全國高中數學賽課一等獎作品教學設計精品模板

（一）

目錄

全國高中數學褰課T獎作品：1教案：《方程的根與函數的零點》.doc

全國高中數學褰課T獎作品：3教案：用二分法求方程的近似解.doc

全國高中數學褰課T獎作品4教案：向量的加法.doc

全國高中數學褰課T獎作品5教案：向量加法運算及其幾何意義.doc

全國高中數學賽課T獎作品儆案:大小.doc

全國高中數學賽課T獎作品7教窠：二元一次格式.doc

全國高中數學賽課T獎作品8教案：分步原理與分類原理.doc

全國高中數學褰課一等獎作品9教窠：等比數列.doc

全國高中數學褰課一等獎作品10教案:獨立性檢驗的基本思想doc

全國高中數學褰課一等獎作品11教案：導數的綜合應用.doc

全國高中數學褰課一等獎作品12教案:懿的概念doc

全國高中數學褰課T獎作品13教案：等比數列的前n項和公式.doc

全國高中數學褰課T獎作品1儆集：函數的表示法.doc

"全國高中數學褰課T獎作品15教案:歸納推理doc

全國高中數學褰課T獎作品1儆案:函數y=Asin（3x+（p）.doc

全國高中數學褰課T獎作品17教案：函數的單調性.doc

全國高中數學褰課T獎作品18教案：幾何概型的教學設計.doc

全國高中數學褰課T獎作品19教宗:函數的奇偶性.doc

u全國高中數學褰課T獎作品20穌：又擻函數二doc

全國高中數學褰課T獎作品23:《古doc

，，全國高中數學褰課T獎作品22教案:《平面向量（第一課）》.doc

全國高中數學寒課T獎作品23教案：《曲線與方程》.doc

全國高中數學褰課一等獎作品2雌：《橢圓旗^舫程》.doc

課題：3.1.1方程的根與函數的零點

教材：普通高中課程標準實驗教科書數學必修1

(人民教育出版社A版)第三章函數的應用

一、教學目標

1.結合方程根的幾何意義，理解函數零點的定義；

2.結合零點定義的探究，掌握方程的實根與其相應函數零點之間的等價

知識與技能關系；

3.結合幾類基本初等函數的圖象特征，掌握判斷函數的零點個數和所在

區間的方法.

1.通過化歸與轉化思想的引導，培養學生從已有認知結構出發，尋求解

決棘手問題方法的習慣；

2.通過數形結合思想的滲透，培養學生主動應用數學思想的意識；

過程與方法3.通過習題與探究知識的相關性設置，引導學生深入探究得出判斷函數

的零點個數和所在區間的方法；

4.通過對函數與方程思想的不斷剖析，促進學生對知識靈活應用的能

力。

1.讓學生體驗化歸與轉化、數形結合、函數與方程這三大數學思想在解

決數學問題時的意義與價值；

情感、態度與價值觀2.培養學生鍥而不舍的探索精神和嚴密思考的良好學習習慣；

3.使學生感受學習、探索發現的樂趣與成功感。

二、教學國國點與難點

教學重點零點的概念及零點存在性的判定。

教學難點探究判斷函數的零點個數和所在區間的方法.

三、教學的方法與手段

授課類型：新授課教學方法：啟發式教學、探究式學習

教學課件：自制Powerpoint課件多媒體設備：計算機

四、教學過程

【環節一：揭示意義，明確目標】揭示本章意義，指明課節目標

教師活動：用屏幕顯示第三章函數的應用

3.1.1方程的根與函數的零點

教師活動：這節課我們來學習第三章函數的應用。通過第二章的學習，我們已經認識了指數

函數、對數函數、幕函數、分段函數等函數的圖象和性質，而這一章我們就要運

用函數思想，建立函數模型，去解決現實生活中的一些簡單問題。為此，我們還

要做一些基本的知識儲備。方程的根，我們在初中已經學習過了，而我們在初中

研究的“方程的根”只是側重“數”的一面來研究，那么，我們這節課就主要從

“形”的角度去研究“方程的根與函數零點的關系”。

教師活動：板書標題(方程的根與函數的零點)。

【環節二：巧設疑云，輕松滲透】設置問題情境，滲透數學思想

教師活動：請同學們思考這個問題。用屏幕顯示判斷下列方程是否有實根，有幾個實根？

(1)X2-2X-3=0；(2)lnx+2x—6=0.

