專題6.2實數與估算【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1實數的分類】 1【題型2實數的性質】 2【題型3實數與數軸的關系】 3【題型4利用數軸化簡】 4【題型5實數的運算】 5【題型6實數的應用】 6【題型7估算無理數的范圍】 8【題型8已知無理數的范圍求值】 8【題型9估算無理數最接近的值】 9【題型10無理數整數、小數部分問題】 9【知識點1實數的分類】【知識點2無理數的概念】無限不循環小數叫做無理數.常見類型：①特定結構的無限不循環小數，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．②含有π的絕大部分數，如2π．【題型1實數的分類】【例1】（2022秋?連云港月考）把下列各數分別填入相應的集合里．100，﹣0.82，﹣3012，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.1．，37正分數集合：{…}；整數集合：{…}；負有理數集合：{…}；非正整數集合：{…}；無理數集合：{…}；【變式1-1】（2022春?長葛市期中）下列各數：①3.141、②0.33333…、③5?7、④π、⑤±2.25、⑥?23、⑦0.3030030003…（相鄰兩個3之間0的各數逐次增加1），其中是無理數的有【變式1-2】（2022春?古丈縣期末）我們規定：相等的實數看作同一個實數．有下列六種說法：①數軸上有無數多個表示無理數的點；②帶根號的數不一定是無理數；③每個有理數都可以用數軸上唯一的點來表示；④數軸上每一個點都表示唯一一個實數；⑤沒有最大的負實數，但有最小的正實數；⑥沒有最大的正整數，但有最小的正整數．其中說法錯誤的有（注：填寫出所有錯誤說法的編號）【變式1-3】（2022春?贛州期末）把下列各數填在表示它所在的數集的圈內：3π，﹣12，+6，3.8，﹣6，25，8.7，2002，?【題型2實數的性質】【例2】（2022秋?洛寧縣期中）已知a、b互為相反數，c、d互為倒數，m的倒數等于它本身，求cdm2+（a+b）m【變式2-1】（2022秋?射陽縣校級期末）已知實數a、b互為相反數，c、d互為倒數，x的絕對值為49，求代數式（a+b+cd）x+a+b【變式2-2】（2022春?洛陽期中）已知實數a，b，c，d，e，f，且a，b互為倒數，c，d互為相反數，e的絕對值為2，f的算術平方根是8，求12ab+c+d5+【變式2-3】（2022秋?西湖區校級期中）已知a，b為實數，下列說法：①若ab＜0，且a，b互為相反數，則ab=?1；②若a+b＜0，ab＞0，則|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，則b＞a；④若|a|＞|b|，則（a+b）×（a﹣b）是正數；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，則a+b＞6，其中正確的是【題型3實數與數軸的關系】【例3】（2022秋?松滋市期末）如圖，O，A，B，C四點在數軸上，其中O為原點，且AC＝2，OA＝2OB，若C點所表示的數為m，則B點所表示的數正確的是（）A．﹣2（m+2） B．m?22 C．m+22 【變式3-1】（2022春?右玉縣期末）如圖，數軸上表示1，3的對應點分別為A，B，以點A為圓心，AB長為半徑畫圓，與數軸的交點為C，則點C所表示的數為．【變式3-2】（2022?錫山區期中）如圖所示的數軸上，點C與點B關于點A對稱，A、B兩點對應的實數分別是1和5，則點C對應的實數是（）A．1?5 B．5?2 C．?5【變式3-3】（2022秋?宣化區期中）如圖，一只螞蟻從點A沿數軸向右爬了2個單位長度到達點B，點A表示?2，設點B所表示的數為m（1）實數m的值是；（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；（3）在數軸上還有C、D兩點分別表示實數c和d，且有|2c+d|與d2?16互為相反數，求2c﹣3【題型4利用數軸化簡】【例4】（2022春?