高中數學湘教版必修第二冊第四章立體幾何初步4.1空間的幾何體4.1.1.1幾類簡單幾何體教材要點要點一空間幾何體1．空間幾何體的定義如果我們只考慮物體的________和________，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形稱為空間幾何體．形狀大小2．空間幾何體的分類

多面體旋轉體定義由若干個____________(包括三角形)所圍成的封閉體．把平面上一條封閉曲線內的區域繞著該平面內的一條________旋轉而成的幾何體．圖形相關概念面：圍成多面體的各個多邊形；棱：兩個面的公共邊；頂點：棱和棱的交點．軸：定直線稱為旋轉軸．平面多邊形定直線狀元隨筆(1)任意一個幾何體都是由點、線、面構成的．點、線、面是構成幾何體的基本元素．我們還可以從運動的觀點來理解空間基本圖形之間的關系．在幾何中，可以把線看成點運動的軌跡，如果點運動的方向始終不變，那么它的軌跡就是一條直線或線段；如果點運動的方向時刻在變化，則運動的軌跡是一條曲線或曲線的一段．同樣，一條線運動的軌跡可以是一個面，面運動的軌跡(經過的空間部分)可以形成一個幾何體．即點動成線，線動成面，面動成體．(2)多面體與旋轉體的異同相同點：兩者都是封閉的幾何體，包括表面及其內部的所有點．不同點：多面體的表面是平面多邊形，旋轉體的側面是曲面，底面為圓．要點二多面體多面體定義圖形及表示相關概念特殊幾何體棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是___________，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相________，由這些面所圍成的幾何體叫作棱柱．如圖可記作：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′底面(底)：兩個互相______的面；側面：其余各面；側棱：相鄰兩個側面的公共邊；頂點：側棱與底面的公共點．直棱柱：側面都是______的棱柱；正棱柱：底面是_____多邊形的直棱柱；長方體：底面和側面都是矩形的棱柱；正方體：所有棱長都相等的長方體；平行六面體：兩個底面是平行四邊形的棱柱．平行四邊形平行平行矩形正棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是有一個________的三角形，這樣的幾何體叫作棱錐．如圖可記作：棱錐S-ABCD側面：具有一個________的三角形的面；頂點：這個公共點；側棱：相鄰兩個側面的公共邊；底面：除了側面外，剩下的那一個多邊形面．正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，將底面放置后，它的頂點又在過正多邊形________的鉛垂線上．公共頂點公共頂點中心棱臺過棱錐任一側棱上不與側棱端點重合的一點，作一個與底面________的平面去截棱錐，截面和棱錐底面之間的這部分幾何體叫作棱臺．如圖可記作：棱臺ABCD-A′B′C′D′上底面：截面；下底面：原棱錐的底面；側面：其余各面；側棱：相鄰側面的公共邊．正棱臺：由正棱錐截得的棱臺．平行基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)棱柱的所有側棱都平行且相等．(

)(2)棱柱的兩個底面是全等的多邊形，側面是平行四邊形．(

)(3)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐．(

)(4)正三棱錐也稱為正面體．(

)√√××2．下面圖形中，為棱錐的是(

)A.①③

B．①③④C．①②④

D．①②答案：C解析：根據棱錐的定義和結構特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐，④是棱錐．3．下列圖形中，是棱臺的是(

)答案：C解析：由棱臺的定義知，A、D項的側棱延長線不交于一點，所以不是棱臺；B項中兩個面不平行，不是棱臺，只有C項符合棱臺的定義．4．下面屬于多面體的是________(填序號)．①建筑用的方磚；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．①②解析：①②屬于多面體，③④屬于旋轉體．題型1棱柱的結構特征例1

(1)下面的幾何體中是棱柱的有(

)A.3個

B．4個C．5個D．6個答案：C解析：(1)棱柱有三個特征：1〉有兩個面相互平行；2〉其余各面是四邊形；3〉側棱相互平行．本題所給幾何體中⑥⑦不符合棱柱的三個特征，而①②③④⑤符合．(2)(多選)下列關于棱柱的說法中正確的是(

