第三章

1不用求出函數F(X)=(AD(A2)(X-3)(X-4)的導數，說明方程f，(x)=0有兒

個實根，并指出它們所在的區間.

解由于F3在［1,2］上連續，在(1,2)內可導，且f⑴=f(2)=0,所以由羅

爾定理可知，存在。w(l,2),使/?)=0.同理存在哉e(2,3),使尸(6=0;存

在家(3,4),使f，(約=0.顯然品費、編都是方程f'(1=0的根.注意到方

程f?x)=0是三次方程，它至多能有三個實根，現已發現它的三個實根，故它們

也就是方程/''(x)=0的全部根.

2設a>b>0,n>\,證明：

〃/尸(a-6)<a"-b"<〃aj(a-。).

證明設/U)=x",則/V)在",a］上連續，在(&a)內可導，由拉格朗日中值

定理，存在生(仇a),使

f{a)-M=f'(。)(a-力，即i(a-6).

因為n『(a-6)<n40-1(a-6)<n，(a-6),

所以〃/尸(a-6)nar,~l(a-Z?).

3證明下列不等式：

⑵當x>l時，e>e-x.

(2)設f(x)=e；則/'(x)在區間［l,x］上連續，在區間(l,x)內可導，由拉格朗日中

值定理，存在白(1,才)，使

/(^)-/(1)=/*(T-1),即e-e=^(矛一1).

因為百>1,所以

e-e=e^(Al)〉e(Al),即e>e-x.

4.證明方程f+x-1=0只有一個正根.

證明設/'(才)=爐+矛-1,則f(x)是［0,+8)內的連續函數.

因為y(0)=-i,*1)=1,r(0)AD<0,所以函數在(o,D內至少有一個零點,

即Ax-i=o至少有一個正根.

假如方程至少有兩個正根，則由羅爾定理，f'(X)存在零點，但f

?x)=5f+lM,矛盾.這說明方程只能有一個正根.

5.設f(x)、g(x)在［a,8］上連續，在(a,6)內可導，證明在(a,力)內有一點￡

使

/(?)于出)=(b-a"W

g⑷g(b)tJg(a)g@,

解設夕(x)=H/%則夕(x)在[a,8]上連續,在36)內可導,由拉格朗

g(a)g(x)"

日中值定理，存在亞(a,b),使

雙力一夕(2)="(9(Z>-a),

即f(a)/例」/3)/3)-』UW/(d.!/(?)八明

g(a)g(b)||g(a)g(a)[|[g(。)]'g(占)|卜3)g‘鬲|」.

因此f(a)f(h),f(a)/'(J

因此g(“)g(b)-(j)g(a)g,(〃

6.證明：若函數.F(x)在(-叫+oo)內滿足關系式f6x)=F(x),且A0)=l則

f(x)=e".

證明令e(x)=1^,則在(-8,+oo)內有

ex

..)=—)—一/a%、=/(x)"—/(x)〃二0

e2xe2x

所以在(-8,+8)內9(X)為常數.

因此°(x)=0(O)=l,從而/'(x)=e*.

7.設函數產/U)在m0的某鄰域內具有n階導數，且/?(())=「(0)=???=f

""(0)=0,試用柯西中值定理證明：

3=5(0<6kl).

xnn\

證明根據柯西中值定理

3=叫@=甯(。介于0與，之間),

xnx-0啕t

r砥)打%-尸⑼r'&)

(。介于0與芻之間),

f"&)/"?2)-/”(0)廣6)

(。介于0與。之

n(n-l)^-2〃(“_1)基-20"-2-1)(/7-2)町7

間)，

依次下去可得

產1?1).嚴尸1)(0)/⑺(幻仁介于0與

〃(〃一1)???2?4_]〃(〃-1)?..2芻_[_〃(〃_1)???2.0n\~

之間)，

所以回呼.

xn幾!

