第三章自動控制系統的時域分析(12學時)信息學院二○○九年九月2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析系統分析方法:時域、頻域什么是時域分析？指控制系統在典型輸入信號作用下，根據輸出響應的時域表達式，分析系統的穩定性、動態性能和穩態性能。優點：時域分析是直接在時間域中對系統進行分析的方法，從時域響應曲線上能直接得到系統時間響應的全部信息，具有直觀和準確的優點，便于建立系統性能指標

。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析缺點：難以判斷系統結構和參數對動態性能的影響，很難用于系統的設計。對于高階系統，系統分析的工作量將急劇增加，不易確定其性能指標。必須借助計算機實現。系統分析的目的：是找出系統的結構和參數與系統性能之間的關系，從而指導我們對控制系統進行設計。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析

自動控制系統的時域指標一階系統的階躍響應二階系統的階躍響應高階系統的階躍響應自動控制系統的代數穩定判據穩態誤差主要內容2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析了解典型信號和自動控制系統時域指標的定義；掌握一階和二階系統分析與暫態性能指標計算方法；建立系統參數與系統暫態響應之間的對應關系；了解系統參數對系統暫態性能指標的影響，能夠定性分析高階系統的暫態響應過程；理解和掌握線性控制系統穩定的充要條件，會用勞斯判據判斷系統的穩定性；理解穩態誤差的概念，了解系統參數對系統誤差的影響，熟練掌握誤差傳遞函數和穩態誤差的計算方法。學習重點2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析3.1自動控制系統的時域指標

（1）系統應是穩定的；（2）系統達到穩定時，應滿足給定的穩態誤差的要求；（3）系統在暫態過程中應滿足暫態品質的要求。1、對控制性能的要求

穩定性穩態特性暫態特性三性2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析為了能對不同的控制系統的性能用統一的標準來恒量，通常需要選擇幾種典型的外作用。典型輸入（測試）信號選取原則：（1）簡單的時間函數，便于數學分析和試驗研究。（2）在現場及實驗室中容易獲得。（3）實際信號可由這些典型信號組合而得。控制工程中常用典型輸入（測試）信號：

階躍信號，斜坡信號，拋物線信號，脈沖信號。2.自動控制系統的典型輸入(測試)信號2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析2.自動控制系統的典型輸入(測試)信號A=1時稱為單位階躍信號（1）階躍信號(stepinputsignal)2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析（2）斜坡信號(速度信號）rampinputsignalA=1時稱為單位斜坡信號2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析（3）拋物線信號（加速度信號）accelerateinputsignal當A=1/2時，稱為單位拋物線函數2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析（4）脈沖函數pulseinputsignal理想單位脈沖函數R為脈沖函數的幅值，R=1時稱為單位理想脈沖函數脈沖函數定義：2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析當A=1時，稱為單位脈沖函數

（t）脈沖信號或實際脈沖信號2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析（5）正弦函數02024/2/19第三章自動控制系統的時域分析

本章主要以單位階躍函數作為系統的輸入量來分析系統的暫態響應。

2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析

當輸入信號突然跳變時，輸出量還處在原有的平衡狀態，這樣就出現了偏差，這個偏差控制輸出量達到新的平衡，這就是一個調節過程。t01Ｘr(t)t01Ｘc(t)12理想的調節過程實際3、系統響應過程2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析整個調節過程分為兩個階段:a.暫態過程反映系統的動態特性。輸出量處于激烈變化之中，用暫態性能指標來評價它。b.穩態過程反映系統的穩態特性。輸出量穩定在新的平衡狀態，并保持不變。提供有關穩態誤差的信息，用穩態性能指標來評價它。t01Ｘc(t)12理想的調節過程實際2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析在工程上，許多高階系統常常具有近似一、二階系統的時間響應。因此，深入研究一、二階系統的性能指標，有著廣泛的實際意義。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析3.2一階系統的階躍響應

1.一階系統的數學模型

2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析2.一階系統的單位階躍響應2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析

3.

一階系統的階躍響應曲線由解析式和曲線圖可以得出以下結論：初始斜率為1/T；可以用時間常數T去度量系統的輸出量的數值；確定T值的方法之一實驗確定T值、系統是否是一階系統的理論依據2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析上升時間tr調節時間ts

4.一階系統的性能指標動態性能指標定義上升時間tr2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析動態性能指標調節時間

ess=輸出期望值-輸出實際值=1-xc(∞)=1-1=0穩態性能指標上升時間結論：T（慣性）越小，調節時間ts越小，響應過程的快速性越好。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析例3.1、一階系統的結構如下圖所示。試求該系統單位階躍響應的調節時間ts

；如果要求ts(5%)

0.1(秒)，試問系統的反饋系數應取何值？2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析解：（1）首先由系統結構圖寫出閉環傳遞函數得T=0.1（s），取5%誤差帶得調節時間

ts

=3T=0.3(s)

2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析（2）求滿足ts

(5%)