)A．所有的面都是平行四邊形B．每一個面都不會是三角形C．兩底面平行，并且各側棱也平行D．被平面截成的兩部分可以都是棱柱

解析：棱柱的底面不一定是平行四邊形，A錯誤；棱柱的底面可以是三角形，B錯誤；由棱柱的定義易知，C正確；棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱，D正確．所以正確說法的序號是CD.答案：CD方法歸納判斷棱柱的兩種方法1．扣定義：判定一個幾何體是否是棱柱的關鍵是棱柱的定義．①看“面”，即觀察這個多面體是否有兩個互相平行的面，其余各面都是四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行．2．舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或實物模型、圖片等不吻合，給予排除.題型2棱錐、棱臺的結構特征例2

(1)(多選)下列關于棱錐、棱臺的說法正確的是(

)A．棱臺的側面一定不會是平行四邊形B．棱錐的側面只能是三角形C．由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐D．棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐解析：棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形，A項正確；由棱錐的定義知棱錐的側面只能是三角形，B項正確；由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐，C項正確；如圖所示，四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐，D項錯誤．答案：ABC(2)如圖，在三棱臺A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，則剩余部分是(

)A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．三棱臺答案：B解析：由題圖知，在三棱臺A′B′C′--ABC中，截去三棱錐A′-ABC，剩下的部分如圖所示，故剩余部分是四棱錐A′--BB′C′C.方法歸納判斷棱錐、棱臺形狀的兩種方法(1)舉反例法結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確．(2)直接法

棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側棱相交于一點延長后相交于一點題型多面體的平面展開圖例3

(1)某同學制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個正方體禮品盒的平面展開圖應該為(對面是相同的圖案)(

)答案：A解析：因為是對面圖案均相同的正方體禮品盒，所以當盒子展開后相同的圖案就不可能靠在一起，只有A中沒有相同的圖案靠在一起．(2)如圖所示，長方體的長、寬、高分別為5cm，4cm，3cm.一只螞蟻從A點到C1點沿著表面爬行的最短路程是多少？

方法歸納判斷棱柱的兩種方法1．繪制展開圖：繪制多面體的平面展開圖要結合多面體的幾何特征，發揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過程中，常常給多面體的頂點標上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側面，便可得到其平面展開圖．2．由展開圖復原幾何體：若是給出多面體的平面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推，同一個幾何體的平面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個平面展開圖．跟蹤訓練1

(多選)如圖所示，不是正四面體(各棱長都相等的三棱錐)的展開圖的是(

)答案：CD解析：可選擇陰影三角形作為底面進行折疊，發現A、B可折成正四面體，C、D不論選哪一個三角形作底面折疊都不能折成正四面體．易錯辨析憑直觀感覺判斷幾何體致誤例4對如圖所示的幾何體描述正確的是________(填序號)．①這是一個六面體；②這是一個四棱臺；③這是一個四棱柱；④此幾何體可由三棱柱截去一個小三棱柱而得到；⑤此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱而得到．①③④⑤解析：因為該幾何體有六個面，屬于六面體，①正確．因為側棱的延長線不能交于一點，②錯誤．如果把幾何體正面或背面作為底面就會發現是一個四棱柱，③正確．④⑤都正確，如圖(1)(2)所示．易錯警示易錯原因糾錯心得易直觀上感覺是棱臺，忽略此幾何體側棱的延長線不能相交于一點，錯選②.解答關于空間幾何體概念的判斷時，要注意緊扣定義，這就需要我們熟悉各種空間幾何體概念的內涵和外延，切記勿只憑圖形主觀臆斷．課堂十分鐘1．(多選)下列命題中，正確的命題是(

)A．棱柱的側面都是平行四邊形B．棱錐的側面為三角形，且所有側面都有一個公共頂點C．多面體至少有四個面D．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺答案：ABC解析：根據各種幾何體的概念與結構特征判斷命題的真假．A、B項均為真命題；對于C項，一個圖形要成為空間幾何體，則它至少需有4個頂點，3個頂點只能構成平面圖形，當有4個頂點時，可圍成4個面，所以一個多面體至少應有4個面，而且這樣的面必是三角形，故C項也是真命題；對于D項，只有當截面與底面平行時才對．2．用一個平面去截一個三棱錐，截面形狀是(

)A．四邊形

B．三角形C．三角形或四邊形D．不可能為四邊形答案：C解析：按如圖①所示用一個平面去截三棱錐，截面是三角形；按如圖②所示用一個平面去截三棱錐，截面是四邊形．3．在下列四個平面圖形中，每個小四邊形皆為正方形，其中可以沿相鄰正方形的公共邊折疊圍成一個正方體的圖形是(