由于,可以表示為多=，X(0<41),所以華=匕"(0<&1).

xnn\

8求limm(l+x)

Dsecx-cosx

1.ln(l+x2)cosxln(l+x2)x2

lim——-----=lim---------——-=limr---------z—

Dsecx-cosxiol-coszxlOl-COS’X

=lim----^7~：—-=lim—=1.

“fo-2cosx(-sinx)文->°sinx

(注：cos^ln(l+/)x)

9應用三階泰勒公式求下列各數的近似值，并估計誤差:

(1)V30；

(2)sinl8°.

解(1)設/(%)=我，則Ax)在m=27點展開成三階泰勒公式為

?_2?5

-_2

y(x)=^=V27+4-273(x-27)+4-.(-f273)(x_27)

3Z!7

-34

+1-(^-273)(X-27)+1.(-^^)(X-27)6介于27與x之間).

J!Z/4!o1

于是胸=啰+427-?3+4?(—.(興.274>33

32).93!2/

劃+/-/+品。3.10724,

其誤差為

45

展(30)嗚.(-*號時七.翳27省-3=^T=1.88X10-.

(2)已知

sinx=x—4x3+（J介于0與*之間），

所以sin18』i端端-女（寺3。0.3090,

其誤差為

,?7T_

展借）日零（巖尸|＜苧（%）4=2.03x10-4

10.利用泰勒公式求下列極限：

(1)lim(Vx3+3x2-Vx4-2x3);

Xf+<?

X2

cosx-e2

⑵lim,,

iox2[x+ln(l-x)]

l+!-2-Jl+%2

(3)lim——2--------------

zo(cosx-e，)sinxz

解⑴lim(牛]3+3X2一一工4_2]3)=iim\-11111

Xf+8x―+001T+0t

X

因為的+3f=l+f+o(f),加一2=l-；f+o(f),所以

------------履--------口+/+。(/)]-口-如。()

lim(Vx3+3x234—2r)=lim------------------2--------

Xf+00Z->+0t㈣耳竽$

[l-^2+^x4+o(x4)]-[l-lx2+1-1x4+o(x4)]

=!嗝T

⑵ash)]x3[l+ln(l-x)^]

1x?。(卻

=lin/次’工=3=。.

XTO11+6-1

l+ln(l-x)v

⑶Hm14Glim1+曠-嗚，獷+。2]

-o(cosx-e巧sinx?A^°[(l-lx2+^x4+o(x4))-(l+x2+^x4+o(x4))]x2

蓊+o(x，3JQ4)3

=lim--——^-r-：-----------=lim4!V=JL=—J_

4-

xf0j411A.9/4x311.oU)_3_12'

-2X24x+x)r2

224x22

11利用函數圖形的凹凸性，證明下列不等式：

(1)+(A>0,Z>0,胖匕/7>1);

rvx+y

⑵/_〉e丁(x?)；

(3)xlnx+ylny〉(x+y)ln*；)(x>0,y>0,胖力.

證明(1)設/U)=/，則fO=A尸,f"(t)=n(n-l)t"-2.因為當i>0時,f

〃⑺〉0,所以曲線/U)=〃在區間(0,+oo)內是凹的.由定義，對任意的A>0,J>0,

“處有

J/(x)+/(y)]>/(竽，

即l(x?+/)>(I|Zr.

⑵設則/'，1)=3,/?〃")=/.因為/>〃⑺>0,所以曲線fU)=e'

在(-8,+oo)內是凹的.由定義，對任意的x,ye(-00,+oo),胖y有

31/(x)+/(y)]>/(歲)，

即T〉e等(“y).

⑶設/U)=blnt,則/1,(t)=lnt+1,/"?)=：.

因為當>0時，fn(i)>0,所以函數F(t)=tInt的圖形在(0,+8)內是凹

的.由定義，對任意的A>0,?0,胖y有

即xlnx+ylny>(x+y)ln.