學生活動：回答，思考解法。

教師活動:第二個方程我們不會解怎么辦？你是如何思考的？有什么想法？我們可以考慮將

復雜問題簡單化，將未知問題已知化，通過對第一個問題的研究，進而來解決第

二個問題。對于第一個問題大家都習慣性地用代數的方法去解決，我們應該打破

思維定勢，走出自己給自己畫定的牢籠！這樣我們先把所依賴的拐杖丟掉，假如

第一個方程你不會解，也不會應用判別式，你要怎樣判斷其實根個數呢？

學生活動：思考作答。

教師活動：用屏幕顯示函數曠=1—2%-3的圖象。

學生活動：觀察圖像，思考作答。

教師活動：我們來認真地對比一下。用屏幕顯示表格，讓學生填寫f—2x-3=0的實數根

和函數圖象與x軸的交點。

學生活動：得到方程的實數根應該是函數圖象與x軸交點的橫坐標的結論。

教師活動：我們就把使方程成立的實數x稱做函數的零點.

【環節三：形成概念，升華認知】引入零點定義，確認等價關系

教師活動：這是我們本節課的第一個知識點。板書(一、函數零點的定義：對于函數y=f(x),

使方程f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點).

教師活動：我可不可以這樣認為，零點就是使函數值為0的點？

學生活動：對比定義，思考作答。

教師活動：結合函數零點的定義和我們剛才的探究過程，你認為方程的根與函數的零點究竟

是什么關系？

學生活動：思考作答。

教師活動：這是我們本節課的第二個知識點。板書(方程的根與函數零點的等價關系)。

教師活動：檢驗一下看大家是否真正理解了這種關系。如果已知函數y=f(x)有零點，你怎

樣理解它？

學生活動：思考作答。

教師活動：對于函數y=f(x)有零點，從“數”的角度理解，就是方程f(x)=0有實根，從“形”

的角度理解，就是圖象與x軸有交點。從我們剛才的探究過程中，我們知道，方

程f(x)=0有實根和圖象與x軸有交點也是等價的關系。所以函數零點實際上是

方程f(x)=0有實根和圖象與x軸有交點的一個統一體。

在屏幕上顯示：函數y=f(x)有零點

方程f(x)=0有實數根O函數y=f(x)的圖象與x軸有交點

教師活動：下面就檢驗一下大家的實際應用能力。

【環節四：應用思想，小試牛刀】數學思想應用，基礎知識強化

教師活動：用屏幕顯示求下列函數的零點.

丫1[(x-4)(x+l),x<4

(l)y=3-;(2)y=log2x;(3)^=-;(4)y=<^八、/

x[一(尤-4)(1-6),x>4

學生活動：由四位同學分別回答他們確定零點的方法。畫圖象時要求用語言描述4個圖象的

畫法；

教師活動：根據學生的描述，在黑板上作出圖象(在接下來探究零點存在性定理時，圖象會

成為同學們思考問題的很好的參考)。

教師活動：我們已經學習了函數零點的定義，還學習了方程的根與函數零點的等價關系，在

這些知識的探究發現中，我們也有了一些收獲，那我們回過頭來看看能不能解決

lnx+2x—6=0的根的存在性問題？

學生活動：可受到化歸思想的啟發應用數形結合進行求解。

教師活動：用屏幕顯示學生所論述的解題過程。這種解法充分運用了我們前面的解題思想，

將未知問題轉化成已知問題，將一個圖象不會畫的函數轉化成了兩個圖象都會畫

的函數，利用兩個函數圖象的交點解決實根存在性問題?？磥砦覀兊奶骄窟^程是

非常有價值的。

教師活動：如果不轉化，這個問題就真的解決不了么？現在最棘手的問題是y=lnx+2x—6

的圖象不會畫，那我們能不能不畫圖象就判斷出零點的存在呢？

【環節五：探究新知，思形想數】探究圖象本質，數形轉化解疑

教師活動：我們看到，當函數圖象穿過x軸時，圖象就與x軸產生了交點，圖象穿過x軸這

是一種幾何現象，那么如何用代數形式來描述呢？用屏幕顯示y=1-2x-3的

函數圖象，多次播放拋物線穿過x軸的畫面。

學生活動：通過觀察圖象，得出函數零點的左右兩側函數值異號的結論.