)答案：C解析：動手將四個選項中的平面圖形折疊，看哪一個可以折疊圍成正方體即可．4．一個棱柱至少有________個面，頂點最少的一個棱臺有________條側棱．53解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5個面；頂點最少的一個棱臺是三棱臺，它有3條側棱．5.如圖所示，長方體ABCD--A1B1C1D1.(1)這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？如果不是，說明理由．

解析：(1)該長方體是棱柱，并且是四棱柱，因為以長方體相對的兩個面作底面都是四邊形，其余各面都是矩形，當然是平行四邊形，并且四條側棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1--CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1--DCFD1，其中四邊形ABEA1和DCFD1是底面．高中數學湘教版必修第二冊第四章立體幾何初步4.1空間的幾何體4.1.1.2幾類簡單幾何體(2)教材要點要點一旋轉體名稱定義相關概念圖形表示法圓柱將___________(及其內部)繞其一條邊AB所在直線旋轉一周，所形成的幾何體叫作圓柱．軸：邊AB所在直線；底面：由邊AD和BC繞軸旋轉而成的圓面；側面：由邊CD繞軸旋轉而成的曲面；母線：邊CD(圓柱有無數條母線)．圖中圓柱表示為圓柱AB矩形ABCD圓錐將_____________(及其內部)繞其一條直角邊AB所在直線旋轉一周，所形成的幾何體叫作圓錐．軸：直角邊AB所在直線；頂點：點A；底面：由直角邊BC繞軸旋轉而成的圓面；側面：由斜邊AC繞軸旋轉而成的曲面；母線：斜邊AC(圓錐有無數條母線)．圖中圓錐表示為圓錐AB直角三角形ABC圓臺將_____________(及其內部)繞其垂直于底邊的腰BC所在直線旋轉一周，所形成的幾何體叫作圓臺．軸：腰BC所在直線；底面：由底邊AB和CD繞軸旋轉而成的圓面；側面：由腰AD繞軸旋轉而成的曲面；母線：腰AD(圓臺有無數條母線)．圖中圓臺表示為________直角梯形ABCD圓臺BC球將圓心為O的_______(及其內部)繞其直徑AB所在直線旋轉一周，所形成的幾何體叫作球．球面：半圓的圓弧旋轉一周所形成的曲面；球的半徑：原半圓的半徑．圖中的球表示為球O半圓狀元隨筆(1)以直角三角形斜邊所在的直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉成的曲面圍成的旋轉體不是圓錐．(2)圓臺也可以看作是等腰梯形以其底邊的中線所在的直線為軸，各邊旋轉半周形成的曲面所圍成的幾何體．(3)球與球面是完全不同的兩個概念，球是指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分．要點二簡單組合體1．簡單組合體的定義由柱體、錐體、臺體、球等簡單幾何體組合而成的幾何體叫作簡單組合體．2．簡單組合體的兩種基本形式(1)由簡單幾何體________而成；(2)由簡單幾何體____________一部分而成．

狀元隨筆要描述簡單幾何體的結構特征，關鍵是仔細觀察組合體的組成，結合柱、錐、臺、球的結構特征，對原組合體進行分割．拼接截去或挖去基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐．(

)(2)以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的旋轉體是圓臺．(

)(3)用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．(

)(4)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形．(

)×××√2．(多選)下列說法正確的是(

)A．圓柱的側面展開圖是一個矩形B．圓錐的側面展開圖是一個扇形C．圓臺的側面展開圖是一個梯形D．過球心的截面所截得的圓面的半徑等于球的半徑答案：ABD解析：A、B、D項正確，C項不正確，因為圓臺的側面展開圖是一個扇環．3．如圖所示，其中為圓柱體的是(

)答案：C解析：B、D項不是旋轉體，首先被排除．又A項不符合圓柱體的定義，只有C項符合，所以選C.4．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一個組合體，其結構特征是_____________________________．一個正六棱柱中挖去一個等高的圓柱解析：由簡單組合體的基本形式可知，該組合體是一個正六棱柱中挖去一個等高的圓柱．題型1旋轉體的結構特征例1