12設戶/U)在mx°的某鄰域內具有三階連續導數，如果/'〃(即)=0,而尸〃(苞)工0,

試問(題F(x。))是否為拐點？為什么？

解不妨設二''(m)>0.由尸〃(x)的連續性，存在照的某一鄰域(吊-育荀+黝，

在此鄰域內有F'''(x)>0.由拉格朗日中值定理，有

f"(才)一，"(Xo)=f'''(,(X—荀)(J介于Xo與X之間)，

即F〃(*)=，'〃(J)(矛—向).

因為當Xo-&X<Xo時，f"(T)<0；當xtt<x<xn+S時，f"(x)>0,所以(孫f(荀))

是拐點.

13選擇以下題中給出的四個結論中一個正確的結論：

設在［0,1］上/3>0,則尸(0),尸(1),川)與0)或，0)T⑴幾個數的大小順序為

().

(A獷⑴k'(o)/i)do)；⑻r⑴決i)do)>r(o)；

(Q/U),0)k'⑴k'(0);(0T⑴次0)dDk'(0)?

解選擇6.

提示：因為尸(x)>0,所以廣(x)在［0,1］上單調增加，從而廣⑴寸(戲葉(0).

又由拉格朗日中值定理，有人1)/0)寸，?,生［0,1］,所以

廣⑴>川廳(0)才'(0).

14列舉一個函數/(x)滿足：/U)在&/上連續，在他力)內除某一點外處處可導，但

在(a,。)內不存在點使加)力(4)葉?(人a).

解取於)=lxl,xw［-l,1］.

易知於)在［-1,1］上連續,且當x>0時尸(x)=l;當第>0時，/(x)=—l;1(0)不存

在，即“r)在［-1,1］上除x=0外處處可導.

注意網)4H)=0,所以要使川)TiTH'?(l-(-D)成立，即廣(J=0,是不可

能的.

因此在(-1,1)內不存在點〈，使yu)d-i)4'?(i-(T)).

15設段)、g(x)都是可導函數，且I/(x)l<g，(x),證明：當x>a時,Hx)V(a)l<g(x)-g(a).

證明由條件廣(x)l<g<x)得知，|倦卜1,且有g，(x)>0,g(x)是單調增加的，當

x>a時，

g(x)>g(a).

因為/(%)、g(?都是可導函數，所以/(x)、g(x)在［a,x］上連續，在(a,x)內可

導，根據柯西中值定理，至少存在一點兵(a,x),使/⑸四.

gCr)-g⑷g⑹

因此，軍1曰=陪卜,\f(x)-f(a)\<g(x)—g(?).

g(x)-g(a)|g?|

16求數列｛后｝的最大項.

解令/(x)=V7=x*(x>0),貝U

In/(x)=—Inx,

x

?7^7?/(x)=-4-Vlnx=A(l-lnx),

/(x)x2/x2

--2

f'[x)=xx(1-lnx).

令/(x)=0,得唯一駐點x=e.

因為當0<x<e時,/(x)>0;當x〉e時，尸(x)<0,所以唯一駐點x=e為最大值點.

因此所求最大項為max{△病=次.

17設尸(沏)存在，證明]而"而+")+〃丁一")一2『(而),,

/:->0力2

證明+〃)+/(「、一「)-2/(尤0)]imf'ao+〃)-f'(Xo-4)

力-0〃2202h

lf'(Xo+h)-「(Xo-h)

=-rlim-------------------

24->oh

1[f'(x+h)-f(x)]+[f(x)-f'(x-h)]

——iim------o----------0--------0--------0----

2力->oh

/，

1rr/Vo+O-/(xo)f(x)-f'(x-/?)1??、]?

=2^-------h-----------+------0-----h---0----1=尹"。)+，、。)]力(X。)

18.設嚴(沏)存在，且/(劭)才5))=…4")(沏)=0,證明%)=O[(XTO)"](X->XO).