教師活動：好！我們明確一下這個結論，函數y=f(x)具備什么條件時，能在區間(a,b)上

存在零點？

學生活動：得出f(a)?f(b)〈0的結論。

教師活動：若f(a)?f(b)<0,函數y=f(x)在區間(a,b)上就存在零點嗎？

學生活動：可從黑板上的圖象中受到啟發，得出只有在［a,b］上連續不斷的函數，在滿足

f(a)?f(b)<0的條件時，才會存在零點的結論。

【環節六：歸納定理，深刻理解】初識定理表象，深入理解實質

教師活動：其實同學們無形之中已經說出了我們數學中的一個重要定理，那就是零點存在性

定理。這是我們本節課的第三個知識點。板書(三、零點存在性定理)。

教師活動：用屏幕顯示函數零點存在性定理：

如果函數y=f(x)在區間［a,b］上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有

f(a)?f(b)<0,那么，函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點.

即存在cG(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.

教師活動：這個定理比較長，找個同學給大家讀一下，讓大家更好地體會定理的內容。

學生活動：讀出定理。

教師活動：大家注意到了么，定理中，開始時是在閉區間［a,b］上連續，結果推出時卻是在

開區間(a,b)上存在零點。你怎樣理解這種差異？

學生活動：思考作答。

教師活動：雖然我們已經得到了零點存在性定理，但同學們真的那么坦然么？結合黑板上的

圖象，再結合定理的敘述形式，你對定理的內容可有疑問？

學生活動：通過觀察黑板上的板書圖象，大致說出以下問題：

1.若函數y=f(x)在區間［a,b］上連續，且f(a)?￡")<(),則f(x)在區間(a,b)內

會是只有一個零點么？

2.若函數y=f(x)在區間［a,b］上連續,且f(a)?f(b)>0,則f(x)在區間(a,b)內

就一定沒有零點么？

3.在什么條件下，函數y=f(x)在區間(a,b)上可存在唯一零點？

教師活動：那我們就來解決一下這些問題。

學生活動：通過黑板上的圖象舉出反例，得出結論。

1.若函數y=f(x)在區間［a,b］上連續，且f(a)?f(b)〈O,則只能確定f(x)在區

間(a,b)內有零點，有幾個不一定。

2.若函數y=f(x)在區間［a,b］上連續，且f(a)?f(b)〉O,則f(x)在區間(a,b)內

也可能有零點。

3.在零點存在性定理的條件下，如果函數再具有單調性，函數y=f(x)在區間(a,b)

上可存在唯一零點。

【環節七：應用所學，答疑解惑】把握理論實質，解決初始問題

教師活動：現在我們不用畫出圖象也能判斷函數零點是否存在，存在幾個了。那解決

Inx+2x—6=0的根的存在性問題應該是游刃有余了。

用屏幕顯示判斷下列方程是否有實根，有幾個實根？(2)lnx+2x-6=0

學生活動：通過對零點存在性的探究和理解，表述該問題的解法。

【環節八：歸納總結，梳理提升】總結基礎知識，提升解題意識

教師活動：本節課的知識點已經在黑板上呈現出來了，但最重要的，也是貫穿本節課始終，

起到靈魂作用的卻是三大數學思想，即化歸與轉化的數學思想,數形結合的數學

思想，函數與方程的數學思想.數學思想才是數學的靈魂所在，也是數學的魅力所

在，對我們解決問題起著絕對的指導作用。愿我們每個同學在今后的學習中體味、

感悟、應用、升華！

【環節九：理論內化，鞏固升華】整理思想方法，靈活應用解題

1.函數f(x)=x(x2-16)的零點為()

A.(0,0),(4,0)B.0,4C.(-4,0),(0,0),(4,0)D.-4,0,4

2.已知函數f(x)是定義域為R的奇函數，且f(x)在(0,+8)上有一個零點，則f(x)的零點

個數為()

A.3B.2C.1D.不確定

3.已知函數f(x)的圖象是連續不斷的，有如下對應值表：

X1234567

f(x)239-711-5-12-26

那么函數在區間［1,6］上的零點至少有()個

A.5個B.4個C.3個D.2個

4.函數f(x)=-x3-3x+5的零點所在的大致區間為()

A.(-2,0)B.(1,2)C.(0,1)D.(0,0.5)

【環節十：布置作業，舉一反三】延伸課堂思維，增強應用意識

已知Ax)=,-2x-3|-?,求a取何值時能分別滿足下列條件.

①有2個零點;②3個零點;③4個零點.

五、板書設計

方程的根與函數的零點

一、函數零點的定義：對于函數y=f(x),使方程f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點.