荔灣區校級期中）如圖，化簡a2?|a+b|+(c?a)2【變式4-1】（2022秋?鎮江期末）如圖，a、b、c分別是數軸上A、B、C所對應的實數，試化簡：b2?|a﹣c|【變式4-2】（2022春?蕪湖期末）實數a、b在數軸上的位置如圖，則化簡a2A．0 B．﹣2a C．2（b﹣a） D．﹣2b【變式4-3】（2022秋?攀枝花校級期中）已知實數x、y、z在數軸上的對應點如圖所示，化簡：(x?y)2?（|y?z|）【題型5實數的運算】【例5】（2022春?呼和浩特期中）計算（1）(?5)2?|3(?3)3（2）327?|2?【變式5-1】（2022春?環江縣期末）計算：2?【變式5-2】（2022秋?盤龍區校級期中）?100+16【變式5-3】（2022?太平區期末）下計算下列各題：（1）16+（2）|7?2（3）(?6)【題型6實數的應用】【例6】（2022春?南匯區期中）如圖，矩形內小正方形的一條邊在大正方形的一條邊上，兩個正方形的面積分別為3和5，那么陰影部分的面積是多少？【變式6-1】（2022春?汝南縣月考）如圖，有一個長方體的水池長、寬、高之比為2：2：4，其體積為16000cm3．（1）求長方體的水池長、寬、高為多少？（2）當有一個半徑為r的球放入注滿水的水池中，溢出水池外的水的體積為水池體積的160，求該小球的半徑為多少（π取3，結果精確到0.01cm【變式6-2】（2022秋?高港區期中）數軸是一個非常重要的數學工具，它使數和數軸上的點建立起對應關系，揭示了數與點之間的內在聯系，它是“數形結合”的基礎．小白在草稿紙上畫了一條數軸進行操作探究：操作一：（1）折疊紙面，若使表示的點1與﹣1表示的點重合，則﹣2表示的點與2表示的點重合；操作二：（2）折疊紙面，若使1表示的點與﹣3表示的點重合，回答以下問題：①3表示的點與數表示的點重合；②若數軸上A、B兩點之間距離為8（A在B的左側），且A、B兩點經折疊后重合，則A、B兩點表示的數分別是；操作三：（3）在數軸上剪下9個單位長度（從﹣1到8）的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）．若這三條線段的長度之比為1：1：2，則折痕處對應的點所表示的數可能是．【變式6-3】（2022春?海淀區校級期中）如圖，面積為a（a＞1）的正方形ABCD的邊AB在數軸上，點B表示的數為1．將正方形ABCD沿著數軸水平移動，移動后的正方形記為A'B'CD'，點A、B、C、D的對應點分別為A'、B'、C、D'，移動后的正方形A'B'C'D'與原正方形ABCD重疊部分圖形的面積記為S．當S=a時，數軸上點B'表示的數是（用含a【知識點3估算法】（1）若，則；（2）若，則；根據這兩個重要的關系，我們通常可以找距離a最近的兩個平方數和立方數，來估算和的大小．例如：，則；，則．常見實數的估算值：，，．【題型7估算無理數的范圍】【例7】（2022春?朝陽區校級月考）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n為整數，且n＜2048＜n+1，則A．43 B．44 C．45 D．46【變式7-1】（2022春?濱海新區期末）估計23大小在（）A．2與3之間 B．3與4之間 C．4與5之間 D．5與6之間【變式7-2】（2022春?鞏義市期末）估計15?A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【變式7-3】（2022?東莞市一模）已知a=13A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜5【題型8已知無理數的范圍求值】【例8】（2022秋?乳山市校級月考）滿足?5＜x＜14的整數x【變式8-1】（2022秋?永春縣期末）如果整數a滿足7＜a＜11，則A．1 B．2 C．3 D．4【變式8-2】（2022春?自貢期末）若a、b為正整數．