(1)(多選)下列命題中正確的有(

)A．在圓柱的上、下兩底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線B．圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線C．在圓臺上、下兩底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線D．圓柱的任意兩條母線相互平行答案：BD解析：A中所取的兩點與圓柱的軸OO′的連線所構成的四邊形不一定是矩形，若不是矩形，則與圓柱母線定義不符合；C項中所取兩點連線的延長線不一定與軸交于一點，不符合圓臺母線的定義；BD項符合圓錐、圓柱母線的定義及性質．故選BD.(2)下列說法正確的是(

)A．球是以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體B.球的直徑是球面上任意兩點間的連線C．用一個平面截一個球，得到的是一個圓D．空間中到一定點距離等于定長的點的集合是球解析：球可看作是半圓面繞其直徑所在的直線旋轉形成的，A項正確；如果球面上的兩點連線經過球心，則這條線段就是球的直徑，B錯誤；球是一個幾何體，平面截它應得到一個面而不是一條曲線，C錯誤；空間中到一定點距離相等的點的集合是一個球面，而不是一個球體，D項錯誤．答案：A方法歸納1．判斷簡單旋轉體結構特征的方法(1)明確由哪個平面圖形旋轉而成．(2)明確旋轉軸是哪條直線．2．簡單旋轉體的軸截面及其應用(1)簡單旋轉體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現簡單旋轉體結構特征的關鍵量．(2)在軸截面中解決簡單旋轉體問題體現了化空間圖形為平面圖形的轉化思想．跟蹤訓練1

(多選)下列說法正確的是(

)A．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺B．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓C．以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐D．用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面答案：CD解析：A項以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉一周可得到圓臺；B項它們的底面為圓面；C、D正確．題型2簡單組合體的結構特征例2請描述如圖所示的幾何體是如何形成的．解析：①是由一個圓錐和一個圓臺拼接而成的組合體；②是由一個長方體截去一個三棱錐后得到的幾何體；③是由一個圓柱挖去一個三棱錐后得到的幾何體．方法歸納判斷組合體構成的方法(1)判定實物圖是由哪些簡單幾何體組成的問題時，首先要熟練掌握簡單幾何體的結構特征；其次要善于將復雜的組合體“分割”為幾個簡單的幾何體．(2)組合體是由簡單幾何體拼接或截去一部分構成的．要仔細觀察組合體的構成，結合柱、錐、臺、球的結構特征，先分割，后驗證．

跟蹤訓練2(1)一個直角三角形繞其斜邊所在直線旋轉360°形成的空間幾何體是(

)A．一個圓錐B．一個圓錐和一個圓柱C．兩個圓錐D．一個圓錐和一個圓臺答案：C解析：一個直角三角形繞其斜邊所在直線旋轉360°得到的旋轉體為兩個同底的圓錐的組合體．(2)如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面、下底面圓心為頂點的圓錐而得到的．現用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是________．(填序號)①⑤解析：當截面過底面直徑時，截面如圖①；當截面不過底面直徑時，截面如圖⑤.題型3空間幾何體中的計算問題角度1有關旋轉體的側面展開圖的計算例3

如圖，底面半徑為1，高為2的圓柱，在A點有一只螞蟻，現在這只螞蟻要圍繞圓柱由A點爬到B點，問螞蟻爬行的最短距離是多少？

方法歸納解此類題的關鍵要清楚幾何體的側面展開圖是什么樣的平面圖形，并進行合理的空間想象，且記住以下常見幾何體的側面展開圖：角度2簡單幾何體中的有關計算例4

如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺O′O的母線長．

方法歸納(1)畫出圓錐的軸截面．(2)在軸截面中借助直角三角形或三角形的相似關系建立高、母線長、底面圓的半徑長的等量關系，求解便可．角度3球的截面問題例5

已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同側，且距離等于1，求這個球的半徑．

方法歸納利用球的截面，將立體問題轉化為平面問題是解決球的有關問題的關鍵．跟蹤訓練3

已知一個圓臺的母線長為12cm，兩底面的面積分別為4πcm2和25πcm2，求：(1)圓臺的高；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長．

易錯辨析對旋轉體的結構特征理解不到位致錯例6

(多選)下列結論中正確的是(

)A．半圓弧以其直徑為軸旋轉一周所形成的曲面叫作球B．直角三角形繞一條直角邊旋轉得到的旋轉體是圓錐C．夾