證明因為

/(X)f'(x)

lim--------=hm---------—

w

XfX。(1一與)"XT%)n(x-x0)

../"(x)y(n-l)(x)

=lim---------------二???=lim--------

mon(n-1)(x-xQ)XT/n!(x-x0)

尸⑴一廠(.)斗叫50,

所以/(x)=o[(x-xo)"](x->xo).

19.設危)在(a,b)內二階可導，且f"(尤)X).證明對于(a,。)內任意兩點x\,X2及

0<f<l,有咒(1T坨+應|?(1-M沏)+兆2).

證明設(lT)Xi+fX2=X0.在X=Xo點的一階泰勒公式為

/(x)=/(Xo)+/(Xo)(x-Xo)+與之(x-Xo)2(其中4介于x與Xo之間).

因為/〃(x)2O,所以

/(X)次Xo)4/'(xo)(x-xo).

因此

段應/3))4/'的)(為-向)，於2)次0X)4/'(X0)(X2T0).

于是有

(1-須為)+如2以1-凱/0)4/'。0)3-必)]+￡[/(必)4/'(沖)。2-&)]

=(lT)/(Xo)+f/(Xo)V(X())[(lT)Xl+f必]-/'(沏)[(1-，)即+￡-Vo]

=fi.xo)+f'(.xo)xo-f'(xo)xo

Wo),

即/(Xo)4(lT次11)+代2),

所以咒(1-以]+比2區(1-43)+爪X2)(0W0).

20.試確定常數a和b,使/(x)=x-(a+/?cosx)sinx為當x->0時關于x的5階無窮

小.

解7U)是有任意階導數的，它的5階麥克勞公式為

/'(0)工2?尸〃(。)]3?f(4)(0).?/⑸①)

/?=/(0)+//(0)x+X5+0(九5)

2!3!4!5)

.a+4b3-a-\6b

=(1一Q-Z?)x+--------X+/+。*5).

3!5!

要使於)=x-(a+匕cosx)sinx為當xf0時關于x的5階無窮小，就是要使極限

/(X)\-a-b〃+4Z7-a-\6bo(x5)

lim=lim[+------+-+1

x->0x5.10x43!x25!x5

存在且不為0.為此令

l-a-b=O

a+4b=0

解之得W，一

因為當"?公：時,

f(x)_-a-16b_1

lim工0

x->0~~5!--30

所以當〃=g,b=時,兀1)=%-(〃+6cosx)sinx為當x-?0時關于工的5階無窮小.

第四章

1.

(?dx

.rlnxlnlnx

dx

解=f-------------^lnx=f---------t/lnlnx=lnllnlnxl+C.

xlnxlnlnxJlnxlnlnxJlnlnx

x

JtanJl+x2.dx；

71+x2

2X22

角星JtanVl+x-jrdx=Jtany]\+xdyll+x=

J1+/cosVl+x2

dx.

sinxcosx'

ha3rdxrsec2X,r1…,

解I-----------=I--------dr=I------dtanx=lnltan^l+C.

Jsinxcosx'tanx'tanx

=-lnlcosvl+x2l+C.

dx；

—arcsin—+—79-4X2+C.

234

解蕓T此代言必?)=如2-9皿9+/)l+c.

arctanVx,

~i=-------dx；

y/X（l+X）

小2p^￡^=2[arctan以

解arctanVx=（arctanVx）2+C

JV7（i+x）」（1+R）」

Intanx

------------dfx；

cosxsinx

ATJrIntanx,Intanx,Intanx,

用隼-----------dx-f----------sec2xax=f---------atanx

Jcosxsin犬JtanxJtanx

=JintanxdIntanx=—（Intanx）2+C

dx

x+yll-x2

?dx令x=sinz.1,1cosr+sin/+cos/-sinr,

----I---------costdt=-f--------------------dt

2JJ

x_1_J|_x------------sin/+cos/2sin/+cosz

—[dt-v—f----!----rf(sinr+cos/)=—z+—Inlsinr+cosrl+C

2J2Jsinr+cosr22

=—arcsinx+—Inlvl-Jt2+xl+C.