二、方程的根與函數零點之間的等價關系

屏幕L-L

0X

r口\

三、零點存在性定理

用二分法求方程的近似解

教學設計

一、本節課內容分析與學情分析

1、本節課內容分析

本節課的主要任務是探究二分法基本原理，給出用二分法求方程

近似解的基本步驟，使學生學會借助計算器用二分法求給定精確度的

方程的近似解。通過探究讓學生體驗從特殊到一般的認識過程，滲透

逐步逼近和無限逼近思想(極限思想)，體會“近似是普遍的、精確

則是特殊的"辯證唯物主義觀點。引導學生用聯系的觀點理解有關內

容，通過求方程的近似解感受函數、方程、不等式以及算法等內容的

有機結合，使學生體會知識之間的聯系。

所以本節課的本質是讓學生體會函數與方程的思想、近似的思

想、逼近的思想和初步感受程序化地處理問題的算法思想。

2、本節課地位、作用

“二分法”的理論依據是“函數零點的存在性（定理）”，本節

課是上節學習內容《方程的根與函數的零點》的自然延伸；是數學必

修3算法教學的一個前奏和準備；同時滲透數形結合思想、近似思想、

逼近思想和算法思想等。

3、學生情況分析

學生已初步理解了函數圖象與方程的根之間的關系，具備一定的

用數形結合思想解決問題的能力，這為理解函數零點附近的函數值符

號提供了知識準備。但學生僅是比較熟悉一元二次方程解與函數零點

的關系，對于高次方程、超越方程與對應函數零點之間的聯系的認識

比較模糊，計算器的使用不夠熟練，這些都給學生學習本節內容造成

一定困難。

二、教學目標

根據教材內容和學生的實際情況，本節課的教學目標設定如下：

1、通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法

是求方程近似解的一種方法，會用二分法求某些具體方程的近似解,

從中體會函數與方程之間的聯系，體會程序化解決問題的思想。

2、借助計算器用二分法求方程的近似解，讓學生充分體驗近似

的思想、逼近的思想和程序化地處理問題的思想及其重要作用，并為

下一步學習算法做知識準備.

3、通過探究、展示、交流，養成良好的學習品質，增強合作意

識。

通過具體問題體會逼近過程，感受精確與近似的相對統一。

三'教學重點'難點

重點：二分法原理及其探究過程，用二分法求方程的近似解

難點：對二分法原理的探究，對精確度、近似值的理解

四、教學方法與教學手段

教學方法：“問題驅動”和啟發探究式教學方法

學法指導：分組合作、互動探究、搭建平臺、分散難點

教學手段：計算機、投影儀、計算器

五、教學過程

（-）設置情景，提出問題

問題1：你會求哪些類型方程的解？

小組討論有哪些方程不會求解？

并讓學生把所提問題歸納并板書到黑板上

問題2：能不能求方程的近似解？

（二）互動探究，獲得新知

以求方程x，+3x-1=0的近似解（精確度0.1）為例進行探究

探究1:怎樣確定解所在的區間？

(1)圖像法

(2)試值法復習：〈1〉方程的根與函數零點的關系

〈2〉根的存在性定理

探究2：怎樣縮小解所在的區間？

李詠主持的幸運52中猜商品價格環節，讓學生思考：

(1)主持人給出高了還是低了的提示有什么作用？

(2)如何猜才能最快猜出商品的價格？

問題3：為什么要取中點，好處是什么？

探究3：區間縮小到什么程度滿足要求？

問題4：精確度0.1指的是什么？與精確到0.1一樣嗎？

二分法的定義：

對于在區間[a,加上連續不斷且滿足/(a)?/(。)<0的函數

y=/(x)，

通過不斷地把函數/(%)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個

端點

逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

用二分法求零點近似值的步驟：

給定精確度￡,用二分法求函數/(幻的零點近似值的步驟如下：

1、確定區間b],驗證/(a)?/(b)<0,給定精確度￡；

2、求區間(a,b)的中點c；

3、計算/（c）：

（1）若/（c）=0，則，就是函數的零點；

（2）若/（a）?/（c）<0,則令b=c（此時零點/GQC））；

（3）若/（c）?/S）〈O,則令a=c（此時零點為G（C,3）;

4、判斷是否達到精確度￡：

即若|a-6<￡,則得到零點零點值。（或。）；否則重復步驟2?

4.

（三）例題剖析，鞏固新知

例：借助計算器用二分法求方程lnx+2x-6=0的近似解（精確度

0.01）

兩人一組，一人用計算器求值，一人記錄結果；學生講解

縮小區間的方法和過程，教師點評.同時演示用計算機程序進行

計算.

