第5講函數的單調性【知識通關】通關一、函數單調性的定義及幾何意義項目增函數減函數定義一般地，設函數的定義域為，如果對于定義域內某個區間上的任意兩個自變量的值當時，都有，那么就說函數在區間上是增函數.當時，都有，那么就說函數在區間上是減函數.圖像描述自左向右看，圖像是上升的自左向右看，圖像是下降的要點詮釋(1)函數單調性的實質是函數值的變化與自變量的變化是否一致，一致則為增函數，不一致則為減函數.(2)函數單調性“數”的表現是函數值的增大與減小，“形”的表現是函數圖像的上升與下降(3)“函數的單調區間是”與“函數在區間上單調”是兩個不同的概念，顯然.(4)一個函數在不同的區間可以有不同的單調性，同一種單調區間用“和”或“，”連接，不能用“”連接.(5)增(減)函數定義中的三個特征：①任意性；②有大小，即或；③同屬于一個單調區間.通關二、函數的最值前提設函數的定義域為，如果存在實數滿足條件(1)對于任意的，都有；(2)存在，使得.(1)對于任意的，都有；(2)存在，使得.結論為最大值為最小值結論一、定義法證明函數單調性1.取值：即設1.取值：即設是該區間內的任意兩個值，且.2.作差(商)變形：通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差(商)的符號的方向變形.3.定號：確定差的符號(與的大小)，若符號不確定，可以進行分類討論.4.下結論：即根據定又得出結論，注意下結論時不要忘記說明區間.【例1】已知函數對任意實數均有，且當時.試判斷的單調性，并說明理由.【解析】設且，則，故.所以.所以.故在上為增函數.【變式】已知給定函數對于任意正數都有，且，當時.試判斷在上的單調性，并說明理由.【解析】對于有，又，所以.設，且，則，所以.故在上為減函數.結論二、函數單調性的正向與逆向理解1.正向結論:若在給定區間上是增函數,則當時,;當時,;2.逆向結論:若在給定區間上是增函數,則當時,;當時,.【例2】已知在區間上是增函數,且,則下列表達正確的是（）. A. B. C. D.【答案】B【解析】可轉化為和，因為在區間上是增函數,所以且,根據同向不等式相加性質得.故選B.【變式】已知是定義在上的增函數,若,則的取值范圍是_________.【答案】【解析】由已知可得，故的取值范圍是.結論三、單調性結論設那么在上是增函數;在上是減函數.【例3】定義在上的函數滿足:對任意的,有,則（）. A. B. C. D.【答案】D【解析】因為對任意的,有,所以函數在上是減函數,因為,所以.故選D.【變式】已知函數,若對任意,均滿足,則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】由可知在上為增函數,所以在上恒成立,而,所以,即.故的取值范圍是.結論四、單調性性質若函數在區間上具有單詞性,則在區間上具有以下性質:1.與為常數具有相同的單調性.2.當非負時,與具有相同的單調性.3.與在時具有相同的單調性,在時具有相反的單調性.4.當恒不為0時,函數與單調性相反.【例4】已知函數,則（）. A.是偶函數,且在上是增函數 B.是奇函數,且在上是增函數 C.是偶函數,且在上是減函數 D.是奇函數,且在上是減函數【答案】【解析】,所以,即函數為奇函數,以函數為增函數,為減函數,故函數為增函數.故選B.【變式】若函數在上為增函數,則實數的取值范圍為__________.【答案】【解析】解法一：.任取,則因為,所以,以.已知函數在上單調遞增,故,所以1,解得.所以的取值范圍是.解法二：,因為在上單調遞減,在上單調遞增,所以,解得.所以的取值范圍是.結論五、單調性求最值1.若函數在閉區間上是增函數,則在上的最小值為,最大值為；2.若函數在閉區間上是減函數,則在上的最小值為,最大值為.【例5】函數的值域為（）. A. B. C. D. 【答案】A【解析】根據對數函數的定義可知,恒成立,解得.因此,該函數的定義域為,原函數是由對數函數和組合成的復合函數.由復合函數的單調性定義同增異減)知道,原函數在定義域上是單調遞增的.根據指數函數的性質可知,,所以,,所以.故選A.【變式】已知函數,