22

2.

cosxdx；

解因為

cosxdx=\e~xdsinx=e-Asinx-jsinxt/e-vsinx+sinxdx

=efsinx-Je-'dcosx=e~xsinx-^-rcosx+Jcosxde~x

=e~xsinx-e~xcosx-卜一"cosxdx,

所以cosxJx=-^-(e-Asinx-e-xcosx)+C=^-e-J(sinx-cosx)+C.

p-2vsin^Jx；

解因為

\e~2xsin—Jx=2f^-2vJcos—=2e-2Acos--2[cos—J^-2v

J2J22J2

=2e-2rcos—+4\e~2xcos—dx=2e~2xcos—+8f^~2vJsin—

2J22J2

=2e~2xcos—+8(?-2rsin--8[sin—Je-2x

22J2

=2e-2rcos—+8^-2rsin—+16fe~2xsin-Jx,

22J2

所以fe~2tsin—dx=--—e~2x(cos—+4sin—)+C.

J21722

jxtan2xdx

解jxtan2xdx=jx(sec2x-1)dx=jxsec2xdx-JxJx=——x2+卜dtanx

=--x2+xtanx-ftanxt/x=--x2+xtanx+lnlcosxl+C.

2」2

jin2xdx；

解jin2xJx=xln2x-p-21nx?—dr=xln2x-2jlnxJx

=xln2x-2xlnx+2Jx--Jx=xln2x-2xlnx+2x+C.

Je^dx；

］四公咨三3“2儲〃=3『應’

解

=3〃，-6,'力=3/，-6僅/，

=3r2e’-6招'+6,力

=3t2e'-6te'+6e'+C

=3e1(行-2盯+2)+C.

「osInxdx；

解因為

jcoslnxt/x=xcoslnx+jx-sinlnx-rfx

=xcoslnx+Jsinlnxdx=xcoslnx+xsinlnx-jx-cosln^?一dx

=xcoslnx+xsinlnx-jcoslnxt/x,

所以JcosInxdx=(cosinx+sinInx)+C.

習題4-4

求下列不定積分:

言;

1.

(x+3)(\x+9)-27/

解

x+3

=-1x3,--3x20+9x-271nlx+3l+C.

32

2x+3

2.dx；

X2+3X-10'

r2x+3dx=k：~!-----d(x2+3^-10)=lnlx2+3x-10l+C.

解>+310

JX2+3X-10

-X5+X4-8

3.dx；

x3-x

篦+/82

解dx=j(x+x+l)dr+J，8dx

x3-x

」/+>+工+dx

32

1.1

=—x3+—x~94-x+81nlxl-41nlx4-ll-31nlA'-ll+C.

32

3」

4.F—dx；

x3+l

>3—x+212x-l31

解"可士不不+了三不)dx

x3+l

=lnlx+ll-；J1抬2—+1)+方——Ld

乙X—A+1乙2+爭

lx+11

=ln+V3arctan+C

7X2-X+1V3

xdx

5.

(JV+1)(X+2)(X+3)

rxdx1413

解)dx

(X+1)(X+2)(X4-3)2Jx+2x+lx+3

=-(lnlx+2l-31nk+3l-lnlx+ll)+C.

2

6.J、：+ldx；

Ja+i）2（x-i）

T—dmR-L+LJ___二

解]dx

(x+l)2(x-l)J2x+\2x-1(x+1)2

=-lnlx-ll+-lnlx-ll+—+C

22x+1

11

=-lnk92-ll+—+C.

2x+1

7.dx；

V2

解J(1—―6LI=j(-■一9)6tr=lnlxl-^ln(l+x)+C.