且a＞10，b＜6，則a+b的最小值為【變式8-3】（2022春?昆明期中）若a＜40＜b，且a，b是兩個連續的整數，則a+b的值為【題型9估算無理數最接近的值】【例9】（2022?玄武區二模）下列整數中，與10?30A．3 B．4 C．5 D．6【變式9-1】（2022春?鳳凰縣期末）與50的算術平方根最接近的整數是（）A．6 B．7 C．8 D．9【變式9-2】（2022春?思明區校級期中）若m＝4n（m、n是正整數），且8＜m＜9，則與實數A．3 B．4 C．5 D．6【變式9-3】（2022春?潮安區期末）若m＝5n（m、n是正整數），且10＜m＜12，則與實數n的最大值最接近的數是（）A．4 B．5 C．6 D．7【題型10無理數整數、小數部分問題】【例10】（2022秋?章丘市校級期末）設x是35的整數部分，y是35的小數部分，化簡|x﹣y﹣3|．【變式10-1】（2022?饒平縣校級模擬）若13的整數部分為a，小數部分為b，求a2+b?13【變式10-2】（2022春?孟村縣期末）已知5+7的小數部分為a，5?7的小數部分為b，求a+【變式10-3】（2022春?西城區校級期中）任何實數a，可用[a]表示不超過a的最大整數，如[4]＝4，[3]＝1，現對72進行如下操作：72→第一次[72]＝8→第二次[8]＝2→第三次（1）對10進行1次操作后變為3，對200進行3次操作后變為；（2）對實數m恰進行2次操作后變成1，則m的取值范圍是．（3）恰需要進行3次操作后變為1的所有正整數中，最大的是．

專題6.2實數與估算【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1實數的分類】 1【題型2實數的性質】 3【題型3實數與數軸的關系】 6【題型4利用數軸化簡】 8【題型5實數的運算】 10【題型6實數的應用】 11【題型7估算無理數的范圍】 17【題型8已知無理數的范圍求值】 18【題型9估算無理數最接近的值】 19【題型10無理數整數、小數部分問題】 20【知識點1實數的分類】【知識點2無理數的概念】無限不循環小數叫做無理數.常見類型：①特定結構的無限不循環小數，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．②含有π的絕大部分數，如2π．【題型1實數的分類】【例1】（2022秋?連云港月考）把下列各數分別填入相應的集合里．100，﹣0.82，﹣3012，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.1．，37正分數集合：{3.14，37整數集合：{100，﹣2，0，﹣2011…}；負有理數集合：{﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1?非正整數集合：{﹣2，0，﹣2011…}；無理數集合：{?π4【分析】根據分數，有理數，整數以及無理數的概念進行判斷即可．【解答】解：正分數集合：{3.14，37整數集合：{100，﹣2，0，﹣2011，…}負有理數集合：{﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1非正整數集合；{﹣2，0，﹣2011，…}無理數集合：{?π故答案為：3.14，37；100，﹣2，0，﹣2011；﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1?【變式1-1】（2022春?長葛市期中）下列各數：①3.141、②0.33333…、③5?7、④π、⑤±2.25、⑥?2【分析】無理數就是無限不循環小數．理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱．即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數．【解答】解：③5?7、④故答案為：③④⑦．【變式1-2】（2022春?