課時作業(三十三)兩個平面所成的角[練基礎]1．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°2．若平面α的一個法向量為n1＝(4,3,0)，平面β的一個法向量為n2＝(0，－3,4)，則平面α與平面β夾角的余弦值為()A．－eq\f(9,25)B.eq\f(9,25)C.eq\f(7,25)D．以上都不對3．已知平面α內有一個以AB為直徑的圓，PA⊥α，點C在圓周上(異于點A，B)，點D、E分別是點A在PC、PB上的射影，則()A．∠ADE是二面角A-PC-B的平面角B．∠AED是二面角A-PB-C的平面角C．∠DAE是二面角B-PA-C的平面角D．∠ACB是二面角A-PC-B的平面角4．正△ABC與正△BCD所在平面垂直，則二面角A-BD-C的正弦值為()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(\r(6),3)5．如圖所示，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，點F為PC的中點，則二面角C-BF-D的正切值為()A.eq\f(\r(3),6)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2\r(3),3)6．[多選題]若直線a的方向向量為a，平面α，β的法向量分別為n，m，則下列命題為真命題的是()A．若a⊥n，則直線a∥平面αB．若a∥n，則直線a⊥平面αC．若cos〈a，n〉＝eq\f(1,2)，則直線a與平面α所成角的大小為eq\f(π,6)D．若cos〈m，n〉＝eq\f(1,2)，則平面α，β的夾角為eq\f(π,3)7．在空間中，已知平面α過點(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(0,0，a)(a>0)，如果平面α與平面xOy的夾角為45°，則a＝________.8．若P是△ABC所在平面外一點，且△PBC和△ABC都是邊長為2的正三角形，PA＝eq\r(6)，那么二面角P-BC-A的大小為________．9．如圖，已知E，F分別是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1的中點，則截面AEFD1與底面ABCD的夾角的正弦值為________．10．如圖所示，在幾何體S-ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值．[提能力]11．[多選題]正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為CC1、BC、CD、BB1的中點，則下列結論正確的是()A．B1G⊥BCB．平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1C．A1H∥平面AEFD．二面角E-AF-C的大小為eq\f(π,4)12．如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC與BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，AB＝2eq\r(2)，E，F分別是AB，AP的中點．則平面FOE與平面OEA夾角的余弦值為()A．－eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(6),3)13．如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD的夾角為eq\f(π,3)，則平面FBE與平面DBE夾角的余弦值是________．14．如圖，在底面邊長均為2，高為1的長方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為BC、C1D1的中點，則異面直線A1E、CF所成角的大小為____________；平面A1EF與平面A1B1C1D1所成銳二面角的余弦值為____________．15．如圖，在直三棱柱中A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，點D是BC的中點．(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值．[培優生]16．在底面為銳角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱BC的中點，記直線B1D與直線AC所成角為θ1，直線B1D與平面A1B1C1所成角為θ2，二面角C1-A1B1-D的平面角為θ3，則()A．θ2<θ1，θ2<θ3B．θ2>θ1，θ2<θ3C．θ2<θ1，θ2>θ3D．θ2>θ1，θ2>θ3課時作業(三十三)1．解析：∵cos〈m，n〉＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴二面角的大小為45°或135°.故選C.答案：C2．解析：∵cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|)＝－eq\f(9,25)，∴平面α與平面β夾角的余弦值為eq\f(9,25).故選B.答案：B3．解析：由二面角定義及三垂線定理知選B.答案：B4．答案：C5．解析：如圖所示，設AC與BD交于點O，連接OF.以O為坐標原點，OB，OC，OF所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系O-xyz.設PA＝AD＝AC＝1，則BD＝eq\r(3)，所以O(0，0，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，易知eq\o(OC,\s\up6(→))為平面BDF的一個法向量，由eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，－\f(1,2)))，可得平面BCF的一個法向量為n＝(1，eq\r(3)，eq\r(3)).所以cos〈n，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(21),7)，sin〈n，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝eq\f(2\r(7),7)，所以tan〈n，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝eq\f(2\r(3),3).故二面角C-BF-D的正切值為eq\f(2\r(3),3).故選D.答案：D6．解析：若a⊥n，則直線a與平面α平行或在平面α內，所以A是假命題；若a∥n，則a也是平面α的法向量，所以直線a⊥平面α，所以B是真命題；直線與平面的夾角的正弦值等于直線與平面法向量所成的銳角的余弦值，所以C是真命題；兩個平面的夾角與它們的法向量所成的不大于90°的角相等，所以D是真命題，故選BCD.答案：BCD7．解析：平面xOy的一個法向量為n＝(0，0，1)，設平面α的一個法向量為m＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3x＋4y＝0，,－3x＋az＝0，))即3x＝4y＝az，取z＝1，則x＝eq\f(a,3)，y＝eq\f(a,4)，∴m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(a,4)，1)).由題意得|cos〈n，m〉|＝eq\f(1,\r(\f(a2,9)＋\f(a2,16)＋1))＝eq\f(\r(2),2).又因為a>0，所以a＝eq\f(12,5).答案：eq\f(12,5)8．解析：取BC的中點D，連接A