0.1（s）的反饋系數值。假設反饋系數Kt(Kt>0)，那么同樣可由結構圖寫出閉環傳遞函數由閉環傳遞函數可得T=0.01/Kt根據題意要求ts

(5%)

0.1（s）則ts

=3T=0.03/Kt

0.1(s)所以Kt

0.32024/2/19第三章自動控制系統的時域分析1.典型二階系統的數學模型

閉環傳函：3.3二階系統的階躍響應二階系統標準型典型二階系統標準形式開環傳函：：自然頻率(無阻尼振蕩頻率)：阻尼比重要2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析2.典型二階系統的單位階躍響應特征根：特征方程：特征根的性質取決于的大小；二階系統的時間響應取決于和兩個參數，按以下情況來研究二階系統的時間響應。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析過阻尼（

>1）系統的特征根為二不等負實根特征根（閉環極點）：2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析輸出量的拉氏變換：2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析輸出響應的時間函數：誰衰減的更快？2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析⑴系統響應為單調上升；

⑵

穩態分量為1；⑶

暫態分量由兩部分組成，極點距虛軸越近，對系統響應影響越大。⑷

當時，第二項的衰減指數遠比前一項大得多，所以第二項暫態分量只是在響應的前期對系統的輸出有影響，后期的影響很小，第二項可以忽略，此時的二階系統的響應可近似為一階系統響應。結論：具有負實極點2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析時的響應曲線。一定時，隨的增大，系統的響應速度變慢。結論：⑸上升時間tr2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析時的響應曲線。結論：

（6）

一定時，隨的增大，系統的響應速度變快。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析二相等負實根（2）臨界阻尼（

=1）系統的特征根為輸出量的拉氏變換：輸出響應為：2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析一對左半S面一對共軛復根（3）欠阻尼（）系統的特征根為2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析輸出量的拉氏變換：拉式反變換后可得：式中：阻尼角，阻尼振蕩頻率

2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析重點，理解性記憶2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析結論：1、欠阻尼二階系統的單位階躍響應為衰減振蕩曲線。2、穩態分量為1；3、暫態分量為一按指數衰減的簡諧振動時間函數，形態與和有關；2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析分別為1、2、3、4時的響應曲線。

一定時，系統的超調量不變。隨的增大，響應速度加快。結論：2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析時的響應曲線。0.20.30.10.40.8振蕩程度與

有關：

一定時，隨的增大，系統的響應速度變慢，超調量減小。

越小，超調量越大，振蕩越劇烈2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析（4）無阻尼（

=0）

系統的特征根為

輸出量的拉氏變換為

二階系統的暫態響應為一對位于虛軸上共軛虛根結論：輸出Xc(t)為一條在0和2之間不衰減的等幅振蕩曲線。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析（5）

<0（負阻尼）系統的特征根為:右半S平面的二根結論：當

<0時系統具有二右半面的特征根，輸出

響應為一發散形式的曲線。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析小結一階系統的響應是單調上升的過程，品質由時間常數T來表證。二階系統的響應由這兩個特征參數來決定。暫態響應暫態響應穩態響應穩態響應2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析（1）系統的響應由兩部分組成：穩態響應＋暫態響應。由閉環極點或特征根決定。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析（2）極點在S平面上的位置分布對系統響應的影響。a.當極點位于S平面的左半面時，系統響應收斂。

b.系統極點位于S平面的右半面或虛軸上，響應發散。c.極點離虛軸越近，對系統響應影響越大，極點離虛軸越遠，對系統響應影響越小。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析二階系統的閉環極點分布特征根：四種運動模態2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析d.極點的實部決定著系統暫態響應是否收斂與衰減的快慢；虛部決定著系統暫態響應的振蕩情況。衰減系數2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析在不同的阻尼比時，二階系統的暫態響應有很大的區別，因此阻尼比

是二階系統的重要參量。當

≤0時，系統不能正常工作，而在

≥1時，系統暫態響應進行的又太慢（退化為一階系統）。所以，對二階系統來說，欠阻尼情況（）是最有實際意義的。

2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析當時，典型二階系統的輸出響應為3.二階系統暫態特性指標

典型二階系統2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析時間tr上升峰值時間tmAB超調量σ%=AB100%調節時間ts二階系統暫態特性指標定義快速性：上升時間tr