古丈縣期末）我們規定：相等的實數看作同一個實數．有下列六種說法：①數軸上有無數多個表示無理數的點；②帶根號的數不一定是無理數；③每個有理數都可以用數軸上唯一的點來表示；④數軸上每一個點都表示唯一一個實數；⑤沒有最大的負實數，但有最小的正實數；⑥沒有最大的正整數，但有最小的正整數．其中說法錯誤的有⑤（注：填寫出所有錯誤說法的編號）【分析】根據實數的定義，實數與數軸上的點一一對應，可得答案．【解答】解：①數軸上有無數多個表示無理數的點是正確的；②帶根號的數不一定是無理數是正確的，如4=③每個有理數都可以用數軸上唯一的點來表示是正確的；④數軸上每一個點都表示唯一一個實數是正確的；⑤沒有最大的負實數，也沒有最小的正實數，原來的說法錯誤；⑥沒有最大的正整數，有最小的正整數，原來的說法正確．故答案為：⑤．【變式1-3】（2022春?贛州期末）把下列各數填在表示它所在的數集的圈內：3π，﹣12，+6，3.8，﹣6，25，8.7，2002，?【分析】根據有理數、無理數、非正數、非負整數的意義選出即可．【解答】解：．【題型2實數的性質】【例2】（2022秋?洛寧縣期中）已知a、b互為相反數，c、d互為倒數，m的倒數等于它本身，求cdm2+（a+b）m【分析】根據題意得a+b＝0，cd＝1，m＝±1，以整體的形式代入所求的代數式即可．【解答】解：∵a、b互為相反數，∴a+b＝0，∵c、d互為倒數，∴cd＝1，∵m的倒數等于它本身，∴m＝±1，①當a+b＝0；cd＝1；m＝1時，cdm2+（a+b）m∴cdm2+（a+b）m﹣m②當a+b＝0；cd＝1；m＝﹣1時，cdm2+（a+b）m∴cdm2+（a+b）m﹣m綜上所述，cdm2+（a+b）m﹣m【變式2-1】（2022秋?射陽縣校級期末）已知實數a、b互為相反數，c、d互為倒數，x的絕對值為49，求代數式（a+b+cd）x+a+b【分析】根據題意可得a+b＝0，cd＝1，x＝±7，然后代入代數式求值即可．【解答】解：49=∵a、b互為相反數，∴a+b＝0，∵c、d互為倒數，∴cd＝1，∵x的絕對值為49．∴x＝±7，當x＝7時，原式＝（0+1）×7+＝7﹣1＝6，當x＝﹣7時，原式＝（0+1）×（﹣7）+＝﹣7﹣1＝﹣8，∴所求代數式的值為6或﹣8．【變式2-2】（2022春?洛陽期中）已知實數a，b，c，d，e，f，且a，b互為倒數，c，d互為相反數，e的絕對值為2，f的算術平方根是8，求12ab+c+d5+【分析】根據相反數，倒數，以及絕對值的意義求出c+d，ab及e的值，代入計算即可．【解答】解：由題意可知：ab＝1，c+d＝0，e＝±2，f＝64，∴e2＝（±2）2＝2，3f∴12ab+c+d5+e2【變式2-3】（2022秋?西湖區校級期中）已知a，b為實數，下列說法：①若ab＜0，且a，b互為相反數，則ab=?1；②若a+b＜0，ab＞0，則|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，則b＞a；④若|a|＞|b|，則（a+b）×（a﹣b）是正數；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，則a+b＞6，其中正確的是【分析】①除0外，互為相反數的商為﹣1，可作判斷；②由兩數之和小于0，兩數之積大于0，得到a與b都為負數，即2a+3b小于0，利用負數的絕對值等于它的相反數化簡得到結果，即可作出判斷；③由a﹣b的絕對值等于它的相反數，得到a﹣b為非正數，得到a與b的大小，即可作出判斷；④由a絕對值大于b絕對值，分情況討論，即可作出判斷；⑤先根據a＜b，得a﹣3＜b﹣3，由ab＜0和有理數乘法法則可得a＜0，b＞0，分情況可作判斷．【解答】解：①若ab＜0，且a，b互為相反數，則ab②若ab＞0，則a與b同號，由a+b＜0，則a＜0，b＜0，則|2a+3b|＝﹣2a﹣3b，本選項正確；③∵|a﹣b|+a﹣b＝0，即|a﹣b|＝﹣（a﹣b），∴a﹣b≤0，即a≤b，本選項錯誤；④若|a|＞|b|，當a＞0，b＞0時，可得a＞b，即a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）?