【課時訓練】隨機事件的概率一、選擇題1．(2018福建三明質檢)袋中裝有3個白球，4個黑球，從中任取3個球，則①恰有1個白球和全是白球；②至少有1個白球和全是黑球；③至少有1個白球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個黑球．在上述事件中，是對立事件的為()A．① B．②C．③ D．④【答案】B【解析】至少有1個白球和全是黑球不同時發生，且一定有一個發生．∴②中兩事件是對立事件．2．(2018吉林松原調研)圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率是eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.eq\f(1,7) B.eq\f(12,35)C.eq\f(17,35) D．1【答案】C【解析】設“從中取出2粒都是黑子”為事件A，“從中取出2粒都是白子”為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則C＝A∪B，且事件A與B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35)，即任意取出2粒恰好是同一色的概率為eq\f(17,35).3．(2018襄陽模擬)有一個游戲，其規則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，每人一個方向．事件“甲向南”與事件“乙向南”是()A．互斥但非對立事件 B．對立事件C．相互獨立事件 D．以上都不對【答案】A【解析】由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是對立事件，故選A.4．(2018蚌埠模擬)從一籃子雞蛋中任取1個，如果其重量小于30克的概率為0.3，重量在[30,40]克的概率為0.5，那么重量不小于30克的概率為()A．0.8 B．0.5C．0.7 D．0.3【答案】C【解析】由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率為1－0.3－0.5＝0.2，又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率為0.7.5．(2018遼寧五校第二次聯考)從存放的號碼分別為1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統計結果如下：卡片號碼12345678910取到次數138576131810119則取到號碼為奇數的卡片的頻率是()A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.37【答案】A【解析】取到號碼為奇數的卡片的次數為13＋5＋6＋18＋11＝53，則所求的頻率為eq\f(53,100)＝0.53，故選A.6．(2018浙江紹興一中1月月考)一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標以數字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次，設事件A表示向上的一面出現奇數點，事件B表示向上的一面出現的點數不超過3，事件C表示向上的一面出現的點數不小于4，則()A．A與B是互斥而非對立事件B．A與B是對立事件C．B與C是互斥而非對立事件D．B與C是對立事件【答案】D【解析】根據互斥與對立的定義作答，A∩B＝{出現點數1或3}，事件A，B不互斥更不對立；B∩C＝?，B＋C＝Ω(Ω為必然事件)，故事件B，C是對立事件．二、填空題7．(2018遼寧大連模擬)已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%，現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果．經隨機模擬產生了如下20組隨機數：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為________．【答案】0.25【解析】20組隨機數中表示三次投籃恰好有兩次命中的是191,271,932,812,393，其頻率為eq\f(5,20)＝0.25，以此估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為0.25.8．(2018四川綿陽一診)若隨機事件A，B互斥，A，B發生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實數a的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3)))【解析】由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<PA<1，,0<PB<1，,PA＋PB≤1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<4a－5<1，,3a－3≤1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<a<2，,\f(5,4)<a<\f(3,2)，,a≤\f(4,3)))?eq\f(5,4)<a≤eq\f(4,3).9．(2018貴州貴陽模擬)一個口袋內裝有大小相同的紅球，白球和黑球，從中摸出一個球，摸出紅球或白球的概率為0.58，摸出紅球或黑球的概率為0.62，那么摸出紅球的概率為________．【答案】0.2【解析】記事件A，B，C分別是摸出紅球，白球和黑球，則A，B，C互為互斥事件且P(A＋B)＝0.58，P(A＋C)＝0.62，所以P(C)＝1－P(A＋B)＝0.42，P(B)＝1－P(A＋C)＝0.38，P(A)＝1－P(C)－P(B)＝1－0.38－0.42＝0.2.三、解答題10．(2018洛陽市期末考試)某企業生產的乒乓球被下屆奧運會指定為乒乓球比賽專用球，目前有關部門對某批產品進行了抽樣檢測，檢查結果如下表所示：抽取球數n5010020050010002000優等品數m45921944709541902優等品頻率eq\f(m,n)(1)計算表中乒乓球優等品的頻率；(2)從這批乒乓球產品中任取一個，質量檢查為優等品的概率是多少(結果保留到小數點后三位)?【解】(1)依據公式f＝eq\f(m,n)，計算出表中乒乓球優等品的頻率依次是0.900,0.920，0.970，0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球數n不同，計算得到的頻率值不同，但隨著抽取球數的增多，頻率在常數0.950的附近擺動，所以質量檢查為優等品的概率約為0.950.11．(2018遼寧沈陽模擬)某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統計如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．【解】(1)設A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應的情形是賠付金額為3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24.由頻率估計概率，得P(C)＝0.24.12．(2018河北唐山高三月考)一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．【解】解法一(利用互斥事件求概率)記事件A1＝{任取1球為紅球}，A2＝{任取1球為黑球}，A3＝{任取1球為白球}，A4＝{任取1球為綠球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(A3)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(A4)＝eq\f(1,12).根據題意，知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).解法二(利用對立事件求概率)(1)由解法一，知取出1球為紅球