，調節時間ts、峰值時間tｍ．平穩性：超調量σ

%，2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析令t=tr

時，xc（t

r）=1，得（1）上升時間tr

----系統的輸出第一次達到穩態值的時間取n=1，得：2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析結論：1、當

n一定時，阻尼比越小，則上升時間

tr

越短；

2、當阻尼比一定時，

n越大，則tr

越短。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析最大超調量發生在第一個周期中t=tm

時刻。令得峰值時間（2）最大超調量σ%輸出最大值相對于輸出穩態值的誤差。計算公式為2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析即因此因為在n=1時出現最大超調量，所以有峰值時間為：2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析將代入1、只與有關，隨的減小而增大。2、結論：得輸出最大值為2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析定義：系統的輸出與穩態值之間的偏差達到允許范圍（一般取5%～2%）而不再超出的暫態過程時間。（3）調節時間根據調節時間的定義，設誤差帶為：得：2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析x2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析由此求得調節時間為：結論：1、調節時間與閉環極點的實部成反比。2、保持不變，增大可在不改變超調量的情況下減小ts。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析4.二階系統特征參數與暫態性能指標之間的關系阻尼比是二階系統的一個重要參量，由值的大小可以間接判斷一個二階系統的暫態品質。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析（1）最大超調量只與阻尼比這一特征參數有關。因此，通常可以根據允許的超調量來選擇阻尼比。（2）調節時間與系統阻尼比和自然振蕩角頻率的乘積成反比。為了限制超調量，并使調節時間較短，阻尼比一般應在0.4～0.8之間，這時階躍響應的超調量將在1.5%～25%之間。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析令5.二階工程最佳參數2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析例3-2位置隨動系統結構如圖所示，其中Kk

=4。求1）自然振蕩角頻率；2）系統的阻尼比；3）超調量和調節時間；4）如果要求，應怎樣改變系統參數Kk

。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析解：

系統的閉環傳遞函數為寫成標準形式

對照標準型得（1）自然振蕩角頻率2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析（3）超調量

調節時間（4）當要求時

（2）阻尼比2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析例3-3為了改善例3-2系統的暫態響應性能，滿足單位階躍輸入下系統超調量的要求，今加入微分負反饋，如下圖所示。求微分時間常數。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析系統閉環傳遞函數為

時間常數形式解：系統的開環傳遞函數為

2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析為了使，令由可求得并由此求得開環放大系數為2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析由例3-3可知：當系統加入局部微分負反饋時，相當于增加了系統的阻尼比，提高了系統的平穩性，但同時也降低了系統的開環放大系數，提高了系統穩態精度。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析(1)二階系統加極點的暫態響應系統傳遞函數當時，特征方程式的三個根為慣性，積分環節6.零、極點對二階系統暫態性能的影響2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析因此得

系統輸出響應為

式中是負實數極點與共軛復數極點的負實部之比。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析結論（1）具有負實數極點的三階系統，振蕩性減弱，調節時間增長，超調量減小。極點的加入相當于加入了積分環節，起慣性延緩作用。

（2）極點距虛軸越近，影響越大（對應暫態分量衰減越慢，系數越大）。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析式中：——時間常數。系統的傳遞函數為：(2)具有零點的二階系統的暫態特性分析比例微分環節(PD調節器)零點單位階躍響輸入時：分析12024/2/19第三章自動控制系統的時域分析結論：1、零點的加人會削弱極點的作用，但不影響暫態分量的個數，只影響暫態分量的系數A。令，則分析22024/2/19第三章自動控制系統的時域分析設

則在初始條件為零時，取拉氏反變換為2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析

結論：（2）閉環零點的存在，起微分加快的作用，使輸出響應加快，超調增大。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析結論：（3）零點離虛軸越近，對系統響應的影響越大，越遠，影響越小。當零點離虛軸無窮遠時，影響為零。2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析3.4高階系統的暫態響應

式中：

——系統閉環零點，又稱系統零點；

——系統閉環極點，又稱系統極點。三階以上的系統高階系統的閉環傳遞函數形式：將分子和分母分解成因式----首1形式：2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析

假設：1、系統穩定，且全部極、零點互不相同。

2、包含實極點和共軛復數極點。則:單位階躍響應的拉氏變換為式中：n=q+2r；q為實數極點的個數，r為共軛極點的對數。

2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析拉氏反變換得單位階躍響應為：2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析結論：高階系統（1）響應曲線類型由閉環極點決定（發散，等幅振蕩，衰減振蕩，單調）（2）響應曲線的形狀和閉環極點和零點有關。閉環極點負實部的絕對值越大(極點距虛軸愈遠)，

則其對應的響應分量(模態)衰減的越迅速，否則，衰減的越慢。(和極點有關)在留數的計算過程中，要用到Xc(s),而Xc(s),中包含有閉環的零點，因此不可避免地要影響到留數的值。(和零點有關)2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析a.零極點相互靠近，則對應的Aj

就越小，且離虛軸較遠(衰減速度快)，它們對Xc(t)影響越小；b.零極點很靠近，它們對Xc(t)幾乎沒影響；c.零極點重合——偶極子，它們對Xc(t)

無任何影響；d.極點pj附近無零點，且靠近虛軸，則此極點對

Xc(t)影響大。主導極點進一步理解2024/2/19第三章自動控制系統的時域分析（3）高階系統沒有零點，且距離虛軸最近的極點其實部小于其它極點的實部的1/5，可以認為系統的暫態響應主要由這一極點決定。這些對暫態響應起主導作用的閉環極點，叫作主導極點。主導極點的作用