數(shù)，再比較大小．【詳解】，，又，∴，即，∴．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查冪和對數(shù)的大小比較，解題時(shí)能化為同底的化為同底數(shù)冪比較，或化為同底數(shù)對數(shù)比較，若是不同類型的數(shù)，可借助中間值如0，1等比較．10、B【解析】

根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，若，，，，則或與相交；故A錯(cuò)；B選項(xiàng)，若，，則，又，是兩個(gè)不重合的平面，則，故B正確；C選項(xiàng)，若，，則或或與相交，又，是兩個(gè)不重合的平面，則或與相交；故C錯(cuò)；D選項(xiàng)，若，，則或或與相交，又，是兩個(gè)不重合的平面，則或與相交；故D錯(cuò)；故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查與線面、線線相關(guān)的命題，熟記線線、線面位置關(guān)系，即可求解，屬于常考題型.11、D【解析】

通過變形，通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度可得到函數(shù)的圖象，故答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.12、C【解析】

求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出圓關(guān)于直線的對稱圓的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值，由此可得出，即可得解.【詳解】如下圖所示：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，則，整理得，解得，即點(diǎn)，所以，圓關(guān)于直線的對稱圓的方程為，設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最值的計(jì)算，同時(shí)也考查了兩圓關(guān)于直線對稱性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

在直角三角形中設(shè)，，，利用兩角差的正切公式求解.【詳解】設(shè)，，則，故.故答案為：3【點(diǎn)睛】此題考查在直角三角形中求角的正切值，關(guān)鍵在于合理構(gòu)造角的和差關(guān)系，其本質(zhì)是利用兩角差的正切公式求解.14、【解析】

作出平面區(qū)域，可知平面區(qū)域?yàn)槿切危蟪鋈切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)三角形的外接圓方程為，將三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求出、、的值，即可得出所求圓的方程.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示：由圖可知，平面區(qū)域?yàn)椋?lián)立，解得，則點(diǎn)，同理可得點(diǎn)、，設(shè)的外接圓方程為，由題意可得，解得，，，因此，所求圓的方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角形外接圓方程的求解，同時(shí)也考查了一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域的求作，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算求解能力，屬于中等題.15、【解析】

根據(jù)平移后關(guān)于軸對稱可知關(guān)于對稱，進(jìn)而利用特殊值構(gòu)造方程，從而求得結(jié)果.【詳解】向左平移個(gè)單位長度后得到偶函數(shù)圖象，即關(guān)于軸對稱關(guān)于對稱即：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠通過平移后的對稱軸得到原函數(shù)的對稱軸，進(jìn)而利用特殊值的方式來進(jìn)行求解.16、【解析】

依題意畫圖,設(shè),根據(jù)圓的直徑所對的圓周角為直角,可得,通過勾股定理得,再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出,進(jìn)而得出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解:依題意畫圖,設(shè)以為直徑的圓被直線所截得的弦長為,且,又因?yàn)闉閳A的直徑,則所對的圓周角,則,則為點(diǎn)到直線：的距離.所以,則.又因?yàn)辄c(diǎn)在直線：上,設(shè),則.解得,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,考查了兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)到直線的距離公式,是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）不等式等價(jià)于，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可證恒成立，從而原不等式成立.（2）由題設(shè)條件可得在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性后可得其最小值，結(jié)合前述的集合的包含關(guān)系可得的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，由，所以在上是減函數(shù)，所以，故.因?yàn)椋裕援?dāng)時(shí)，.（2）由（1）當(dāng)時(shí)，；任意，存在和使成立，所以在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，（1）當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不合題意；（2）當(dāng)時(shí)，，由題意知在上不單調(diào)，所以，即，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，解得，因?yàn)椋猿闪ⅲ旅孀C明存在，使得，取，先證明，即證，令，則在時(shí)恒成立，所以成立，因?yàn)椋詴r(shí)命題成立.因?yàn)椋?故實(shí)數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立、等式能成立中的應(yīng)用，前者注意將欲證不等式合理變形，轉(zhuǎn)化為容易證明的新不等式，后者需根據(jù)等式能成立的特點(diǎn)確定出函數(shù)應(yīng)該具有的性質(zhì)，再利用導(dǎo)數(shù)研究該性質(zhì)，本題屬于難題.18、（1）表示一條直線，是圓心為，半徑為的圓；（2）.【解析】

（1）直接利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而可判斷出曲線的形狀，在曲線的方程兩邊同時(shí)乘以得，由可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程，由此可判斷出曲線的形狀；（2）由直線過圓的圓心，可得出為圓的一條直徑，進(jìn)而可得出.【詳解】（1），則曲線的普通方程為，曲線表示一條直線；由，得，則曲線的直角坐標(biāo)方程為，即．所以，曲線是圓心為，半徑為的圓；（2）由（1）知，點(diǎn)在直線上，直線過圓的圓心．因此，是圓的直徑，．【點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線截圓所得弦長的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并設(shè)，則，，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，通過推導(dǎo)出來證得結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，對實(shí)數(shù)分、、，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，再通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，可得出的最大值.【詳解】（1），，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.要證，即證.不妨設(shè)，則，，下證，即證，構(gòu)造函數(shù)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，即，即，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，故結(jié)論成立；（2）由恒成立，得恒成立，令，則.①當(dāng)時(shí)，對任意的，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；令，得，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減...令，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在處取得最大值，即.因此，的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求代數(shù)式的最值，構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于難題.20、（1），.，.（2）當(dāng)百米時(shí)，兩條直道的長度之和取得最小值百米.【解析】

（1）由，可解得.方法一：再在中，利用余弦定理，可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；在和中，利用余弦定理，可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.方法二：在中，可得，則有，化簡整理即得；同理，化簡整理即得.（2）由（1）和基本不等式，計(jì)算即得.【詳解】解：（1），是邊長為3的等邊三角形，又，，.由，得.法1：在中，由余弦定理，得.故直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，.在和中，由余弦定理，得①②因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以.由①②，得，所以，所以.所以，直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，.法2：因?yàn)樵谥校?所以，直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，.在中，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以.所以.所以，直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，.（2）由（1）得，兩條直道的長度之和為（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”）.故當(dāng)百米時(shí)，兩條直道的長度之和取得最小值百米.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理和基本不等式，第一問也可以利用三角形中的向量關(guān)系進(jìn)行求解，屬于中檔題.21、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）求導(dǎo)得，由，且，得到，再利用函數(shù)在上單調(diào)遞減論證.（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)，令，易知；，易知當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，而，又，由零點(diǎn)存在定理得，使得，，使得，有從而得證.【詳解】（1）依題意，，因?yàn)椋遥剩屎瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故.（2）依題意，，令，則；而，可知當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，而，又，故，使得，故，使得，即函數(shù)單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及函數(shù)與方程思