0rdx

(x2+l)(x2+x)

rdx_rl1X+111

解J2=

(?+i)u+x)與WTTTIK"

=lnlxl—^-Inlx+ll—j-A—J-JX

111

=lnlA"l—lnlx+11—ln(x74-1)—arctanx+C.

242

dx.

9.

(廠+1)(/2+X+1)

dxx+1x

解)dr

+l)(x2+x+l)」x2+x+\x2+]

2x4-11

=lf2x+l+lf__L_dx--ln(x2+l)

23X2+X+\2Jx2+x+l

=—lnlx~+x+ll—ln(x~+1)H—f-z-----dx

222JX2+X+1

10.J-

r1

解-dx

x4+l+V^x+l)(x2—^2^c+l)

61V21

—Xd—----XH—

_f42，

J2dx+C,4-2dx

X+V2X+1JX2-V2X+1

_V2；(2x+及)+五〈（2x-夜）

V2x+1

V2rJ(X2+V2x+l)口(12一亞X+l)Jrdxrdx

8」x2+41x+\」X2-V2X+1+4\2+V2X+1+'X2-V2X+1

=^-lnlA+3.X+'l+^-arctan(V2.r+l)+^-arctan(-y2x-l)+C.

8x2-y/2x+\44

解三產店強產房才

=2J,：二產V%，產-—-----dx

x+x+\

3

[——!—-----dx,

2x2+x+l2J(x2+x+l)}x2+x+l

因為

而

由遞推公式

rdxxdx

+(2n-3)J-],

(x2+a2)"~2a2(n-\)(x2+a2)"-1(x2+a2)"-'

得J_5-------彳dx=f----------------7=dx

…°?+產+爭]2

]_

I,A+21fdx、12x+\222x+l

:-------------------1-----------------------[-I--------------------)=一-----------1------arctan--=-,

^32x~+x+lx~+x+l3x+x+l3yf3v3

2啜)

—x~-21112x+l22x+l22x+l

所以----------彳dx-------------------------------------zzrarctun—尸-----arctan—尸—FC

(廠+x+l)~2x"+x+l2_x~+1x+lv3y/3v3y/3

x+\

尸+X+1

dx

12.

3+sin2x

=二

解~~^~J----~dx=J-——5——dtanx

3+sinx4-cosx4tanx+3

1.12tanx-

z/tanx=—尸arctan—=-+C?

253J3

tan2x+

13.[---------dx；

J3+cosx

解—2—

J3+cosx2,2工2X/i?2A

1+cos—cos—(1+sec—)

222

xx

dtan—]tan—

=f-----------^arctan—3+C

2+tan^^陋

2

14.dx；

2+sinx

dx

解=J-

2+sinxXY?2尢/2xX、

2+2sin'cos'sin~(esc—+cot)

22222

,X1

d(cot^)d(zcot-+-)x

=-1-----------------------=22

2xx1-J-2+(f/

COt4-COt+1(cot

222

2cot—+1

22

=--^arctan

々u=tan土

1,2

或----------dx=r-j-j

2+sinx2+2",1+"-

1+w*2

-----------------=-du

(?4)2+(T)2

2tan—+1

22〃+l「22

=-^=7arctan-^=-+C=-y=rarctan+c.

6

dx

15.

l+sinx+cosx

J(tanV)

dxdx

解=-f-=f----------=lnltan—l+C.

1+sinx+cosx2工.冗2

cos2卻+ta嗎)1+tan—

2

☆〃=tan'

°]

或f—-f-~^du

J1+sinx+cosxJ2〃1-l+〃2

1+

l+w21+M2

總d"=ln"l心inlta吟+U+C.

dx

16.

2sinx-cosx+5

解

令〃=lan土

dx2

3Tdit

2sinJ-COSX+51+M2

5+2N+2

W+3)+

cXI

irii3tan—Fi

13w+l-12「

=—^arctan-T=^+C=—^arctan----=——+C.