（a﹣b）為正數；當a＞0，b＜0時，a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）?（a﹣b）為正數；當a＜0，b＞0時，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）?（a﹣b）為正數；當a＜0，b＜0時，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）?（a﹣b）為正數，本選項正確；⑤∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，∵ab＜0，∴a＜0，b＞0，當0＜b＜3時，|a﹣3|＜|b﹣3|，∴3﹣a＜3﹣b，不符合題意；所以b≥3，|a﹣3|＜|b﹣3|，∴3﹣a＜b﹣3，則a+b＞6，本選項正確；則其中正確的有4個．故答案為：①②④⑤．【題型3實數與數軸的關系】【例3】（2022秋?松滋市期末）如圖，O，A，B，C四點在數軸上，其中O為原點，且AC＝2，OA＝2OB，若C點所表示的數為m，則B點所表示的數正確的是（）A．﹣2（m+2） B．m?22 C．m+22 【分析】表示出點A所表示的數，進而求出OA，再求出OB，進而確定點B表示的數．【解答】解：由點A、B、C在數軸上的位置，AC＝2，若C點所表示的數為m，∴點A表示的數為m﹣2，∴OA＝|m﹣2|＝2﹣m∵OA＝2OB，∴OB=12OA故選：D．【變式3-1】（2022春?右玉縣期末）如圖，數軸上表示1，3的對應點分別為A，B，以點A為圓心，AB長為半徑畫圓，與數軸的交點為C，則點C所表示的數為2?3【分析】計算出AB的長度，進而求出AC的長，再根據點A所表示的數為1，點C在點A的左側，即可求出點C所表示的數．【解答】解：∵A，B在數軸上表示的數為1和3，∴AB=3又∵AC＝AB，∴點C所表示的數為：1﹣（3?1）＝2?故答案為：2?3【變式3-2】（2022?錫山區期中）如圖所示的數軸上，點C與點B關于點A對稱，A、B兩點對應的實數分別是1和5，則點C對應的實數是（）A．1?5 B．5?2 C．?5【分析】根據數軸上兩點之間距離的計算方法，以及中心對稱的意義，列方程求解即可．【解答】解：∵A、B兩點對應的實數分別是1和5，∴AB=5又∵點C與點B關于點A對稱，∴AC＝AB，設點C所表示的數為c，則AC＝1﹣c，∴1﹣c=5∴c＝2?5故選：D．【變式3-3】（2022秋?宣化區期中）如圖，一只螞蟻從點A沿數軸向右爬了2個單位長度到達點B，點A表示?2，設點B所表示的數為m（1）實數m的值是2?2（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；（3）在數軸上還有C、D兩點分別表示實數c和d，且有|2c+d|與d2?16互為相反數，求2c﹣3【分析】（1）點A表示?2，沿著x軸向右移動2個單位到達點B，B所表示的數為，?2+故答案為：2?2（2）m＝2?2，則m+1＞0，m﹣1＜0，進而化簡|m+1|+|m（3）根據非負數的意義，列方程求出c、d的值，進而求出2c﹣3d的值，再求出2c﹣3d的平方根．【解答】解：（1）m=?2+2＝2（2）∵m＝2?2，則m+1＞0，m∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；答：|m+1|+|m﹣1|的值為2．（3）∵|2c+d|與d2∴|2c+d|+d∴|2c+d|＝0，且d2解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4，①當c＝﹣2，d＝4時，所以2c﹣3d＝﹣16，無平方根．②當c＝2，d＝﹣4時，∴2c﹣3d＝16，∴2c﹣3d的平方根為±4，答：2c﹣3d的平方根為±4．【題型4利用數軸化簡】【例4】（2022春?荔灣區校級期中）如圖，化簡a2?