（四）知識遷移，應用生活

（1）猜商品價格

（2）從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點，現在某接

點發生故障，需及時修理，為了盡快斷定故障發生點，一般至少需要

檢查接點的個數為一個

（五）檢驗成果，深化理解

1.方程4>2x-11=0的解在下列哪個區間內？你能給出一個滿

足精確度為0.1的近似解嗎？

A（0,1）B（1,2）C⑵3）D（3,4）

說明：二分法也能求方程的精確解

2.下列函數的圖像與x軸均有交點，其中不能用二分法求其零

點的是()

ABCD

思維升華：在零點的附近連續且f(a)?f(b)〈O

(六)課堂小結，回顧反思

本節課你學到了哪些知識？

有哪些收獲？

六、教學反思

?以問題為教學出發點

?注重與現實生活中案例相結合

?注重學生參與知識的形成過程

?恰當地利用現代信息技術

七、課外作業

1.書面作業⑴第92頁習題3.1A組3、4、5

(2)求2x+3x=7的近似解(精確度0.1)

2.知識鏈接第91頁閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”.

3.思考如圖所示在區間僅，加上有多個零點,還能否用二分

法求方程

八、板書設計

課題：3、例題分析：投影：

1、提出問題：4、抽象概括：

2、問題探索5、練習：

5.2向量的加法

教學目標

1.知識目標

掌握向量的加法定義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩

個向量的和向量；掌握向量加法的運算律，并會用它們進行向量計算。

2.能力目標

使學生經歷向量加法法則的探究和應用過程，體會數形結合、分類討論等數

學思想方法，進一步培養學生歸納、類比、遷移能力，增強學生的數學應用意識

和創新意識。

3.情感目標

注重培養學生積極參與、大膽探索的精神以及合作意識；通過讓學生體驗成

功，培養學生學習數學的信心。

教學重點、難點

重點：向量加法的兩個法則及其應用；

難點：對向量加法定義的理解。

突破難點的關鍵是抓住實例，借助多媒體動畫演示，不斷滲透數形結合的思

想，使學生從感性認識升華到理性認識。

教學方法

結合學生實際，主要采用“問題探究”式教學方法。通過創設問題情境，使

學生對向量加法有一定的感性認識；通過設置一條問題鏈，引導學生在自主學習

與合作交流中經歷知識的形成過程；通過層層深入的例題與習題的配置，引導學

生積極思考，靈活掌握知識，使學生從“懂”到“會”到“悟”，提高思維品質，

力求把傳授知識與培養能力融為一體。

采用計算機輔助教學，通過直觀演示體現形、動、思于一體的教學效果，優

化課堂結構，提高教學質量。

教學過程

教學

教學內容師生互動設計意圖

環節

一、復習舊知：

我們已經學過向量。教師提問，學生重溫舊知，為學習新

(1)什么是向量？思考回答。知識做鋪墊。

復既有大小又有方向的量叫向量，一般用有向線段表

習示

引(2)什么是平行向量？

入方向相同或相反的非零向量叫平行向量，零向量與

任意向量平行

(3)如果兩個向量要相等，必須具備什么條件？

長度相等且方向相同的向量叫相等向量

(4)向量和數的區別在哪里？

二、新課講授：

1.設置情境，提出問題

向量和數有區別嗎？數可以做加法，而且對于任意

使學生對本節課所必

兩個數x+y=y+x；(x+y)+z=x+(y+z)即學生回答求合備的基礎知識有一個

力的方法，引出清晰準確的認識，分

交換律和結合律。那么對于向量，是否和數一樣可

平行四邊形法散教學難點。

以相加，而且滿足這兩個運算律呢？這就是本節課

則

要討論的問題。

問題設在學生的“最

近發展區”內，可引

盧海發學生的積極思維，

教師利用多媒使學生根據新的學習

體演示兩向量任務主動提取已有知

相加。識。

臺北

類比物理學中力的合

香港成，引出向量的加法

使學生認識到數學與

物理間的緊密聯系，

實例：兄弟倆同拉一只箱子，兩人用力分別是fl,f2,

進一步培養學生的數

合力記為F。問：怎樣求合力F?(學生回答)