7575V5V5

7.1也提出(x-1)*(x+1)

Jy(X+l)2(X-l)4

解令彳咫=“，則》=中，dx一—J,代入得

332

Vx-1M-1(H-1)

?dx3f.33Jx+1

i-=—\du=——u+C=——l------FC.

V(x+l)2(x-l)42J22Vx-1

總習題四

1+cosx,

----------dx；

x+sinx

解J"'。"dx=f---——J(x+sinx)=lnlx+sinxl+C.

Jx+sinxJx+sinx

Inlnx,

-------dx；

x

解jlnlnxJlnx=lnxlnlnx-jinx——-t/x=lnxlnlnx-lnx4-C.

Jtan4xdx;

、?4

n

解[tan4xdx=\'1Jdtanx=ftan2xsin2xt/tanx

Jcos2x

rtanxe2i1、」

=I--------dtanx=J(tan~x—1+--------)dtanx

Jtan2x+1tan-x+l

1313

=-tanx-tanx+arctantanx+c=—tanx-tanx+x+c.

33

S2除以1

解[——7^——=—[(----——)Jx=-Inlxl一一—ln(x6+4)+C.

J6J6

X(X+4)4xX+4424

fa+x,,八、.

?L---dx(a>0),

Va-x

=?arcsinj2*+c.

a

dx

Jx(+x)

解j=2f1=dV7=21n(V7+Jl+(V7)2)+C=21n“7+Jl+x)+C.

Jx(l+X)Jjl+g2

dx

x4>/l+x2

解￡dx令工=tanf-—sec2tdi

xM+d-tan4r-seer

Jsinr

11.,.11.

(z—2------—)dsmr=------r-+--+C

sinrsin"r3sinfsinr

J(l+，)3Vl+X2?

---------1-------FC.

3x3元

Aprsin2x,rsin2x.e.tanx.,

JBT---；—dx=-----6/tanx=(tanx-----------)dtanx

cosXcosxtan2x+l

11,2

=~tan2~x—-ln(t3n-x+l)+C.

Vl+cosx

-dx；

sinx

V2cos—

解vl+cosx■dx=J-----------dx=V2ji(csc—J—=V2Inlcsc--cot—l+C.

sinjvc.XX2222

2sin—cos—

22

X3

/x；

(1+X8)

4

v3x

解&dx4=~-[—+arctanx4]+C.

T小421+xo

提示：已知遞推公式

dxxdx

+(2--3)]].

+a2)n2a2(〃一1)(公+02廣1(x2+a2rl

sinx.

-------dx；

l+sinx

解產。一廣巾(1--dx=「inx-：in2Xdx

J1+sinx1—sin~xcos-x

rsinx1、，「

=1(-------1+-----)Jx=secx-x+tanx4-C.

)cos-xcos2x

x+sinx.

------dx；

1+cos.r

hjirx+sinx.rx+sinx.1rx,1rsinx.

解-----dx=-------dx=-------dx+-------dx

J1+COSX\2克2J2%2J2X

2cos—cos—cos—

222

=xtan--\tan—dx+ftan—Jx=xtan—+C.

2」2」22

cos2x

s,nv

解Jesmx“cosxsinx公_fsmx,co$xdx-\e-tanx-secxdx

cos2x

=^xesmxdsinx-j^s,nYJsecx

=\xdesinx-secx-esinv+Jsecx^sinx

=xesinx-^nxdx-secx-es[nx+fsecxesinx-cosxJx

=xesinx-secx-esinr+C.

dx

(l+ex)2'

解卜七處—jq._L八卜11一!辿

2

J(l+e*)2Jjt_[Jt-\tt

=ln(/-l)-lnr+—FC

t

=x-ln(l+e%)+—!—+C.

\+ex

=arctan(er-e~x)+C

=arctan(2shr)+C.

解[——―z-dx=[——---d(ex+1)=-\xd--

———+lneA-ln(eA+l)+C

ex+]

至二Tn(/+1)+C.

ex+\

jln2(x+Vl