第一章2.2圓的一般方程基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.理解圓的一般方程及其特點.2.掌握圓的一般方程和標準方程的互化.3.會求圓的一般方程以及與圓有關的簡單的軌跡方程問題.基礎落實·必備知識全過關知識點1

圓的一般方程

名師點睛1.當D2+E2-4F=0時,方程表示一個點

;當D2+E2-4F<0時,方程不表示任何圖形.2.二元二次方程要想表示圓,需x2和y2的系數相同且不為0,沒有xy這樣的二次項.3.幾個常見圓的一般方程(1)過原點的圓的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全為0);(2)圓心在y軸上的圓的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);(3)圓心在x軸上的圓的方程:x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圓心在x軸上且過原點的圓的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圓心在y軸上且過原點的圓的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).過關自診1.[人教B版教材習題]寫出下列圓的圓心坐標和半徑:(1)x2+y2-6x=0;(2)2x2+2y2-4x+8y+5=0.2.[人教B版教材習題]已知a,b為實數,判斷x2+y2+2ax-b2=0是否是圓的方程,并說明理由.提示

原方程可化為(x+a)2+y2=a2+b2,當a=b=0時,x2+y2=0,不是圓的方程,它表示原點;當a,b不同時為零時,方程表示圓心為(-a,0),半徑為

的圓.3.[人教B版教材習題]已知圓x2+y2+2x-ay-4=0的半徑為3,求實數a的值.知識點2

由圓的一般方程判斷點與圓的位置關系及與圓有關的軌跡問題1.已知點M(x0,y0)和圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).

位置關系與符號的對應和標準方程的一致2.點M的坐標(x,y)滿足的

稱為點M的軌跡方程.求符合某種條件的動點M的軌跡方程,實質上就是利用題設中的幾何條件,通過“坐標化”將其轉化為關于變量x,y之間的方程.

等量關系式

過關自診1.[人教B版教材習題]判斷點A(0,0),B(-1,5),C(1,-2)與圓x2+y2+2x-4y-4=0的位置關系.提示

將A(0,0)代入圓的方程得-4<0,∴A在圓內;將B(-1,5)代入圓的方程,得1+25-2-20-4=0,∴B在圓上;將C(1,-2)代入圓的方程,得1+4+2+8-4>0,∴C在圓外.2.[人教B版教材習題]已知坐標原點不在圓x2+y2-ay+a-1=0的內部,求實數a的取值范圍.提示

∵(0,0)不在圓的內部,∴將(0,0)代入圓的方程,得a-1≥0,∴a≥1.重難探究·能力素養全提升探究點一圓的一般方程初步理解【例1】

若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓,求實數m的取值范圍,并寫出圓心坐標和半徑.規律方法

形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圓時可有如下兩種方法:(1)由圓的一般方程的定義,若D2+E2-4F>0成立,則表示圓,否則不表示圓.(2)將方程配方后,根據圓的標準方程的特征求解.應用這兩種方法時,要注意所給方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0這種標準形式,若不是,則要化為這種形式再求解.變式訓練1(1)若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圓,則a的值為(

)A.1或-2 B.2或-1C.-1 D.2C解析

因為方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0中二次項系數不一定為1,因此若它表示圓,需要二次項的系數相等且不等于0,且轉化為一般式后滿足(2)當圓C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面積最小時,m的值是(

)A.4 B.3C.2 D.1D解析

把圓C的方程化為標準方程,得(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,設圓C的半徑為r,則有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3,所以m=1時,r2取得最小值,從而圓C的面積S=πr2在m=1時取得最小值.故選D.探究點二求圓的一般方程【例2】

已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圓的一般方程;(2)若點M(a,2)在△ABC的外接圓上,求a的值.解

(1)設△ABC外接圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意,得(2)由(1)知,△ABC的外接圓的方程為x2+y2-8x-2y+12=0.∵點M(a,2)在△ABC的外接圓上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6.變式探究1若例2中將“點C(3,-1)”改為“圓C過A,B兩點且圓C關于直線y=-x對稱”,其他條件不變,求圓C的方程.變式探究2將例2改為“已知圓Q過A(2,2),B(5,3),C(3,-1)三點,點M,N在圓Q上”,試求△QMN面積的最大值.規律方法

應用待定系數法求圓的方程時應注意:(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心坐標或半徑列方程,一般采用圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2,再用待定系數法求出a,b,r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系,一般采用圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),再用待定系數法求出常數D,E,F.變式訓練2圓心在直線y=x上,且過點A(-1,1),B(3,-1)的圓的一般方程是

.

x2+y2-4x-4y-2=0探究點三求動點的軌跡方程【例3】

已知點A(2,0)是圓x2+y2=4上的定點,點B(1,1)是圓內一點,P,Q為圓上的動點.(1)求線段AP的中點M的軌跡方程;(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ的中點N的軌跡方程.解

(1)設線段AP的中點為M(x,y),則點P的坐標為(2x-2,2y).∵點P在圓x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,整理得(x-1)2+y2=1.故線段AP的中點M的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.(2)設線段PQ的中點為N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.設O為坐標原點,連接ON,∵|OP|=|OQ|,N為PQ的中點,∴ON⊥PQ,∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故線段PQ的中點N的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.變式探究1在本例條件不變的情況下,求過點B的弦的中點T的軌跡方程.解

設T(x,y),因為點T是過點B的弦的中點,所以OT⊥BT.當斜率存在時,有kOT·kBT=-1.即

=-1,整理得x2+y2-x-y=0.當x=0或1時,點(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)也都在圓上.故所求軌跡方程為x2+y2-x-y=0.變式探究2本例條件不變,求BP的中點E的軌跡方程.規律方法

求軌跡方程的3種常用方法

[注意]求出軌跡方程后,要考慮軌跡上應去掉的點及軌跡不存在的情形.變式訓練3已知線段AB的中點C的坐標是(4,3),端點A在圓x2+y2+2x-3=0上運動,求線段AB的端點B的軌跡方程.解

設點B的坐標是(x,y),點A的坐標是(x0,y0),由于點C的坐標是(4,3)且點C是線段AB的中點,所以

,于是有x0=8-x,y0=6-y.因為點A在圓x2+y2+2x-3=0上運動,所以點A的坐標滿足方程x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4,把x0=8-x,y0=6-y代入上式,得(8-x+1)2+(6-y)2=4,整理,得(x-9)2+(y-6)2=4.所以點B的軌跡方程為(x-9)2+(y-6)2=4.本節要點歸納1.知識清單:(1)圓的一般方程.(2)求動點的軌跡方程.2.方法歸納:待定系數法、直接法、定義法、代入法.3.常見誤區:忽視用圓的一般方程表示圓的條件.成果驗收·課堂達標檢測1234561.若方程x2+y2+2a=0表示圓,則實數a的取值范圍為(

)A.(-∞,0) B.{0}C.(-∞,0] D.(0,+∞)A解析

因為方程x2+y2+2a=0表示圓,所以D2+E2-4F>0,即-8a>0,所以a<0,即實數a的取值范圍是(-∞,0).1234562.(多選題)圓x2+y2-4x-1=0(

)A.關于點(2,0)中心對稱 B.關于直線y=0對稱C.關于直線x+3y-2=0對稱 D.關于直線x-y+2=0對稱ABC解析

x2+y2-4x-1=0?(x-2)2+y2=5,即圓心的坐標為(2,0).圓是關于圓心對稱的中心對稱圖形,而點(2,0)是圓