學應用意識和探索創

新能力。

以fl,f2為鄰邊作評選四邊形，則從作用點出發的對

角線就是合力F

物理學中求合力的過程實際就是求向量的加法。若

令fl=a,f2=1,貝ijF=a+B

1.平行四邊形法則

現在請同學們拿出紙和筆，自己隨意畫兩個向量，

記為6,長度、位置和方向由你們自己定。

教師巡視，抽取三種特殊畫法，請同學們展示

畫在黑板上。引導學生類比實數加

請同學們思考：怎么樣用平行四邊形法則去求法的運算律，得出向

量加法的運算律，培

a,b的和向量？

養學生的類比'遷移

能力，

請三位同學板演。請學生解釋當向量。力不在同一

起點的時候，怎樣求和向量。（只解釋1,2兩個圖形）

（學生板演，如果做法不完善，可讓其他同學補充）

多媒體演示：平行四邊形法則的步驟。

例1.如圖，已知向量a,b求作向量a+b

作法：1.在平面內任取一點A

2.以點A為起點，。力為鄰邊作平行四邊形

ABCD,則a+b=AC

教師引導學生觀察利用平行四邊形求和時兩向

量的位置：起點相同。從而得到平行四邊形法則的

特點，為了便于記憶，濃縮為七個字：起點相同，過

起點。

問：兩向量相加的結果是一個數還是一個向量？

第三位同學畫的是兩個向量同向的情況，聽聽從學生熟悉的實際問

他的解釋。發現是兩個向量首尾相連的結果，是不題引入，并借助多面

是對于任意不共線的向量都可以用首尾相連的方式體輔助作用，讓學生

求得和向量呢？在具體、直觀的問題

2.三角形法則中觀察、體驗，形成

先看下生活中的例子：過去由于大陸和臺灣沒有直對向量加法概念的感

航，乘飛機要先從上海到香港，再從香港到臺灣，性認識，為突破難點

這兩次位移的合成結果是什么？（從上海到臺灣）奠定基礎。

如果把這三點分別記為A,B,C,則怎樣用一個數

學式子來表示上述問題？（學生回答）引出三◎形

法則：

例：已知向量a,b求作向量a+b

作法：1.在平面內任取一點A

2.作AB=a,BC=1

3.則a+b=AC

三角形法則的特點是什么？首尾相連首尾連。

（解釋含義）進一步培養學生良好

剛才解決了兩個同向向量的問題，如果兩個向量反的學習習慣。

向德情況呢？請同學們自己在草稿紙上畫一畫。通過多媒體動畫演

（學生展示）示，使靜態的知識以

平行四邊形法則和三角形法則的區別在哪里？鮮活的面容呈現在學

同學們能不能說出平行四邊形法則和三角形法則的生的面前，既幫助學

區別？（強調三角形法則的特點。簡記為：首尾相生理解定義，又滲透

連，首尾連。）了數形結合'分類討

當兩個向量不共線時，兩個法則都適用。論思想。

其實兩個法則有統一的一面動畫演示）在比較中掌握知識，

為靈活應用公式打下

a+b和b+a相等嗎？因為兩個圖形正好能拼成一

基礎。

個平行四邊形。多媒體顯示經過平移，恰好構成平

行四邊形的過程。

由此得出向量加法的交換律：

a+b=b+a

如果3=0,則a+0=0+a=a

剛才舉得例子都是兩個向量相加，如果是三個

向量相加呢？如圖。

二'

如果多一個向量C,怎么求三個向量的

和？向量相加滿足結合律嗎？對向量加法定義的理

解是本節課的難點，

結合律：（a+b）+c=a+（b+c）

通過層層深入的問題

你能用圖形進行驗證嗎？（同桌之間可以相互討

設置，將難點化解在

論），有了結合律以后，多個向量相加就可以按照任

三個符合學生實際而

概意的組合，任意的順序進行了。

學生獨立完成，又令學生迫切想解決

念例.化簡：

2教師用多媒體的問題中。

形

演示。及時鞏固新知識。

成（l）AB+CD+BC

熟悉求兩個向量的和

學生練習，在整向量的幾何作圖技

（）（）（）

2M4+BN+AC+CB個練習過程中，能，并通過例題總結

教師做好課堂求和作和的方法和技

巡視，加強對學巧。

⑶A6+（80+CA）+OC

生的個別指導

例2告訴我們，首尾相連首尾連，反過來，

一個向量也可以拆成多個首尾相連的向量之

學生討論，互相

和

啟發、補充。教

變式：如圖：在任意四邊形中，可以拆

ABCD師完善結論。

成哪幾個向量相加？若E,F分別是AD,BC的中點，

你能否證明AB+DC=2EF.