|a+b|+(c?a)2【分析】先根據數軸上點的位置確定出a、b、c的符號，再利用絕對值性質和二次根式的性質a2【解答】解：（1）由數軸得：b＜a＜0＜c，|c|＞|b|＞|a|，∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0．∴原式＝|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+（b+c）＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝﹣a+2b+2c．【變式4-1】（2022秋?鎮江期末）如圖，a、b、c分別是數軸上A、B、C所對應的實數，試化簡：b2?|a﹣c|【分析】根據數軸判斷出a、b、c的正負情況以及大小，再根據算術平方根、立方根的定義，絕對值的性質進行化簡，然后進行整式的加減計算即可得解．【解答】解：∵a＜0，b＜0，c＞0，∴a＜c∴原式＝|b|﹣|a﹣c|+（a+b）＝﹣b+（a﹣c）+（a+b）＝﹣b+a﹣c+a+b＝2a﹣c．【變式4-2】（2022春?蕪湖期末）實數a、b在數軸上的位置如圖，則化簡a2A．0 B．﹣2a C．2（b﹣a） D．﹣2b【分析】先根據數軸確定a，b的范圍，再根據二次根式的性質進行化簡，即可解答．【解答】解：由數軸可得：a＜0＜b，a﹣b＜0，∴原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b+a﹣b＝﹣2b．故選：D．【變式4-3】（2022秋?攀枝花校級期中）已知實數x、y、z在數軸上的對應點如圖所示，化簡：(x?y)2?（|y?z|）【分析】先根據數軸判斷x，y，z的正負，進而判斷x﹣y，y﹣z，x﹣z的正負，再根據二次根式的性質，進行化簡，即可解答．【解答】解：∵由數軸可得：x＜y＜0＜z，∴x﹣y＜0，y﹣z＜0，x﹣z＜0，原式＝|x﹣y|﹣|y﹣z|+x﹣z＝y﹣x﹣z+y+x﹣z＝2y﹣2z．【題型5實數的運算】【例5】（2022春?呼和浩特期中）計算（1）(?5)2?|3(?3)3（2）327?|2?【分析】（1）先根據平方根、立方根性質化簡根式，再去絕對值符號和計算乘法、最后計算加減即可；（2）先計算立方根、去絕對值符號、乘方，再去括號，最后計算加減即可．【解答】解：（1）原式＝5﹣|﹣3+2|+（﹣0.8）×20＝5﹣1﹣16＝﹣12；（2）原式＝3﹣（3?2＝3﹣3+2＝1+2【變式5-1】（2022春?環江縣期末）計算：2?【分析】根據二次根式的性質及立方根的概念先化簡，再合并同類二次根式即可得到答案．【解答】解：原式=＝﹣2．【變式5-2】（2022秋?盤龍區校級期中）?100+16【分析】分別根據立方根、算術平方根的計算法則分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果即可．【解答】解：原式＝﹣10+4﹣2+2＝﹣6﹣2?＝﹣823【變式5-3】（2022?太平區期末）下計算下列各題：（1）16+（2）|7?2（3）(?6)【分析】（1）先計算算術平方根、立方根，再計算有理數的加減即可；（2）先化簡絕對值、計算平方根，再計算實數的加減即可；（3）先計算算術平方根、化簡絕對值、立方根、實數的平方，再計算實數的加減即可．【解答】解：（1）16＝4+（﹣3）?12＝118（2）|7?＝（7?2）﹣（π?＝7?2?π＝﹣π；（3）(?6＝6+（2?＝8+2【題型6實數的應用】【例6】（2022春?南匯區期中）如圖，矩形內小正方形的一條邊在大正方形的一條邊上，兩個正方形的面積分別為3和5，那么陰影部分的面積是多少？【分析】先根據所給正方形的面積，可分別求出正方形的邊長BE、HM，而S陰影＝S矩形ABEF﹣S正方形GHMN，易求陰影的面積．【解答】解：如圖，設大正方形為BCDE，矩形為ABEF，小正方形為GHMN，∵S正方形BCDE＝5，∴BE=5∵S正方形GHMN＝3，∴HM＝AB=3S陰影＝S矩形ABEF﹣S正方形GHMN=3答：陰影部分的面積為15?