西安重點中學高2024屆高三模擬考試（一）數學（理科）（滿分：150分時間：120分鐘）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．已知集合，則（）A．B．C．D．2．已知，則（）A．B．C．D．3．中，為線段中點，若，則的值為（）A．B．C．D．4．隨著新一代人工智能技術的快速發展和突破，以深度學習計算模式為主的算力需求呈指數級增長．現有一臺計算機每秒能進行次運算，用它處理一段自然語言的翻譯，需要進行次運算，那么處理這段自然語言的翻譯所需時間約為（）（參考數據：）A．秒B．秒C．秒D．秒5．已知，則下列選項中是“”的充分不必要條件的是（）A．B．C．D．6．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）①若，則②若，那么③若，則④若，則A．②④B．①②C．②③D．③④7．已知橢圓的左、右焦點分別為，點為橢圓上一點，若且，則（）A．B．C．2D．8．若的展開式的二項式系數之和為16，則的展開式中的系數為（）A．8B．28C．56D．709．函數的圖象經過點，將該函數的圖象向右平移個單位長度后，所得函數圖象關于原點對稱，則的最小值是（）A．B．C．3D．10．已知，若，則（）A．B．C．D．11．已知雙曲線的離心率為，圓與的一條漸近線相交，且弦長不小于4，則的取值范圍是（）A．B．C．D．12．若函數有兩個不同的極值點，且恒成立，則實數的取值范圍為（）A．B．C．D．二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知數據的平均數為15，則其方差為___________．14．函數是定義在上的函數，且為偶函數，是奇函數，當時，，則___________．15．在中，，點在線段上，且滿足，，則等于___________．16．如圖，正方形與正方形的中心重合，邊長分別為3和1，分別為的中點，把陰影部分剪掉后，將四個三角形分別沿，折起，使重合于點，則四棱錐的高為___________，若直四棱柱內接于該四棱錐，其上底面四個頂點在四棱錐側棱上，下底面四個頂點在面內，則該直四棱柱體積的最大值為___________．三、解答題（本大題共7小題，第17-21題為必考題，第22、23題為選考題）（一）必考題（共60分）17．（12分）已知等差數列的首項為1，公差為2．正項數列的前項和為，且．（1）求數列和數列的通項公式；（2）若求數列的前項和．18．（12分）某班組織投籃比賽，比賽分為兩個項目．比賽規則是：①選手在每個項目中投籃5次，每個項目投中3次及以上為合格；②第一個項目投完5次并且合格后才可以進入下一個項目，否則該選手結束比賽；③選手進入第二個項目后，投籃5次，無論投中與否均結束比賽．已知選手甲在項目比賽中每次投中的概率都是0.5．（1）求選手甲參加項目合格的概率；（2）已知選手甲參加項目合格的概率為0.6．比賽規定每個項目合格得5分，不合格得0分．設累計得分為，為使累計得分的期望最大，選手甲應選擇先進行哪個項目的比賽（每個項目合格的概率與次序無關）？請說明理由．19．（12分）如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面．（1）求證：；（2）若，在棱上是否存在一點，使二面角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．20．（12分）已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的恒成立，求滿足條件的實數的最小整數值．21．（12分）已知拋物線的焦點為上任意一點到的距離與到點的距離之和的最小值為3．（1）求拋物線的標準方程．（2）已知過點且互相垂直的直線與分別交于點與點，線段與的中點分別為．若直線的斜率分別為，求的取值范圍．（二）選考題（共10分．請考生在22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．）22．（10分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數，），把繞坐標原點逆時針旋轉得到，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系．（1）寫出的極坐標方程；（2）若曲線的極坐標方程為，且與交于點與交于點（與點不重合），求面積的最大值．23．（10分）已知，函數，不等式的解集為．（1）求實數的值；（2）若的最小值為，求證：．參考答案一、選擇題：123456789101112ABCBBADCACDB二、填空題：13．14．15．16．三、解答題：17．解：（1）依題意可得，①，當時，②，①-②，，且在①式中令或（舍去），，綜上可得．（2）由（1）可得，．18．解：（1）由題意得選手甲參加A項目合格的概率為．（2）選手甲應選擇先進行項目，理由如下：由題意，若選手甲先參加項目，則的所有可能取值為0，5，10，則，所以累計得分的期望；若選手甲先參加項目，則的所有可能取值為0，5，10，則，所以累計得分的期望，所以為使累計得分的期望最大，選手甲選擇先進行項目比賽．19．（1）證明：在三棱柱中，由平面平面，得，在平面內過作于，由平面平面，平面I平面，得平面，而平面，則有，顯然平面，因此平面，又平面，所以．（2）過點作，由，得，由（1）知平面平面，則，即直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，由，得，，假定在棱上存在一點，使二面角的余弦值為，令，則，設平面的一個法向量，則，令，得，顯然平面的一個法向量，依題意，，解得，即，所以在棱上存在一點，使二面角的余弦值為．20．解：（1），，曲線在點處的切線方程為，即．（2）對任意的恒成立，，令，則函數在上單調遞增，．在唯一，使得，即，且當時，，即；當時，，即．所以，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，則在上單調遞增，所以，滿足條件的實數的最小整數值為．21．解：（1）拋物線的準線方程為，設點到準線的距離為．由拋物線的定義，得，解得，當且僅當三點共線時，等號成立，所以拋物線的標準方程為．（2）設，由題意可知，的斜率存在且均不為0，設直線的方程為，將其代入，得，則有．同理可得：設直線的方程為，則．所以，所以，所以，當且僅當，即時取等號，又易知，所以的取值范圍為．22．解：（1）直線的參數方程為（為參數，），故，則，即；故的極坐標方程為：．把繞坐標原點逆時針旋轉得到，故的極坐標方程為：．（2）曲線的極坐標方程為，且與交于點與交于點，