學生動手驗證,

教師演示

向量的拆分，不僅開

闊了學生的思路，而

學生自己提出且再一次體現了向量

問題，互相啟是溝通幾何與代數的

三、例題探究，變式引申發、補充。教師橋梁。

完善。

例3.(多媒體)如圖，。為正六邊

形ABCDEF的中心，求出下列向量：

(1)OA+OC;(2)5C+F￡;(3)OA+FE

鞏固所學知識，進一

步完善認知結構，并

且使學生對自己的學

習進行自我評價。

(學生回答，教師提問：依據是什么？適時點評)

對于例1這個圖形，你能設計出一個問

題讓別的同學解答嗎？

變式：如圖，正六邊形AOBCDE中，

0A-a,OB-b.

用標將麗，而表示出來

五、課堂小結.O注重數學思想方法的

學生思考，討論提煉，可使學生逐漸

1.向量加法的平行四邊形法則，要

補充，師生共同把經驗內化為能力。

點：起點相同，過起點。

完善。師生共

向量加法的三角形法則，要點：

2.探。

首尾相連，首尾連。

3.向量加法滿足交換律和結合律，

即a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)。

4.有關向量加法的運算通常利用它的幾

何意義轉化為幾何運算，這體現了以形助數

的思想。

書面作業要求作業分為兩個層次，

所有學生都要既鞏固所學，又為學

練

完成，研究與思有余力的同學留出自

習

考只要求學有由發展的空間，培養

反

余力的同學完學生的創新意識和探

饋

成。索精神，同時為下節

課內容作好準備

《2.2.1向量加法運算及其幾何意義》教案

一、教學目標

知識目標：理解向量加法的含義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形

法則作出兩個向量的和；掌握向量加法的交換律與結合律，并會

用它們進行向量運算.

能力目標：經歷向量加法概念、法則的建構過程，感受和體會將實際問題抽

象為數學概念的思想方法，培養學生發現問題、分析問題、解決

問題的能力.

情感目標：經歷運用數學來描述和刻畫現實世界的過程，體驗探索的樂趣，

激發學生的學習熱情.培養學生勇于探索、敢于創新的個性品質.

二、重點與難點

重點：向量加法的定義與三角形法則的概念建構；以及利用法則作兩個向量

的和向量.

難點：理解向量的加法法則及其幾何意義.

三、教法學法

教法運用了“問題情境教學法"、"啟發式教學法”和"多媒體輔助教學法

學法采用以"小組合作、自主探究”為主要方式的自主學習模式.

四、教學過程

新課程理念下的教學過程是一個內容活化、創生的過程，是一個學生思考、

體驗的過程，更是一個師生互動、發展的過程.基于此，我設定了5個教學環節:

一'創設情境引入課題

師：在前一節課中我們學習了一個新的量一一向量，今天就讓我們共同來探

究向量的加法運算，首先，請看課件.（出示）

師：他是誰？

生：丁俊暉.

師：對，著名的臺球神童一一丁俊暉？大家請

看他好像遇到了難題？（出示）你能不能幫助他解

決??？

活動設計：學生參與討論（教師提問，學生

回答：翻袋進球）

再來看另一個問題：在兩岸通航之前，要

從我們鄭州到達祖國的寶島臺灣，我們需要從

新鄭機場乘飛機抵達香港，然后轉機才能到達,

如今通航后呢？我們可以直接到達，節省了大

量的時間和金錢.

無論是臺球還是飛機，從最初的位置到達

最終的位置都是經歷了兩次位移，如果從作用

效果角度來看，這兩次位移的作用效果就等于從起點到終點的一次位移，在物理

上，我們就把這次位移稱作是之前兩次位移之和.

同學們，請思考問題L

【問題1】位移求和時，兩次位移的位置關系是什么？如何作出它們的和

位移?

——兩次位移首尾相連，其和位移是由起點指向終點.

學生活動：學生討論，自主探究

位移是個物理量，如果拋開它的物理屬性，它正是我們研究的一一向量.那

么，受到位移求和的啟發，能否找到求解向量之和的方法呢？

于是，我們順利的進入了本節課的第二個環節：

二、實踐探究總結規律

我首先提出了問題2：

【問題2】如圖所示，對于向量。和b如何求解它們的和呢？

活動設計：小組探究、代表匯報又

和物理中的位移求和問題有所不同的是，在數學中任意兩個向a

量相加時，他們未必是首尾相連的啊，應該如何處理呢？

對于這個問題我沒有急于給出問題的答案，而是鼓勵學生大膽試驗和探究，

我深入學生中與他們交流，了解學生思考問題的進展過程，幫助他們突破思維的

障礙，投影學生的解題過程，糾正出現的錯誤，規范書寫的格式.