【變式6-1】（2022春?汝南縣月考）如圖，有一個長方體的水池長、寬、高之比為2：2：4，其體積為16000cm3．（1）求長方體的水池長、寬、高為多少？（2）當有一個半徑為r的球放入注滿水的水池中，溢出水池外的水的體積為水池體積的160，求該小球的半徑為多少（π取3，結果精確到0.01cm【分析】（1）直接利用已知假設出長方體的水池長、寬、高，進而利用長方體體積求出即可；（2）利用球的體積公式，進而開立方求出即可．【解答】解：（1）∵有一個長方體的水池長、寬、高之比為2：2：4，其體積為16000cm3，∴設長方體的水池長、寬、高為2x，2x，4x，∴2x?2x?4x＝16000，∴16x3＝16000，∴x3＝1000，解得：x＝10，∴長方體的水池長、寬、高為：20cm，20cm，40cm；（2）設該小球的半徑為rcm，則：43πr3=∴r3=160×∴r≈4.05，答：該小球的半徑為4.05cm．【變式6-2】（2022秋?高港區期中）數軸是一個非常重要的數學工具，它使數和數軸上的點建立起對應關系，揭示了數與點之間的內在聯系，它是“數形結合”的基礎．小白在草稿紙上畫了一條數軸進行操作探究：操作一：（1）折疊紙面，若使表示的點1與﹣1表示的點重合，則﹣2表示的點與2表示的點重合；操作二：（2）折疊紙面，若使1表示的點與﹣3表示的點重合，回答以下問題：①3表示的點與數﹣2?3②若數軸上A、B兩點之間距離為8（A在B的左側），且A、B兩點經折疊后重合，則A、B兩點表示的數分別是﹣5和3；操作三：（3）在數軸上剪下9個單位長度（從﹣1到8）的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）．若這三條線段的長度之比為1：1：2，則折痕處對應的點所表示的數可能是198或72或37【分析】（1）根據對稱性找到折痕的點為原點O，可以得出﹣2與2重合；（2）根據對稱性找到折痕的點為﹣1，①設3表示的點與數a表示的點重合，根據對稱性列式求出a的值；②因為AB＝8，所以A到折痕的點距離為4，因為折痕對應的點為﹣1，由此得出A、B兩點表示的數；（3）分三種情況進行討論：設折痕處對應的點所表示的數是x，如圖1，當AB：BC：CD＝1：1：2時，所以設AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝9，a=94，得出AB、BC、CD的值，計算也x的值，同理可得出如圖2、3對應的【解答】解：操作一，（1）∵表示的點1與﹣1表示的點重合，∴折痕為原點O，則﹣2表示的點與2表示的點重合，故答案為：2；操作二：（2）∵折疊紙面，若使1表示的點與﹣3表示的點重合，則折痕表示的點為﹣1，①設3表示的點與數a表示的點重合，則3?（﹣1）＝﹣1﹣aa＝﹣2?3②∵數軸上A、B兩點之間距離為8，∴數軸上A、B兩點到折痕﹣1的距離為4，∵A在B的左側，則A、B兩點表示的數分別是﹣5和3；故答案為：①﹣2?3操作三：（3）設折痕處對應的點所表示的數是x，如圖1，當AB：BC：CD＝1：1：2時，設AB＝a，BC＝a，CD＝2a，a+a+2a＝9，a=9∴AB=94，BC=94x＝﹣1+9如圖2，當AB：BC：CD＝1：2：1時，設AB＝a，BC＝2a，CD＝a，a+a+2a＝9，a=9∴AB=94，BC=92x＝﹣1+9如圖3，當AB：BC：CD＝2：1：1時，設AB＝2a，BC＝a，CD＝a，a+a+2a＝9，a=9∴AB=92，BC＝CDx＝﹣1+9綜上所述：則折痕處對應的點所表示的數可能是198或72或故答案為：198或72或【變式6-3】（2022春?海淀區校級期中）如圖，面積為a（a＞1）的正方形ABCD的邊AB在數軸上，點B表示的數為1．將正方形ABCD沿著數軸水平移動，移動后的正方形記為A'B'CD'，點A、B、C、D的對應點分別為A'、B'、C、D'，移動后的正方形A'B'C'D'與原正方形ABCD重疊部分圖形的面積記為S．當S=a時，數軸上點B'表示的數是a或2?a（用含【分析】平移可分兩種情況，左平移，右平移．