最終，由他們自己得出問題的答案：

生：“在平面內任取一點。，平移。使其起點為點0,

平移匕使其起點與a向量的終點重合，再連接向量。的

起點與向量匕的終點

此時，教師鼓勵學生自己給出定義：

加法的定義：已知向量。涉，在平面內任取一點0,

作。A=則向量08叫做向量的和.記作：a+b.即

a+b=OA*A.

向量加法的法則：和的定義給出了求向量和的方法，稱為向量加法的三角形

法則.

加法的定義其實是用數學的作圖語言來刻畫的，這種方法經常出現在幾何

中，這一點也更好的體現了向量加法具有的幾何意義和向量數形結合的特征.

至此，已經了解了加法定義與三角形法則，同時，我們也應該注意到在物理

中矢量合成時的平行四邊形法則.

我創設了情景："觀察小猴過河的動畫短片

對于平行四邊形法則學生已經非常熟悉，他們關心的是兩個法則之間的聯系

與區別，于是，我提出了問題4.

【問題3】平行四邊形法則有何特點？

生：是平移兩個向量至共起點.

【問題4］想想你遇到過一些可以用向量求和來解釋生活現象嗎？

活動設計：學生以小組為單位討論，小組匯報比比誰的例子最多，最貼切.

完成了這個探究，接著，我進入第三個環節.

三、類比聯想探究性質

首先我設計了問題5:

【問題5］請類比實數加法的性質完成表格，并通過畫圖的方法驗證你的結

論.

活動設計：師生探究、課件演示

通過和實數加法性質進行類比，學生很容易得出向量加法的性質，對于交換

律的驗證我讓學生通過畫圖自己動手驗證，而對于結合律的驗證，則由師生借助

于多媒體共同完成.

至此，本節課的概念教學已經完成，于是我引導學生進入第四環節：

四、數學運用深化認識

在這個環節，我設置了2道例題和2道練習.

接下來，為了檢驗對于概念的理解和掌握，我設置了一道例題來強化概念：

例1：如圖，已知a、b,作出a+Z?

**

-----.

/二實數的加漳*〒向量的加法

性a+b=b-\-aa+b=b+a

質

(a+b)+c=a+@+c)(a+b)+c=a+(。+c)

通過例1學生會看到三角形法則對共線向量的求和仍然是適用的，反映了三

角形法則具有廣泛的適用性.

例2：根據圖示填空

(1)a+b=；(2)c+d=；

(3)a+d+b=；(4)DE+CD+AC=_；

(5)AB+BC+CD+DE^.

在訓練三角形法則的同時，使同學們注意到三角

形法則推廣到n個向量相加的形式.即&A+A&+44+…+4-4,=44

例3：長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸，一艘船從長

江南岸A點出發，以每小時4公里的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的

速度為向東每小時3公里.

（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（保留兩位有

效數字）

（2）求船實際航行的速度大小與方向.（用與江水速度間的夾角表示，精

確到度）

五、回顧反思拓展延伸

本環節有課堂小結和作業布置兩部分內容：

課堂小結：

【問題6］同學們想一想：本節課你有些什么收獲呢？留給你印象最深的是

什么？作為課堂的延伸，你課后還想作些什么探究？

新課程理念尊重學生的差異，鼓勵學生的個性發展，所以，對于課堂小結我

設置一個開放性的問題，期望通過這個問題使學生體驗學習數學的快樂，增強學

習數學的信心.

作業布置：

在布置作業環節中，設置了兩組練習，一組必做題，一組探究題，這樣可以

使學生在完成基本學習任務的同時，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，

使不同層次的學生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發學生飽滿

的學習興趣.

（1）作業：P66習題2.2的1.2.3.

（2）拓展探究：當在數軸上表示兩個共線向量時，它們的加法與數的加法

有什么關系？

課題：不等關系——比較大小

教材：北師大版普通高中課程標準實驗教科書（必修5）

授課教師：新余市第四中學黃良友

教學目標：

1.知識目標：①掌握比較兩個實數大小的方法一一差值比較法

②理解不等關系的傳遞性

③能夠運用比較實數大小的方法比較兩實數的大小

2.能力目標：通過對具體問題的分析，培養學生的分析歸納能力,培養學

生代數變形的能力，