根據面積求得邊長，繼而求得平移距離．【解答】解：因為正方形面積為a，所以邊長AB=a當向右平移時，如圖1，因為重疊部分的面積為S＝AB'?AD=aAB'×a所以AB'＝1，所以平移距離BB'＝AB﹣AB'=a所以OB'＝OB+BB'=1+a則B'表示的數是a；當向左平移時，如圖2，因為重疊部分的面積為S＝A'B?A'D'=aA'B×a所以A'B＝1，所以平移距離BB'＝A'B'﹣A'B=a所以OB'＝OB﹣B'B＝1﹣（a?1）＝2?則B'表示的數是2?a【知識點3估算法】（1）若，則；（2）若，則；根據這兩個重要的關系，我們通常可以找距離a最近的兩個平方數和立方數，來估算和的大小．例如：，則；，則．常見實數的估算值：，，．【題型7估算無理數的范圍】【例7】（2022春?朝陽區校級月考）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n為整數，且n＜2048＜n+1，則A．43 B．44 C．45 D．46【分析】用夾逼法估算無理數的大小即可得出答案．【解答】解：∵2025＜2048＜2116，∴45＜2048∴n＝45．故選：C．【變式7-1】（2022春?濱海新區期末）估計23大小在（）A．2與3之間 B．3與4之間 C．4與5之間 D．5與6之間【分析】直接利用16＜【解答】解：∵16＜∴4＜23∴23在4～5之間．故選：C．【變式7-2】（2022春?鞏義市期末）估計15?A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【分析】根據平方運算，先估算出15的值，即可解答．【解答】解：∵9＜15＜16，∴3＜15∴2＜15∴估計15?故選：B．【變式7-3】（2022?東莞市一模）已知a=13A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜5【分析】估算確定出13的大小范圍，進而確定出所求即可．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3＜13＜4，即4則4＜a＜5．故選：D．【題型8已知無理數的范圍求值】【例8】（2022秋?乳山市校級月考）滿足?5＜x＜14的整數x【分析】先估算出5和14的大小，然后再確定x的值即可．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜5∴﹣3＜?5∵9＜14＜16，∴3＜14∴整數x的值為﹣2，﹣1，0，1，2，3．故答案為：6．【變式8-1】（2022秋?永春縣期末）如果整數a滿足7＜a＜11，則A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先計算（7）2＝7，（11）2＝11，然后看哪個平方數在7和11之間即可．【解答】解：∵7＜9＜11，∴7＜3＜∴如果整數a滿足7＜a＜11，則故選：C．【變式8-2】（2022春?自貢期末）若a、b為正整數．且a＞10，b＜6，則a+b的最小值為【分析】先估算出a、b的取值范圍，然后再求得a+b的最大值即可．【解答】解：∵9＜10＜16，4＜6＜9，∴3＜10＜4，2又∵a、b為正整數，∴當a＝4，b＝1時，a+b有最小值，∴a+b的最小值為5．故答案為：5．【變式8-3】（2022春?昆明期中）若a＜40＜b，且a，b是兩個連續的整數，則a+b的值為【分析】先估算出40的范圍，求出a、b的值，再代入求出即可．【解答】解：∵6＜40∴a＝6，b＝7，∴a+b＝13，故答案為：13．【題型9估算無理數最接近的值】【例9】（2022?玄武區二模）下列整數中，與10?30A．3 B．4 C．5 D．6【分析】先估算出30的范圍，再估算10?30【解答】解：∵25＜30＜36，30離25更近，∴5＜30∴﹣6＜?30∴4＜10?30故選：C．【變式9-1】（2022春?鳳凰縣期末）與50的算術平方根最接近的整數是（）A．6 B．7